主题：【原创】金融定量分析的习题解答开源运动：序 -- 厚积薄发

我按照北大版《数学物理方法》的章节顺序逐一解释，沿路引出国外的相关著述。

【第一章：复数和复变函数】

这一章是介绍复数概念，没有什么难的地方，习题也平淡无奇，所以我的习题解答直接省略了这章习题。

但我想点一下的，是对复数的两种不同看法。一种是纯粹数学家的公理化观点：复数是数学家创造的一个“概念”；用公理化的观点看，就是给定了一个集合，然后在这个集合上赋予一套自洽的运算，再然后数学家们就开始自己跟自己玩了。另外一种看法就是建模的观点：复数是一个“模型”，从物理和工程的角度讲，它被发明出来是为了便于描述现实世界的某些现象（比如交流电的变化）；它的运算也对应于一定的物理运动。

第一种观点可以在方企勤编著的《复变函数教程》的开篇找到痕迹：复数是二元数组的集合以及在这个集合上定义的一组运算。第二种观点则在几乎所有的物理工程类教材中都可以找到。

这两种看法反映了同一事物的不同侧面。我们需要注意的是，当我们论证复变函数的性质时，是在严格遵循“公理->定义->定理”的路径；但当我们使用复变函数来描述自然现象的时候，又是把抽象的观念和具体的物理现象做了一个一一对应。所以“物理直观不等同于数学上的严格证明，无论它多么显然”。我们在这两个世界之间切换的时候，不要自己把自己搞迷糊了。

【第二章：解析函数】

这一章介绍解析函数的定义与基本性质，是经典的题目、经典的讲法。我也没啥可以多说的。习题大部都做了，就是章末的第8至第14题略过了，因为都是很简单的题目，基本上一句话就行了。况且课本后面已经给出答案了。

有几点想提一下。第一，这一章讲解了一下多值函数。多值函数的用途大家在后面利用柯西积分算各种特殊定积分的时候就会看到。简而言之，我们用黎曼面定义了一个抽象的拓扑空间，来作为多值函数的定义域空间，从而使得多值函数再次成为“普通”的单值函数。教科书上用了一些图片来把这些抽象的拓扑空间从视觉上直观化。但严格讲来，它们还需要数学上的严格定义。这是“黎曼曲面”这个课程通常研究的对象。

作为物理工程类的学生来说，只要记住“黎曼面是一个抽象的拓扑空间，以便我们把多值函数变成单值函数，方便我们做计算”就行了。

在这里，大家可以看到我前面提到的两种不同世界观的差异：对于物理学家和工程师来说，工作已经结束了；对于数学家来说，工作才刚刚开始。

关于黎曼面的严格定义和性质，我以后会专门为复分析写一本习题解答，其中会作比较详细的讨论，大家少安毋躁。这次上载的文档里有两个文件：riemann_surface_1.pdf和riemann_surface_2.pdf。是美国一所大学的本科复分析课程的补充笔记，大家可以看看。

第二，我以前读书的时候求全责备，总是希望一本书尽善尽美，以后我需要学习或者查阅什么东西，只看这一本书就行了。年纪稍长之后才觉得当年的天真。现在的习惯是以一本较好的教材或者专著为主，以其他书籍、文章、笔记为辅，尤其注重用一个个独立的模块为自己的知识体系打补丁。这其实是由哲学观的变化导致的学习方法上的变化。我在以前的帖子里曾经讲过自己的这个心路历程，这里就不赘述了。只是从“用模块化的方式为已有的知识体系打补丁升级”这个观点出发，向大家推荐一个网站：http://cnx.org/。这个网站的宗旨是

我自己的工作学习从这个网站获益匪浅，建议大家对于一个具体的知识点有疑问的时候，不妨先查阅一下这个网站。

对于把“知识分割成小模块逐步吸收”这种学习教学方式还有疑惑的同学，可以参阅纽约大学柯郎研究所的退休教授Peter Lax的著作Functional Analysi。Lax教授是世界著名的应用数学家，沃尔夫终身成就奖获得者（陈省身先生也曾获此殊荣）。他的这本泛函分析很有特色，每一章节通常不超过6页，因为他认为这大概是一次阅读而不使大脑疲劳的最大限度。所以“小型化”、“模块化”这种土头土脑的学习方式不是俺自己胡诌的。我不是刻意去遵循主席“愚公移山”的“伟大指示”，也不是刻意去模仿大学问家的学习方式。实在是按照事物的本来规律来做事，必然会殊途同归，就如庖丁解牛必然会从骨头缝隙之间下刀一样。所以我在以前的帖子里强调过要用“道”来统摄“术”。

顺便八卦一下，中共重庆市委宣传部出了一个“读点经典”的系列丛书，用的是同样思路。不得不感叹一下重庆王做事颇有手腕。

第三，以前读书的时候，曾经读到过“见树”与“见森林”的说法。曾经很疑惑：“见树俺明白，无非就是格物致知，具体到学数学就是每个证明或者计算都搞清楚，自己背着书也能自行推导而已。可是这个‘见森林’却是怎么一个见法？”

大家不要笑，我就是这么笨。从来木有什么人跟俺讲解这些，俺都是自己琢磨。我是多年以后，尤其是在自己大量阅读文献并做过独立的科研以后，才有了一点自己的理解：“无非是看大脉络而已。一言以蔽之，从哪里来，来干嘛，到哪里去”。以前面黎曼面的概念为例子。“见树”就是要一点点搞清黎曼面的概念是如何严格建立起来的，它的性质如何。与此对应的行动就是仔细读专著。“见森林”就是前面我那句极其功利的话：“俺要用多值函数做计算，为了定义好多值函数，俺大致需要如此如此的一个概念和构造。就给它取名为黎曼面吧”。当然，你要把它叫“旺财”、“小强”我也不反对，反正有大数学家希尔伯特替俺站台呢：“在我看来，几何对象也可以称作啤酒瓶”（大意，语出二十世纪初数学公理化高潮时期，希尔伯特写作《几何基础》前后）。

所以，一个数学对象不是什么神秘化的东西，而是因为有确实的需要，才被人们发现或者发明出来的。我们要了解一个新理论，首要的一个问题是：“你新理论的核心想法是啥？给我一个具体的问题，现有方法不能解决或者解决起来很麻烦，而你的新理论可以解决或者解决起来多快好省。”用阿汤哥的台词来说，就是“Show me the money!”。

这在其他自然科学中是很自然的想法。但是在数学中，尤其是纯数学中，当无人点醒时，如我一样资质不高的人就容易转晕了。这一点和现代教科书的写法也有很大关系。

我想强调一点：“见森林”的基础是“见树”的功夫足够了。我们可以只看大的脉络而不看细节，是因为我们的基本功够扎实，有足够的自信能够在了解大方向和核心想法后，把东西全盘逆向工程出来。至于什么时候就可以从“见树”变为“见森林”了，我自己是一个跳跃过程，所以说不好。只能说，水滴石穿，水到渠成。

最后一条，我在这章的习题解答里用了一点常微分方程论的结果。东西很简单，但是我写的时候图简洁，用了一点微分形式的语言。有感觉我装B而不爽的同学可以直接去读我给出的参考资料，那里用的是微积分的语言。本来那本常微分方程的习题解答应该先贴的，现在打乱了次序，大家见谅，以后一定补上。

【第三章：复变积分】

这一章的核心内容是柯西积分定理和柯西积分公式。后者其实是前者的推论，而前者则来自于解析函数的可微性对实部和虚部同时提出了要求，使得可以用格林定理建立一个和谐美好的世界。这个主线抓住了，其他的就都是细枝末节了。

这一章都是很简单的计算，大家一线平推就是了。我把习题都做了，大家伙可以对照对照。

考大家一个问题。微积分里面有中值定理 f(a) – f(b) = f’(c) (a – b)。对于复可微的函数，这一条还对吗？如果不对，我们在实际工作中往往需要估计 |f(a) – f(b)| 的大小，如何估计？

我上载的文档里有篇文献：qazi.pdf ，对第一个问题给出否定回答，并给出了反例。对于第二个问题，使用柯西积分公式就可以达到类似效果。所以解析函数一定是（局部）李普西茨的。

【第四章：无穷级数】

这一章没有太多的说法。总而言之，这就是为解析函数的一个等价定义做准备，与第五章其实是密不可分的。有兴趣的同学们可以去查阅历史上维尔斯特拉斯使用这种等价定义的来龙去脉。

我的习题解答跳过了第6题第（4）小题，原因是没做出来。俺没觉得有啥不好意思：俺每道题都没有太多的时间去想，20分钟之内做不出来就会放弃。所以有题目一下子想不出来也很正常。反正俺也是颇做过一些难题的，不缺这几道。

这一章结尾处讲了一点发散级数和渐进分析。我个人感觉没有讲透。但我不是这方面的专家，所以就不评论了。只是上载一些书中提过的和没提过的参考资料，清单如下：

【1】 Hardy. Divergent Series. （你要不知道这本书就谈“发散级数”，不如一头撞死）

【2】 Wong. Asymptotic Approximations of Integrals （美国工业与应用协会“经典应用数学丛书”中的一本）

【3】 de Bruijn. Asymptotic Methods in Analysis.

【4】 Erdelyi. Asymptotic Expansions. （美帝海军赞助，加州理工出品，短小精悍）

【5】 Dingle. Asymptotic Expansions: Their Derivation and Interpretation （看名字就知道比较平易近人）

外加一个网上找到的笔记，一并放进“渐进分析”的文件夹里了。

（待续，参考资料在这个主题结束时一并上传）