主题：【原创】传说中的“最省油速度存在吗” -- 本因坊幻庵
长久以来，一个传说流传在广大司机中间：存在一个最省油速度，以某个速度开车最省油，这个速度因车而异，听上去很神奇的样子，那么所谓的最省油速度当真存在吗？
我们知道，汽车烧油是为了做功，那么汽车行进过程中要做那些功呢？
首先发动机怠速运行要做功，这个跟发动机怠速运行功率和时间成正比，记为pt，其中p为功率和车的发动机排量、性能相关是个常数，t为时间。其次，克服摩擦力要做功，这个跟摩擦力和距离成正比记为fs，其中f为摩擦力，和车的质量路面摩擦系数相关，在既定路面上f是常数；s为距离，不是向量。然后要克服空气阻力做功，记为μsv^2，其中v为速度；μ为风阻系数，和汽车的形状空气密度相关，是个常数。这样，车辆行进过程中的功为：pt+fs+μsv^2，然后在乘上一个转换系数η就是耗油量了，同样η和汽油的燃烧值、抗爆震性、发动机的燃烧效率、能量转换率相关，是个常数。即汽车耗油量公式为：
PC=（pt+fs+μsv^2）η
所谓的省油费油的分别就是在单位距离消耗的燃油，因此得出汽车的油耗公式：
PCr=（pt+fs+μsv^2）η/s
这个公式中，常量为p、f、μ、η；变量为t、s、v，在数学上不好处理，因此将公式变形得到：
PCr=（pt+fs+μsv^2）η/s
=（pt/s+f+μv^2）η
=（p/v+f+μv^2）η
这是个以v为自变量的函数，如果说存在最省油速度，则必然在非负数域存在一个v使PCr最小，或者说函数PCr在v的非负数区间存在最小值。但是直接观察该公式，p/v部分随v的增大而减小，μv^2部分随v的增大而增大，很不好判断函数值的走势，怎么办呢？
“求个导吧。”——教我微积分的大学教授的口头禅。
于是得到：
PCr`=[-pv^(-2)+2μv]η
通过观察发现在v→0时PCr`→-∞；v→∞时PCr`→∞（v趋近于0时，导函数趋近于负无穷；v趋近于无穷时，导函数趋近于无穷）。由于导函数为负则原函数处于单调递减区间，导函数为正原函数处于单调递增区间，那么可以说如果汽车运行速度较低，那么开快点会比较省油，如果速度已经比较快了，稍微减速会比较省油。但这个结论过于模糊，为了得到精确的结果，再对PCr`求导，得：
PCr``=2ηpv^(-3)+2μη
我们发现二阶导函数在（0，∞）区间始终为正，则一阶导函数为增函数，那么必然在自变量v取某个值的时候，导函数为0，原函数PCr存在最小值，这个v值就是传说中的“最省油速度”。
现在就可以把这个值算出来：
PCr`=[-pv^(-2)+2μv]η=0
V=(p/2μ)^(1/3)
至此，终于从数学上证明了“最省油速度”存在并给出了计算公式。
那么如何得知这个最省油速度呢？怠速功率还好说，车管所说不定能查到，风阻系数咋办？人家厂商花大价钱用风洞吹出来的东西必定是最核心机密，外人哪能得知？其实不必知道，老司机都有经验，对于大多数轿车而言，这个速度在时速80km至90km之间。
完
附：几个有趣的推论
对于具体某一辆车而言，最省油速度恒定，与道路好坏无关（前提是不能是颠簸路面）。
最省油速度和发动机怠速功率成正比，和风阻系数成反比，故排量越大的车，最省油速度越大，流线型阻力越小的车，最省油速度也越大。因此大排量流线型的跑车，速度要比一般轿车快才会比较省油（当然开这等车本质就是费油）。
根据公式PCr=（p/v+f+μv^2）η，可以发现当v趋近于0的时候单位距离的耗油量即油耗趋近于无穷，这个很好理解，光烧油不行车当然最浪费汽油。另外也可以看出为啥市区开车总是不省油。厂商的油耗都是在试车场上用“最省油速度”跑出来的，在市区休说能开那么快，又必须时常停车，当然很浪费汽油，跑不出说明书上的油耗很正常。
最后，通过观察PCr =（p/v+f+μv^2）η可以发现，假如能够将发动机怠速功率降低到0，最省油速度竟然也是0！这意味着什么呢？其实换个角度想想就很清楚了：不开车才最省油。
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