主题：几何直观地介绍广义相对论的时空以及大爆炸模型 （0） -- changshou

几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （4）什么是流形？（续3）

这篇没有上篇重要。关键部分是 4.2

4.1 边界

前面定义的流形 是没有边界的。 原因在于 定义使用的 （2/3/4 维）欧式空间的一部分 都是不必含边界的。 比如 构造 内在的粘成的橡皮膜球面 时， 我们用了两圆盘状的 平面膜 （1号膜2号膜）， 这是由2.3 中的 球面膜 被压扁在桌上摊成的。两圆盘的边界都是圆圈， 要不要无所谓， 反正要被粘掉 (为确定起见 我们不要)。但如果取一个圆盘， 然后发一个粘合指示说：啥也不粘，那带不带边界 就有意义了。 如果不带， 就是一个圆盘内部， 是一个2维流形。如果带了， 就是一个圆盘内部加一个称为边界的圈， 叫做 有边界的2维流形。

4.2 嵌入的（粘成的）橡皮膜球面

如果你理解了 内在的粘成的橡皮膜球面， 你能说说 啥是 嵌入的粘成的橡皮膜球面吗？ 不懂？没学过？

其实你早懂了。 这就是 2.3 中讲的 粘成的橡皮膜球面。 整个过程在 三维空间完成， 得到的自然是 嵌入在三维欧式空间的 橡皮膜球面。

内在的粘成的橡皮膜球面 和 嵌入的粘成的橡皮膜球面 有什么关系？ 显然 嵌入的粘成的橡皮膜球面 自然地给出一个 内在的粘成的橡皮膜球面。 整个3.1 3.2 3.3 讲的其实就是这回事。于是 我们说 嵌入的橡皮膜球面 和 内在的橡皮膜球面 是同胚的。 的确，从二维化橡皮膜手艺人的角度看 他们是 “一胚之球”。

然而 我们无法 从 内在的橡皮膜球面 给出嵌入（在三维空间或其它流形）的橡皮膜球面。 因为 内在的橡皮膜球面 的定义 和三维空间或其它流形毫无关联。

事实上 内在的橡皮膜球面 也可以 嵌入 比如说 4维空间。 你能在头脑中想象这一过程吗？ 其实很简单。 一个办法是先固定 一个在第4方向上的位置， 然后整个过程就和在三维空间中粘 是一样的了。 但这显然不是惟一办法。

挑战：还记得我曾给过 将4维“空间”看成三维空间加时间 的观点吗？ 上面刚讲的 在4维 粘橡皮膜球面 的办法 在时间加三维空间的观点下 意味着什么？

4.3 三维球面

前面讲的 构造 内在的橡皮膜球面 的方法也可用来 构造 三维球面（注意：之前的 橡皮膜球面 是2维的）。 如同用两片 平面膜 可以粘出 2维球面，两片 “3维块”（三维空间中实心球的内部） 可以粘出 内在的3维橡皮膜球面。（而我在 1.3 里讲的则是 嵌入的3维橡皮膜球面）。 你能大体上想象这一构造吗？ 如果不能， 我也没有好的办法。理解 内在的橡皮膜球面 很大程度上也够了。 不过至少 你应该 能接受 三维球面 局部上 和三维欧氏空间一样的事实。为什么？ 因为 它是由 三维欧氏空间的一些部分 粘成的。（回顾 3.7）

“什么是流形？”部分 至此续完。

待续

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