主题：【史话】决战紫禁之巅之爱玻之战（1-1） -- jlanu

二

物理学，海森堡坚定地想，应当有一个坚固的基础。它只能够从一些直接可以被实验观察

和检验的东西出发，一个物理学家应当始终坚持严格的经验主义，而不是想象一些图像来

作为理论的基础。玻尔理论的毛病，就出在这上面。

我们再来回顾一下玻尔理论说了些什么。它说，原子中的电子绕着某些特定的轨道以一定

的频率运行，并时不时地从一个轨道跃迁到另一个轨道上去。每个电子轨道都代表一个特

定的能级，因此当这种跃迁发生的时候，电子就按照量子化的方式吸收或者发射能量，其

大小等于两个轨道之间的能量差。

嗯，听起来不错，而且这个模型在许多情况下的确管用。但是，海森堡开始问自己。一个

电子的“轨道”，它究竟是什么东西？有任何实验能够让我们看到电子的确绕着某个轨道

运转吗？有任何实验可以确实地测出一个轨道离开原子核的实际距离吗？诚然轨道的图景

是人们所熟悉的，可以类比于行星的运行轨道，但是和行星不同，有没有任何法子让人们

真正地看到电子的这么一个“轨道”，并实际测量一个轨道所代表的“能量”呢？没有法

子，电子的轨道，还有它绕着轨道的运转频率，都不是能够实际观察到的，那么人们怎么

得出这些概念并在此之上建立起原子模型的呢？

我们回想一下前面史话的有关部分，玻尔模型的建立有着氢原子光谱的支持。每一条光谱

线都有一种特定的频率，而由量子公式E1-E2 = hν，我们知道这是电子在两个能级之间

跃迁的结果。但是，海森堡争辩道，你这还是没有解决我的疑问。没有实际的观测可以证

明某一个轨道所代表的“能级”是什么，每一条光谱线，只代表两个“能级”之间的“能

量差”。所以，只有“能级差”或者“轨道差”是可以被直接观察到的，而“能级”和“

轨道”却不是。

为了说明问题，我们还是来打个比方。小时候的乐趣之一是收集各种各样的电车票以扮作

售票员，那时候上海的车票通常都很便宜，最多也就是一毛几分钱。但规矩是这样的：不

管你从哪个站上车，坐得越远车票就相对越贵。比如我从徐家汇上车，那么坐到淮海路可

能只要3分钱，而到人民广场大概就要5分，到外滩就要7分，如果一直坐到虹口体育场，

也许就得花上1毛钱。当然，近两年回去，公交早就换成了无人售票和统一计费――不管

多远都是一个价，车费也早就今非昔比了。

让我们假设有一班巴士从A站出发，经过BCD三站到达E这个终点站。这个车的收费沿用了

我们怀旧时代的老传统，不是上车一律给2块钱，而是根据起点和终点来单独计费。我们

不妨订一个收费标准：A站和B站之间是1块钱，B和C靠得比较近，0.5元。C和D之间还是1

块钱，而D和E离得远，2块钱。这样一来车费就容易计算了，比如我从B站上车到E站，那

么我就应该给0.5+1+2=3.5元作为车费。反过来，如果我从D站上车到A站，那么道理是一

样的：1+0.5+1=2.5块钱。

现在玻尔和海森堡分别被叫来写一个关于车费的说明贴在车子里让人参考。玻尔欣然同意

了，他说：这个问题很简单，车费问题实际上就是两个站之间的距离问题，我们只要把每

一个站的位置状况写出来，那么乘客们就能够一目了然了。于是他就假设，A站的坐标是0

，从而推出：B站的坐标是1，C站的坐标是1.5，D站的坐标是2.5，而E站的坐标是4.5。这

就行了，玻尔说，车费就是起点站的坐标减掉终点站的坐标的绝对值，我们的“坐标”，

实际上可以看成一种“车费能级”，所有的情况都完全可以包含在下面这个表格里：

站点 坐标（车费能级）

A 0

B 1

C 1.5

D 2.5

E 4.5

这便是一种经典的解法，每一个车站都被假设具有某种绝对的“车费能级”，就像原子中

电子的每个轨道都被假设具有某种特定的能级一样。所有的车费，不管是从哪个站到哪个

站，都可以用这个单一的变量来解决，这是一个一维的传统表格，完全可以表达为一个普

通的公式。这也是所有物理问题的传统解法。

现在，海森堡说话了。不对，海森堡争辩说，这个思路有一个根本性的错误，那就是，作

为一个乘客来说，他完全无法意识，也根本不可能观察到某个车站的“绝对坐标”是什么

。比如我从C站乘车到D站，无论怎么样我也无法观察到“C站的坐标是1.5”，或者“D站

的坐标是2.5”这个结论。作为我――乘客来说，我所能唯一观察和体会到的，就是“从C

站到达D站要花1块钱”，这才是最确凿，最坚实的东西。我们的车费规则，只能以这样的

事实为基础，而不是不可观察的所谓“坐标”，或者“能级”。

那么，怎样才能仅仅从这些可以观察的事实上去建立我们的车费规则呢？海森堡说，传统

的那个一维表格已经不适用了，我们需要一种新类型的表格，像下面这样的：

A B C D E

A 0 1 1.5 2.5 4.5

B 1 0 0.5 1.5 3.5

C 1.5 0.5 0 1 3

D 2.5 1.5 1 0 2

E 4.5 3.5 3 2 0

这里面，竖的是起点站，横的是终点站。现在这张表格里的每一个数字都是实实在在可以

观测和检验的了。比如第一行第三列的那个1.5，它的横坐标是A，表明从A站出发。它的

纵坐标是C，表明到C站下车。那么，只要某个乘客真正从A站坐到了C站，他就可以证实这

个数字是正确的：这个旅途的确需要1.5块车费。

好吧，某些读者可能已经不耐烦了，它们的确是两种不同类型的东西，可是，这种区别的

意义有那么大吗？毕竟，它们表达的，不是同一种收费规则吗？但事情要比我们想象的复

杂多了，比如玻尔的表格之所以那么简洁，其实是有这样一个假设，那就是“从A到B”和

“从B到A”，所需的钱是一样的。事实也许并非如此，从A到B要1块钱，从B回到A却很可

能要1.5元。这样玻尔的传统方式要大大头痛了，而海森堡的表格却是简洁明了的：只要

修改B为横坐标A为纵坐标的那个数字就可以了，只不过表格不再按照对角线对称了而已。

更关键的是，海森堡争辩说，所有的物理规则，也要按照这种表格的方式来改写。我们已

经有了经典的动力学方程，现在，我们必须全部把它们按照量子的方式改写成某种表格方

程。许多传统的物理变量，现在都要看成是一些独立的矩阵来处理。

在经典力学中，一个周期性的振动可以用数学方法分解成为一系列简谐振动的叠加，这个

方法叫做傅里叶展开。想象一下我们的耳朵，它可以灵敏地分辨出各种不同的声音，即使

这些声音同时响起，混成一片嘈杂也无关紧要，一个发烧友甚至可以分辨出CD音乐中乐手

翻动乐谱的细微沙沙声。人耳自然是很神奇的，但是从本质上说，数学家也可以做到这一

切，方法就是通过傅立叶分析把一个混合的音波分解成一系列的简谐波。大家可能要感叹

，人耳竟然能够在瞬间完成这样复杂的数学分析，不过这其实是自然的进化而已。譬如守

门员抱住飞来的足球，从数学上说相当于解析了一大堆重力和空气动力学的微分方程并求

出了球的轨迹，再比如人本能的趋利避害的反应，从基因的角度说也相当于进行了无数风

险概率和未来获利的计算。但这都只是因为进化的力量使得生物体趋于具有这样的能力而

已，这能力有利于自然选择，倒不是什么特殊的数学能力所导致。

回到正题，在玻尔和索末菲的旧原子模型里，我们已经有了电子运动方程和量子化条件。

这个运动同样可以利用傅立叶分析的手法，化作一系列简谐运动的叠加。在这个展开式里

的每一项，都代表了一个特定频率。现在，海森堡准备对这个旧方程进行手术，把它彻底

地改造成最新的矩阵版本。但是困难来了，我们现在有一个变量p，代表电子的动量，还

有一个变量q，代表电子的位置。本来，在老方程里这两个变量应当乘起来，现在海森堡

把p和q都变成了矩阵，那么，现在p和q应当如何再乘起来呢？

这个问题问得好：你如何把两个“表格”乘起来呢？

或者我们不妨先问自己这样一个问题：把两个表格乘起来，这代表了什么意义呢？

为了容易理解，我们还是回到我们那个巴士车费的比喻。现在假设我们手里有两张海森堡

制定的车费表：矩阵I和矩阵II，分别代表了巴士I号线和巴士II号线在某地的收费情况。

为了简单起见，我们假设每条线都只有两个站，A和B。这两个表如下：

I号线（矩阵I）：

A B

A 1 2

B 3 1

II号线（矩阵II）：

A B

A 1 3

B 4 1

好，我们再来回顾一下这两张表到底代表了什么意思。根据海森堡的规则，数字的横坐标

代表了起点站，纵坐标代表了终点站。那么矩阵I第一行第一列的那个1就是说，你坐巴士

I号线，从A地出发，在A地原地下车，车费要1块钱（啊？为什么原地不动也要付1块钱呢

？这个……一方面是比喻而已，再说你可以把1块钱看成某种起步费。何况在大部分城市

的地铁里，你进去又马上出来，的确是要在电子卡里扣掉一点钱的）。同样，矩阵I第一

行第二列的那个2是说，你坐I号线从A地到B地，需要2块钱。但是，如果从B地回到A地，

那么就要看横坐标是B而纵坐标是A的那个数字，也就是第二行第一列的那个3。矩阵II的

情况同样如此。

好，现在我们来做个小学生水平的数学练习：乘法运算。只不过这次乘的不是普通的数字

，而是两张表格：I和II。I×II等于几？

让我们把习题完整地写出来。现在，boys and girls，这道题目的答案是什么呢？

┏ ┓ ┏ ┓

┃ 1 2 ┃ ┃ 1 3 ┃

┃ 3 1 ┃ × ┃ 4 1 ┃ ＝ ？

┗ ┛ ┗ ┛

*********

饭后闲话：男孩物理学

1925年，当海森堡做出他那突破性的贡献的时候，他刚刚24岁。尽管在物理上有着极为惊

人的天才，但海森堡在别的方面无疑还只是一个稚气未脱的大孩子。他兴致勃勃地跟着青

年团去各地旅行，在哥本哈根逗留期间，他抽空去巴伐利亚滑雪，结果摔伤了膝盖，躺了

好几个礼拜。在山谷田野间畅游的时候，他高兴得不能自已，甚至说“我连一秒种的物理

都不愿想了”。

量子论的发展几乎就是年轻人的天下。爱因斯坦1905年提出光量子假说的时候，也才26岁

。玻尔1913年提出他的原子结构的时候，28岁。德布罗意1923年提出相波的时候，31岁。

而1925年，当量子力学在海森堡的手里得到突破的时候，后来在历史上闪闪发光的那些主

要人物也几乎都和海森堡一样年轻：泡利25岁，狄拉克23岁，乌仑贝克25岁，古德施密特

23岁，约尔当23岁。和他们比起来，36岁的薛定谔和43岁的波恩简直算是老爷爷了。量子

力学被人们戏称为“男孩物理学”，波恩在哥廷根的理论班，也被人叫做“波恩幼儿园”

。

不过，这只说明量子论的锐气和朝气。在那个神话般的年代，象征了科学永远不知畏惧的

前进步伐，开创出一个前所未有的大时代来。“男孩物理学”这个带有传奇色彩的名词，

也将在物理史上镌刻出永恒的光芒。

第五章 曙光

三

上次我们布置了一道练习题，现在我们一起来把它的答案求出来。

┏ ┓ ┏ ┓

┃ 1 2 ┃ ┃ 1 3 ┃

┃ 3 1 ┃ × ┃ 4 1 ┃ ＝ ？

┗ ┛ ┗ ┛

如果你还记得我们那个公共巴士的比喻，那么乘号左边的矩阵I代表了我们的巴士I号线的

收费表，乘号右边的矩阵II代表了II号线的收费表。I是一个2×2的表格，II也是一个2×

2的表格，我们有理由相信，它们的乘积也应该是类似的形式，也是一个2×2的表格。

┏ ┓ ┏ ┓ ┏ ┓

┃ 1 2 ┃ ┃ 1 3 ┃ ┃ a b ┃

┃ 3 1 ┃ × ┃ 4 1 ┃ ＝ ┃ c d ┃

┗ ┛ ┗ ┛ ┗ ┛

但是，那答案到底是什么？我们该怎么求出abcd这四个未知数？更重要的是，I×II的意

义是什么呢？

海森堡说，I×II，表示你先乘搭巴士I号线，然后转乘了II号线。答案中的a是什么呢？a

处在第一行第一列，它也必定表示从A地出发到A地下车的某种收费情况。海森堡说，a，

其实就是说，你搭乘I号线从A地出发，期间转乘II号线，最后又回到A地下车。因为是乘

法，所以它表示“I号线收费”和“II号线收费”的乘积。但是，情况还不是那么简单，

因为我们的路线可能不止有一种，a实际代表的是所有收费情况的“总和”。

如果这不好理解，那么我们干脆把题目做出来。答案中的a，正如我们已经说明了的，表

示我搭I号线从A地出发，然后转乘II号线，又回到A地下车的收费情况的总和。那么，我

们如何具体地做到这一点呢？有两种方法：第一种，我们可以乘搭I号线从A地到B地，然

后在B地转乘II号线，再从B地回到A地。此外，还有一种办法，就是我们在A地上了I号线

，随即在原地下车。然后还是在A地再上II号线，同样在原地下车。这虽然听起来很不明

智，但无疑也是一种途径。那么，我们答案中的a，其实就是这两种方法的收费情况的总

和。

现在我们看看具体数字应该是多少：第一种方法，我们先乘I号线从A地到B地，车费应该

是多少呢？我们还记得海森堡的车费规则，那就看矩阵I横坐标为A纵坐标为B的那个数字

，也就是第一行第二列的那个2，2块钱。好，随后我们又从B地转乘II号线回到了A地，这

里的车费对应于矩阵II第二行第一列的那个4。所以第一种方法的“收费乘积”是2×4＝8

。但是，我们提到，还有另一种可能，就是我们在A地原地不动地上了I号线再下来，又上

II号线再下来，这同样符合我们A地出发A地结束的条件。这对应于两个矩阵第一行第一列

的两个数字的乘积，1×1＝1。那么，我们的最终答案，a，就等于这两种可能的叠加，也

就是说，a＝2×4＋1×1＝9。因为没有第三种可能性了。

同样道理我们来求b。b代表先乘I号线然后转乘II号线，从A地出发最终抵达B地的收费情

况总和。这同样有两种办法可以做到：先在A地上I号线随即下车，然后从A地坐II号线去B

地。收费分别是1块（矩阵I第一行第一列）和3块（矩阵II第一行第二列），所以1×3＝3

。还有一种办法就是先乘I号线从A地到B地，收费2块（矩阵I第一行第二列），然后在B地

转II号线原地上下，收费1块（矩阵II第二行第二列），所以2×1＝1。所以最终答案：b

＝1×3＋2×1＝5。

大家可以先别偷看答案，自己试着求c和d。最后应该是这样的：c＝3×1＋1×4＝7，d＝3

×3＋1×1＝10。所以：

┏ ┓ ┏ ┓ ┏ ┓

┃ 1 2 ┃ ┃ 1 3 ┃ ┃ 9 5┃

┃ 3 1 ┃ × ┃ 4 1 ┃ ＝ ┃ 7 10┃

┗ ┛ ┗ ┛ ┗ ┛

很抱歉让大家如此痛苦不堪，不过我们的确在学习新的事物。如果你觉得这种乘法十分陌

生的话，那么我们很快就要给你更大的惊奇，但首先我们还是要熟悉这种新的运算规则才

是。圣人说，温故而知新，我们不必为了自己新学到的东西而沾沾自喜，还是巩固巩固我

们的基础吧，让我们把上面这道题目验算一遍。哦，不要昏倒，不要昏倒，其实没有那么

乏味，我们可以把乘法的次序倒一倒，现在验算一遍II×I：

┏ ┓ ┏ ┓ ┏ ┓

┃ 1 3 ┃ ┃ 1 2 ┃ ┃ a b ┃

┃ 4 1 ┃ × ┃ 3 1 ┃ ＝ ┃ c d ┃

┗ ┛ ┗ ┛ ┗ ┛

我知道大家都在唉声叹气，不过我还是坚持，复习功课是有益无害的。我们来看看a是什

么，现在我们是先乘搭II号线，然后转I号线了，所以我们可以从A地上II号线，然后下来

。再上I号线，然后又下来。对应的是1×1。另外，我们可以坐II号线去B地，在B地转I号

线回到A地，所以是3×3＝9。所以a＝1×1＋3×3＝10。

喂，打瞌睡的各位，快醒醒，我们遇到问题了。在我们的验算里，a＝10，不过我还记得

，刚才我们的答案说a＝9。各位把笔记本往回翻几页，看看我有没有记错？嗯，虽然大家

都没有记笔记，但我还是没有记错，刚才我们的a＝2×4＋1×1＝9。看来是我算错了，我

们再算一遍，这次可要打起精神了：a代表A地上车A地下车。所以可能的情况是：我搭II

号线在A地上车A地下车（矩阵II第一行第一列），1块。然后转I号线同样在A地上车A地下

车（矩阵I第一行第一列），也是1块。1×1＝1。还有一种可能是，我搭II号线在A地上车

B地下车（矩阵II第一行第二列），3块。然后在B地转I号线从B地回到A地（矩阵II第二行

第一列），3块。3×3＝9。所以a＝1＋9＝10。

嗯，奇怪，没错啊。那么难道前面算错了？我们再算一遍，好像也没错，前面a＝1＋8＝9

。那么，那么……谁错了？哈哈，海森堡错了，他这次可丢脸了，他发明了一种什么样的

表格乘法啊，居然导致如此荒唐的结果：I×II ≠ II×I。

我们不妨把结果整个算出来：

┏ ┓

┃ 9 5┃

I×II＝ ┃ 7 10┃

┗ ┛

┏ ┓

┃ 10 5┃

II×I＝ ┃ 7 9┃

┗ ┛

的确，I×II ≠ II×I。这可真让人惋惜，原来我们还以为这种表格式的运算至少有点创

意的，现在看来浪费了大家不少时间，只好说声抱歉。但是，慢着，海森堡还有话要说，

先别为我们死去的脑细胞默哀，它们的死也许不是完全没有意义的。

大家冷静点，大家冷静点，海森堡摇晃着他那漂亮的头发说，我们必须学会面对现实。我

们已经说过了，物理学，必须从唯一可以被实践的数据出发，而不是靠想象和常识习惯。

我们要学会依赖于数学，而不是日常语言，因为只有数学才具有唯一的意义，才能告诉我

们唯一的真实。我们必须认识到这一点：数学怎么说，我们就得接受什么。如果数学说I

×II ≠ II×I，那么我们就得这么认为，哪怕世人用再嘲讽的口气来讥笑我们，我们也

不能改变这一立场。何况，如果仔细审查这里面的意义，也并没有太大的荒谬：先搭乘I

号线，再转II号线，这和先搭乘II号线，再转I号线，导致的结果可能是不同的，有什么

问题吗？

好吧，有人讽刺地说，那么牛顿第二定律究竟是F＝ma，还是F＝am呢？

海森堡冷冷地说，牛顿力学是经典体系，我们讨论的是量子体系。永远不要对量子世界的

任何奇特性质过分大惊小怪，那会让你发疯的。量子的规则，并不一定要受到乘法交换率

的束缚。

他无法做更多的口舌之争了，1925年夏天，他被一场热病所感染，不得不离开哥廷根，到

北海的一个小岛赫尔格兰（Helgoland）去休养。但是他的大脑没有停滞，在远离喧嚣的

小岛上，海森堡坚定地沿着这条奇特的表格式道路去探索物理学的未来。而且，他很快就

获得了成功：事实上，只要把矩阵的规则运用到经典的动力学公式里去，把玻尔和索末菲

旧的量子条件改造成新的由坚实的矩阵砖块构造起来的方程，海森堡可以自然而然地推导

出量子化的原子能级和辐射频率。而且这一切都可以顺理成章从方程本身解出，不再需要

像玻尔的旧模型那样，强行附加一个不自然的量子条件。海森堡的表格的确管用！数学解

释一切，我们的想象是靠不住的。

虽然，这种古怪的不遵守交换率的矩阵乘法到底意味着什么，无论对于海森堡，还是当时

的所有人来说，都还仍然是一个谜题，但量子力学的基本形式却已经得到了突破进展。从

这时候起，量子论将以一种气势磅礴的姿态向前迈进，每一步都那样雄伟壮丽，激起滔天

的巨浪和美丽的浪花。接下来的3年是梦幻般的3年，是物理史上难以想象的3年，理论物

理的黄金年代，终于要放射出它最耀眼的光辉，把整个20世纪都装点得神圣起来。

海森堡后来在写给好友范德沃登的信中回忆道，当他在那个石头小岛上的时候，有一晚忽

然想到体系的总能量应该是一个常数。于是他试着用他那规则来解这个方程以求得振子能

量。求解并不容易，他做了一个通宵，但求出来的结果和实验符合得非常好。于是他爬上

一个山崖去看日出，同时感到自己非常幸运。

是的，曙光已经出现，太阳正从海平线上冉冉升起，万道霞光染红了海面和空中的云彩，

在天地间流动着奇幻的辉光。在高高的石崖顶上，海森堡面对着壮观的日出景象，他脚下

碧海潮生，一直延伸到无穷无尽的远方。是的，他知道，this is the moment，他已经作

出生命中最重要的突破，而物理学的黎明也终于到来。

*********

饭后闲话：矩阵

我们已经看到，海森堡发明了这种奇特的表格，I×II ≠ II×I，连他自己都没把握确定

这是个什么怪物。当他结束养病，回到哥廷根后，就把论文草稿送给老师波恩，让他评论

评论。波恩看到这种表格运算大吃一惊，原来这不是什么新鲜东西，正是线性代数里学到

的“矩阵”！回溯历史，这种工具早在1858年就已经由一位剑桥的数学家Arthur Cayley

所发明，不过当时不叫“矩阵”而叫做“行列式”（determinant，这个字后来变成了另

外一个意思，虽然还是和矩阵关系很紧密）。发明矩阵最初的目的，是简洁地来求解某些

微分方程组（事实上直到今天，大学线性代数课还是主要解决这个问题）。但海森堡对此

毫不知情，他实际上不知不觉地“重新发明”了矩阵的概念。波恩和他那精通矩阵运算的

助教约尔当随即在严格的数学基础上发展了海森堡的理论，进一步完善了量子力学，我们

很快就要谈到。

数学在某种意义上来说总是领先的。Cayley创立矩阵的时候，自然想不到它后来会在量子

论的发展中起到关键作用。同样，黎曼创立黎曼几何的时候，又怎会料到他已经给爱因斯

坦和他伟大的相对论提供了最好的工具。

乔治•盖莫夫在那本受欢迎的老科普书《从一到无穷大》（One, Two,

Three…Infinity）里说，目前数学还有一个大分支没有派上用场（除了智力体操的用处

之外），那就是数论。古老的数论领域里已经有许多难题被解开，比如四色问题，费马大

定理。也有比如著名的哥德巴赫猜想，至今悬而未决。天知道，这些理论和思路是不是在

将来会给某个物理或者化学理论开道，打造出一片全新的天地来。

• 【史话】决战紫禁之巅之爱玻之战（5-4）（5-5）
• 【史话】决战紫禁之巅之爱玻之战（6-1）（6-2）