主题：【原创】金融定量分析的习题解答开源运动：序 -- 厚积薄发

现在谈谈《数学物理方法》这本教材的第二部分：数学物理方程。我把这一部分翻来覆去地看了几遍，发现将近两百页的篇幅其实就写了四个大字：“变换”、“逼近”。

我承认我是懒人，时时刻刻都在琢磨如何偷奸耍滑，用最小的力气换取最大的回报。所以我会喜欢克莱因的《高观点下的初等数学》。所以我认为在周星驰的电影《鹿鼎记》里，陈近南实在是一个很有大爱的人：一上来就传授绝世武功秘籍的目录。这是真正地授人以道啊。同理，当我发现这本教材用两百页的篇幅只解释四个字的时候，我马上做了决定：“习题解答就做它了！”

说数学物理方法只有这两条当然是不对的。但是从这两个观点看过去，确实可以统摄一批工具和技巧。接下来我就按章节逐一讨论，和兄弟姐妹们切磋一番。

【第十二章：数学物理方程和定解条件】

这一章是搭建主人公表演的舞台，没有什么可以多说的。物理学出身的人比我有资格得多，我就不聒噪了，老老实实做题。

【第十三章：线性偏微分方程的通解】

要去华尔街面试的兄弟姐妹们这一章要熟悉哈。原因俺就含笑不语了。

这一章的方法有个明确的名目，曰“operational calculu”。最早来源于一些数学家和工程师从形式上解微分方程的努力（大家熟悉的Heaviside 就是其中一位）。具体的做法就是把微分方程的求解通过形式化的微分算子，转化成代数方程求解。

例如求解一个二阶常微分方程y’’(t) + a y’(t) + by(t) = 0。我们通常被告知：“先求解特征方程x^2 + ax + b = 0，然后方程解的一般形式就是 c1 exp(x1 * t) + c2 exp(x2 * t)了”。验证一下这确实是对的，可是除了死记硬背，怎么把这个技巧看得比较“自然”呢？

办法就是把原方程看作（D^2 + a D + b） y = （D – x1）(D – x2) y = 0。这里 D 是微分算子。然后问题就简化为解一阶线性常微分方程 （D - x1）y = 0 和 (D – x2) y = 0。而这是可以通过积分因子法轻易求解的（参见丁同仁李承治的书）。最后利用解的线性叠加性，把方程的通解表示为两个基解的线性组合就行了。所以这么一道微分方程求解的题目，把“变换”和“逼近”这两个思想都用足了。

这是一个很好诠释数学家们口耳相传的一个常识的例子：“一开始，我们只是发现了一个技巧；然后技巧演化成了一个方法；最终方法变成了一个理论”。

所以在很多情况下，用这种形式化的算子法来解微分方程，当其适用的时候，往往是最简单的。丁同仁李承治的《常微分方程教程》有一章专门讲这个方法。但是第二版却把相关内容拿掉了，俺很不解，也很不满。

这种形式化的operational calculus能够解线性常微分方程，也能够解线性偏微分方程。这就是第十三章的一条主线。其他还有一些相关不相关的细节，大家逐一学习就是了。习题当然还是全做。

【第十四章：分离变量法】

我第一次读变量分离法的时候，先是不信：“你咋知道解可以写成变量分离的形式”？然后就是掉眼镜了。。。

其实回过头来看，这无非就是逼近罢了。以求解一个二元偏微分方程为例。基本想法就是把未知函数 f(x,y) 用形如 g(x)h(y) 这样的函数的线性组合来逼近。而每一个g(x) 和h(y)又各自用一组基来表示。这个想法是很自然的，例如用多元多项式去逼近多元函数，用傅立叶级数去构造一个函数，等等。

碰巧我看到最近还有人在研究这类问题：

V. A. Daugavet and M. V. Kireeva. Approximation of a Function of Two Variables by a Product of Functions of One Variable on a Given Domain. Vestnik St. Petersburg University. Mathematics, 2010, Vol. 43, No. 3, pp. 131-138. http://www.springerlink.com/content/jkp321w67204722j/

所谓的“本征函数”，无非就是满足一定限制条件的逼近函数而已。为了能够达到逼近的目的，我们还需要确认它们构成了函数空间的一组基。而为了让逼近方式尽量简洁，我们还希望取正交基，等等。这大致就是后面第十八章解释的“高观点”。

第十四章的习题我略掉了第4题、第8题、和第11题。主要是因为我的大学物理已经忘光了。不太确定我列出的数理方程是正确的。

【第十五章至第十七章】

这几章并没有什么新的东西。无非就是如第十五章开篇所言，由于微分方程的作用区域不同而需要引入新的坐标，从而导致产生新的方程、新的函数（作为方程的解）。

这几章涉及的计算虽然直接，但是量实在是太大了。我一是体力上吃不消了，二是觉得在技巧上并没有新东西需要展示的。所以我就只挑了其中一部分给出了解答，而没有全做。有兴趣的同学们可以自己把解答补全。容我偷懒了。

【第十八章：分离变量法总结】

这一章的内容和动机已经在前面解释过了。大家逐一做题就是了。题目简单，当然还是全做。

(待续。需要睡觉了，明天写完。）