主题：几何直观地介绍广义相对论的时空以及大爆炸模型 （0） -- changshou

几何直观地介绍广义相对论的时空以及大爆炸模型（1）什么是流形？

1.1 流形是 数学家引入的 一种很基本的几何概念。 它以抽象的方式定义 就如我们可以以抽象的方式定义实数（分数和无理数）一样。 物理上 我们用它 作为时空的模型。这么做 对于理解这一概念的人 自然得 就如 物理上 我们用实数 作为长度测量的模型一样。 不过一般人容易接受实数的概念 （其实也不容易，想一想无理数的曲折历史吧）， 但不易接受流形。

1.2 几个流形的例子。 先不做定义， 只举例。

1.2.1 普通人眼中的 平面 和 三维空间（今后就叫三维欧式空间）。

前者是2维的， 后者3维的。 它们都是无限延展的，都没有边界。

1.2.2 三维空间里 球的表面 （球面），轮胎的表面， 一个通常三维物体的表面。

球的表面，轮胎的表面 都不是无限延展的，都没有边界。啥？ 没有边界？ 球面 不是球的边界吗？ 是，但我没在说球， 说的仅仅是球的表面。 球的表面 自身是没有（低一维的）边界的， 不是么？

这些东西都是二维的。 因为它们都是“面”。

1.2.3 三维空间里 球体的内部 （不含边界）。

球体的内部指的是 一个实心球。 但不含球的外表面。

这家伙是3维的。它没有边界。为啥？因为 唯一有资格叫边界的 就是球面，可它不含球面呀。 如果含了？ 那当然就以球面为边界。

1.3 高维数的流形例子

1.3.1 现在想象一个 4维的 欧式空间。

办法是先想 平面到三维空间的过程。 2维的平面上强行添加一个 新的 不含在平面里的 方向。 这个新方向和平面一起 “张成”了 三维空间。 三维空间中 一个点 可朝三个方向运动。 一个是新方向， 另两个沿着平面。

这里的要点是 做这件事 不要预先想象 三维空间 事先在那里。 他是 通过在平面基础上 强加新方向 被构造出来的。

现在 对已造出来的 三维欧式空间 再强加新方向 并重复以上思维活动。

说详细点，3维到4维 和 2维到3维 的逻辑是一样的。

2维到3维， 先 彻底忘掉 第3维。然后 通过添加新方向 构造出三维。3维到4维， 先 彻底忘掉 第4维 （对三维人类来说不需要忘， 根本就没感觉）。然后 通过添加新方向 构造出4维。即 一个点 除了 上下，前后，左右这三条线外， 人为规定它可以往第4个独立方向动。

这种人为规定的东西 不一定可以在现实中实现。 不过作为头脑中的一个模型， 没有任何问题。

还是无法想像？呃，也许可以想像第4个独立方向 叫时间。 时间是1维的， 一个点可以在 过去未来 这条线上动。这条线 独立于 上下，前后，左右这三条线。如果你在脑海中 试图标记这个点 在时间和空间中的 所有可能位置，你便得到4维“空间”了。 只不过这个“空间”是通常的三维空间加时间。

1.3.2 在3维的欧式空间中 固定一个点。 把所有 到这个点的距离为1的点都集合起来。 这是前面提到的二维球面。

在4维的欧式空间中 固定一个点。 把所有 到这个点的距离为1的点都集合起来。 这叫3维球面。下面还会讨论它。3维球面也是没有边的。（能接受吗？） 它在4维的欧式空间中 也不是无限延展的 （因为到固定点的距离为1）。

3维球面 和 4维的 欧式空间 也都是 流形。

1.4 嵌入的流形

在1.2中的流形例子 （除了三维欧式空间本身） 都是 “被放在” 三维欧式空间 （另一个流形）中的。在1.3中的3维球面流形例子 是 “被放在” 4维欧式空间 （另一个流形）中的。

所以它们都是 嵌入（在另一流形中）的流形。

1.5 再看三维欧式空间

在1.2中 三维欧式空间没有嵌入其他流形。在1.3中 3维欧式空间 嵌入4维欧式空间 （另一个流形）。

要点：不嵌入其他流形 的流形 是可以被想象的， 虽然目前只能想象 欧式空间有这种可能。

1.6 挑战

好了， 现在想象一个 不嵌入其他流形 （起码不嵌入 某个3维的欧式空间） 的二维球面吧。 想不出来？ 且听下回分解。

待续

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