主题：【原创】勾股定理（十二） --- 王者归来（续） -- 我爱莫扎特

我爱莫扎特:目录（续二）

一旦知道曲面的第一基本形式，我们就可以求出曲面上任意曲线的长度。给定曲面上两个点，存在无穷多条不同的曲线把它们连起来。所有这些曲线中，长度最短的曲线（可能只有一条，也可能很多）被称作“测地线”。（我们在眼见为实中已经见过。）并且，我们可以定义两点之间的距离（度量）为它们间测地线的长度。很容易证明，这样定义的度量满足技术细节中的度量公理。

对于任意曲面，要求出测地线并不是一件容易的事。我们知道，微积分可以求出函数的极值点---那些使函数在局部取极大值或极小值的点。不过现在的问题要复杂得多。我们需要找的是取极值的曲线，而不再是点。此时，传统的微积分技术不再够用，需要更强大的工具---变分法。

一旦有了测地线（相当于直线），从而有了曲面上两点间的度量公式，我们可以接着构造出熟悉的几何对象，比如多边形，圆（圆是到一个固定点距离相等的点的全体）等等。通过第一基本形式，我们也可以很容易的计算出相交曲线的夹角。自此出发，可以建立起曲面的大多数几何性质。不同的第一基本形式可以导致截然不同的几何性质。如果说第一基本形式是几何对象的原子或分子，恐怕并不过分。

现在我们可以试着回答本文开头提出的问题，用新的眼光来看Poincare圆盘模型。尽管该模型的主体在平面上的单位圆内部。但是，该模型的第一基本形式与欧氏几何不同，为

我们把上面的式子稍加变形：

通过这个简单的例子，我们可以看到，仅仅是第一基本形式的差异，就可以导致几何性质的差异，甚至使得欧氏几何变身为非欧几何。而这正是非欧几何的本质！我们将等到黎曼出场之后，再详细论述这一点。

至此，我们对前文提出的局部化的概念有了更加深刻的理解。假设二维曲面上有一个小小的测量员。那么，一旦给定一套局部坐标系，他就能准确的知道他的位置。而且，这套坐标系与曲面配合，会创造出一把神奇的尺子，这把尺子会自动伸缩，在不同的地点给出不同的尺度。有了这把神尺，测量员的大部分工作都能圆满完成。熟悉相对论的朋友一定会对这个比喻似曾相识。的确，当爱因斯坦提出“每个测量员都有一个自己的时钟”时，改变了全人类千百年来根深蒂固的时空观念。而高斯的神奇尺子，虽然只是用来测量大地而非宇宙，却已经隐隐显出相对论思想的光芒。要知道，这时候距离相对论的出现还有整整80年！随着本系列的逐步展开，朋友们就会清楚的看到科学史是如何一步一步的前进，高斯的神奇尺子是如何经黎曼之手最终演变成爱因斯坦的时钟。

更有甚者，高斯的第一基本形式与今天的全球化商业模式暗暗相合。我们都知道，成功的国际跨国集团，必须在每个地区每个国家做好本土化（localization，局部化），根据不同的地区找准定位（coordination，坐标）。还需入乡随俗，在当地讲当地的规矩（rule，尺子）。正所谓一法通，万法通也。

在本文的最后，我们对前文提到的“局部来看，曲面可以近似的看作平面”略加解释。为了计算曲线的长度，我们要把曲线切割成非常非常短的线段再加以拼接。而这些非常非常短的线段的极限状态，就是曲面上每点对应的切线。经过每点有无穷多条切线，它们全体构成一个线性空间。对于二维曲面，这个空间被称为该点所对应的切平面，而高维情形则被称为切空间（tangent space）。也就是说，为了做到局部线性化，我们必须对每个点构造出一个曲面之外的理想平面（空间），第一基本形式其实并不是曲面上的勾股定理，而是每点对应的切平面（切空间）上的勾股定理。

切空间并不是一个新生事物，早在高斯之前就已经被数学家认识。然而，切空间的概念在20世纪被大大拓展，重新焕发活力。20世纪的几何学家们发现，可以把曲面上所有的切平面用某种代数结构捆在一起，形成“切丛”（tangent bundle）。形象的看，切丛好像披在曲面外的一层盔甲，在每一点上都有一张无穷大的甲片。人们发现，对这些“盔甲”的研究，有时候居然比直接研究曲面来的更加有效。

切丛是“向量丛”（vector bundle）的一个例子。另一个重要的例子是法丛（normal bundles）。在二维曲面上，过每一点都可以作一条直线，与相应的切平面垂直。这条直线即法线（normal line）。曲面的法丛就是用代数结构把所有的法线捆在一起。直观上，二维曲面的法丛如同金庸笔下的软猬甲，竖着一根根的钢刺。

向量丛的概念可进一步抽象为更一般的“纤维丛”（fiber bundle）。纤维丛是二十世纪几何学的中心，与物理中的规范场论（gauge theory）有深刻紧密的联系。二十世纪七十年代，华人科学家中成就最高的两位大师，陈省身和杨振宁曾经在这个领域展开合作。陈省身是纤维丛的奠基人之一，而杨振宁则是规范场论的先驱。杨振宁对陈省身说：“非交换的规范场与纤维丛这个美妙的理论在概念上的一致，对我来说是一大奇迹。特别是数学家在发现它时没有参考物理世界。你们数学家是凭空想象出来的。”陈省身却立刻加以否认：“不，不，这些概念不是凭空想象出来的，它们是自然的，也是真实的！”

陈先生的这个回答其实也是我这个系列想要表达的。数学虽然常常以抽象的面目示人，但它的核心思想却简洁而自然。数学的力量来自对大自然细致的观察和深刻的理解。数学尽管有自身的逻辑与工具，却仍是对客观世界的真实反映。所以数学理论经常领先于物理学并不令人奇怪，因为数学和物理原本就是对客观世界的不同刻画而已。本文已经提供了若干这样的例子，后文中我们还将看到更多有趣的例子。

• 【原创】勾股定理（十一）--- 王者归来
• ※ 西河文萃 第25期 2009年8月11日 ※中
• 目录（续二）