主题：【原创】从《I, Robot》的话题谈俺对机器生命的认识 -- 你克我服

奥地利数学家哥德尔在1931年发表了题为《论<数学原理>及有关系统的形式不可判定命题》的论文，其中提出这样一个观点，在任何数学系统中，只要其能包含整数的算术，这个系统的相容性就不可能通过几个基础学派所采用的逻辑原理建立。简单地说，就是在任何系统中，总有些真理是游离于逻辑之外的，这些真理就叫做歌德尔命题。

比如说大家知道欧几里得的《几何原理》中的第五公设就是平行线公设：两平行线永远不能交于一点。但是打破第五公设，人们仍然可以建立完整的罗巴切夫斯基几何和黎曼几何等等非欧几何，并且在现代物理中都有重要的应用。

后来，数学家对个别命题的演绎证明逐渐转向了对整个数学的研究。此后很长一段时间，大家在努力构造一个完备的数学体系，包容所有的真理命题，使得所有存在命题可以通过此体系彼此证明出来。但歌德尔这位天才逻辑学家+数学家+理论物理学家在一个形式化的算术体系中构造出了命题G：“G是不可证明的。”这是一个不可判定的命题。（假设G是不可证明的，则G为真，由命题真与命题可证明等价，则G可证明；假设G可证明，则G为真，则G不可证明。）从而也就证明了不完备性定理：

Ⅰ）歌德尔第一定理

????对于包含自然数系的任何相容（彼此矛盾的陈述不同时为公设集所包含）的形式体系F，存在F中的不可判定命题，即存在F中的命题S，使得S和非S都不是在F中可证明的。

Ⅱ）歌德尔第二定理

????对包含自然数系的任何相容的形式体系F，F的相容性不能在F中被证明。

????这样歌德尔就说明了“人类智慧没有能力公式化它的所有数学直觉，它只能用公式表达出它们中的一些”，而非全部。数学上总是存在着无法用理性证明的直觉，数学远非一大堆毫无生气可言的枯燥的逻辑堆砌，人类理性根本上也是不可能建立这种程式化的逻辑的。同时人类在处理包含思维的抽象体系时有极大的局限性，因为人的理性乃是根植于这个体系中的，人无法超越这个体系来理性地审视思维本身。歌德尔定理认识到了理性的局限性，人永远不能超越理性来认识理性。

上面提到的欧几里得第五公设就是一个无法在各自体系内证实与正伪的定理，他是依赖于人的直觉的，因为它涉及到无穷这个“最让数学家头疼的概念”。谈到无穷，又有一大堆话要说，下回吧。