主题：【原创】化工过程控制的实践 -- 润树

在MPC一章里，出现了动态和静态优化的概念，也就是根据MPC的线性模型来计算过程最佳静态操作点和到达此点的动态途径。但是由于其模型没有全面地（MPC的变量只是过程所有变量的一部分）和准确地（忽略了过程的非线性）反映过程的特性，只能说它是一个片面/局部和近似的优化。

所谓过程静态优化（PSSO，process steady state optimization）则是一个远在MPC之前很久就出现了的古老命题：

给定过程的目标函数 J = f（x1, x2, x3, ……, xn），在x的约束条件下，找到优化变量x1, x2, ……, xn的值，使J最大化或最小化。

传统上，有两种方法来实现PSSO，一是通过过程的数学模型来计算（模型法），二是在线搜索（搜索法）。模型法中用到的模型，既可以是基于第一原理的机理模型，也可以是经验模型，或两者的结合，在MPC之前，大多是离线实现。也就是说，通过人工或计算机的计算，找到最佳静态操作变量的设定值，然后手动改变这些变量来实现优化。有了MPC后，PSSO所计算出的最佳变量设定值通过这两个系统间的接口传递到MPC自动实现。因此，PSSO可看着是位于MPC之上的一级控制系统。而在线搜索法则是直接改变优化变量的设定值，然后观察目标函数的变化方向，一步一步地去逼近最大/最小值。

最优化，从本质上说是一个数学问题，我们在高等数学中都学习过了。对于线性和低阶的目标函数和约束条件，可以用求导数和代数的方法来求解，而对于高阶和非线性的目标函数或约束条件，则需要用到更复杂的数学方法，像单纯型法，非线性最小二乘法（NLLS）non-linear least squre），分步二次规划（SQP，sequential quadratic programming），总体降梯度法（GRG，generalized reduced gradients）等等。MATLAB之Optimization Tool Box是用来求解此类问题的好工具。但这里我们不对这些数学方法作进一步的讨论，而将焦点放在过程优化的含义及其具体的工程实现。

我们先来看一个精馏塔。如图4.0.1所示，这个塔的操作目的是将进料中的二元主分Ca和Cb分离成塔顶的轻主分和塔低的重主分产品。一般地，这个分离过程是非理想的，即塔顶会有重主分杂质Xb，而塔底也有轻主分杂质Xa。现在的问题是，怎样的分离才算经济上最优。

图4.0.1 二元精馏塔的分离示意图

我们可以定义这个过程的优化目标函数如下：

J = 产品所得 – 原料成本 – 能源成本

= Fa*$a + Fb*$b - Ff*$f - Qc*$c - Qr*$r （1）

式中，

Fa和$a – 塔顶产品流量和价格

Fb和$b - 塔底产品流量和价格

Ff和$f – 进料流量和价格

Qc和$c – 冷凝量和价格

Qr和$r – 再沸器热量和价格

约束条件是:

塔顶和塔底的杂质主分小于产品指标值 Xa <= Xa_spec, Xb<=Xb_spec （2）

冷凝器和再沸器能量受限于最大设计值 Qc <= Qc_max, Qr <= Qr_max （3）

由该塔的物料平衡，我们可以得到:

塔顶产品 Fa = Ff (Ca-Xa) / (1-Xa-Xb) （4）

塔底产品 Fb = Ff (Cb-Xb) / (1-Xa-Xb) （5）

对该塔的能源消耗，我们有经验公式：

冷凝量 Qc = Ff (c1 + c2*Xb + c3*Xb*Xb) （6）

再沸热量 Qb = Ff (d1 + d2*Xb + d3*Xb*Xb) （7）

将（4）-（7）代入（1），可得

J = f(Ff, Ca, Cb, Xb, Xa, $a, $b, $c, $r) （8）

在给定Ff, Ca, Cb, $a, $b, $c, $r的情况下，（8）式中只有Xa和Xb是优化变量，而如果塔底产品价格高于塔顶产品价格，即 $b > $a，那末Xa应控制在其上限（低价值组分作高价值产品），就是所谓的卡边操作。这样就只剩下唯一的优化变量Xb，可以很容易的算出它的优化值是15%，其对应的最大值J是$1006/小时。既然b主分价值高于a主分，为什么不尽量将这个数值控制在最小值呢？这是因为，要获得那样的结果，就需要加大回流量，导致冷凝量和再沸热量的消耗都上升，而抵消或超过由更多的塔底产品所带来的经济利益。图4.0.2是用MS Excell计算的图像显示。顺便说一下，MS Excell里的Add-Ins Solver也可以方便地用来求解复杂的优化目标函数。

图4.0.2 优化分离的图像显示

这个例子很间单，旨在用来说明化工过程中优化概念。实际的情形要复杂得多，我们将在下一节用Aspen Plus 的Real Time Modeling and Optimization来详细考察。

这里提出一个数学上臭名昭著的Banana函数优化问题，有兴趣者不妨用MS Excell里的Solver去求解一下。当然用其它方法也可以。

J = 100*(X2 – X1^2)^2 + (1-X1)^2

求解J的最小值，无约束条件。^2是平方算子。