主题：【原创】冤假错案的数学原理 -- 同人于野

　　我最近连续从几本书中看到同样的概率典故，不得不把它写下来。人的直觉是一个非常强大的武器，在很多情况下可以帮我们不需要精密计算就能做出正确的判断。但是在人的众多直觉能力之中，不包括概率。下面我说说这个典故。

　　现代技术检测 HIV 病毒的准确度已经到了惊人的程度。如果一个人真是 HIV 阳性，血液检测的手段有 99.9% 的准确率，也就是说有 99.9% 的可能性把他这个阳性给检查出来而不漏网。如果一个人不携带 HIV，那么检测手段的精度更高，达到99.99% - 也就是说有 99.99% 的可能性不会冤枉他。

　　现在假设我们随便在街头找一个人给他做检查，发现检测结果是 HIV 阳性，那么请问这个人真有 HIV 的可能性是多大呢？

　　在你回答之前，我要提供一点背景资料。德国马普研究所的心理学家曾经拿这道题考了好几百人，包括学生，数学家和医生。结果 95% 的大学生和 40% 的医生（这些医生实际上都受过这方面的专门训练）都给出了错误的答案。

　　如果你真懂概率，你会想到要使用贝叶斯定理，然后你会发现这道题还缺少一个关键信息：那就是一般人感染 HIV 的概率。现在已知一般人感染 HIV 的概率是 0.01%，也就是说一万个人中才有一个人感染这种病毒。根据以上信息，这位不幸被检测为 HIV 感染者的朋友真有 HIV 的可能性是多少呢？

　　正确答案是 50%。

　　我先说贝叶斯定理的算法，然后再给一个更直观的解释。贝叶斯定理说的就是条件概率。如果我们用 A 表示 “真有 HIV”，B 表示 “检测出 HIV”，那么我们要计算的是 P(A|B)。 已知 P(A) = 0.01%, P(B|A)=99.9%。

　　P(B) 需要计算一下，它等于 0.01% x 99.9% [也就是有 HIV 而被查出来的]+ 99.99% x 0.01% [也就是没有 HIV 但被冤枉的]。

　　贝叶斯定理说，P(A|B) = P(B|A) x P(A) / P(B)，计算结果等于 0.5.

　　直观的解释是这样的。假设我们随机地找一万个人来做实验。根据 HIV 病毒的分布，这一万人中应该只有一个人是真有 HIV 的。而由于我们的检测手段很强，这个人会被检测出来。但剩下的9999人都没有 HIV，可是我们对没有 HIV 的人的检测精度是 99.99%，也就是说有万分之一的可能性会冤枉好人。这样一来，我们的检测手段还会在9999人中冤枉一个人。

　　本来只有一人有 HIV，可是我们却检测出来两人。所以如果一个人被检测出 HIV 来，他真有 HIV 的可能性其实只有 50%。

　　从根本上说，造成这种局面的原因在于 HIV 其实是一种罕见的病毒，只有万分之一的感染者。在这种情况下即使你的检测手段再高，也很有可能会冤枉人。下面再给一道例题：

　　1%的妇女有乳房癌（简称为C）；80% 的有乳房癌的妇女会在乳房 x 射线照相检验 （mammographies， 简称M）中成阳性；10%的没有乳房癌的妇女也会检测到M阳性。现在有一个妇女检测到了M阳性，请问她患有乳房癌的概率是多少？

　　答案：P(C)=0.01; P(M|C)=0.8; P(M)=0.8*0.01+0.1*0.99=0.107,所以

　　 P(C|M)=P(M|C) P(C)/P(M)=8/107.

　　这是一个出乎意料的小数。

　　如果一个疾病比较罕见，那么你就不应该对阳性诊断特别有信心。

　　由此我联想到当初文革期间的“抓特务”行动。“特务”这个工作的要求，其实贵在精而不在多，再说国民党也没那么多钱养，真正的特务其实是很少的。如果我们看到一个人长得像特务，说话走路也像特务，我们有多大把握说他就是特务呢？上面的两个概率例题告诉我们，“误诊率”可以相当高。“抓特务”，最好的办法是冒出来一个抓一个，最可怕的办法是搞“人人过关”。如果你搞“人人过关”，必然是一大堆冤假错案！

　　这就是概率。哪怕你的初衷再好，你也会犯错！

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　　本文第一个例子来自 The Social Atom 一书。

　　第二个例子来自 Super Crunchers 一书。

　　另外好像 The Drunkard's Walk 这本书里也有一个类似的例子。

　　别人一而再，再而三地强调，我们岂可不知呼。

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