主题：几何直观地介绍广义相对论的时空以及大爆炸模型 （0） -- changshou

几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （10）初步的时空模型（续2）

提示： 这篇是（9）的姊妹篇， 专供 不适应4维的人阅读。能看（9）的就不用看这篇了。我把上一篇中的4维替换为三维。 一切本质的东西都在。4维时空（流形）替换为3维 意味着物理空间只有2维。时间还是一维的。

10.1 闵可夫斯基时空

狭义相对论 提供了又一个 初步的时空模型， 叫做 （3维）闵可夫斯基时空。 它是一个3维度量流形， 包含了 3维物理空间和1维时间。

作为流形，闵可夫斯基时空就是 3维的欧氏空间。 他的度量结构(距离)是什么呢?

10.2 点（或观察者）的世界线

我们把观察者简化为一个点。 一个点（或观察者）在时空中的位置 说的是 它某时刻在物理空间的某位置 （3维的位置 包含了在物理空间的位置和在时间中的位置：时刻）。 一个点（或观察者）的运动 意味着 它 在时空中的位置 在时空中变动， 其扫出的轨迹 是一条线 （为什么是1维的？）， 这叫 该点（或观察者）的世界线。

注意，世界线的定义 对 3维流形模型也是成立的。

10.3 勾股定理

在平面上 如何用勾股定理 定义距离？ 要定义 一个点 到另一个点（简单起见，假设他是原点） 的距离。 我们取这个点的两个坐标， 取它们的平方和， 再取平方和的平方根， 这就是距离。

在三维欧氏空间， 如何用勾股定理 定义距离？ 要定义 一个点 到另一个点（简单起见，假设他是原点） 的距离。 我们取这个点的三个坐标， 取它们的平方和， 再取平方和的平方根， 这就是距离。

任何实数的平方是正数（或0）， 在3维欧氏空间中用勾股定理定义距离时，我们把3个正数或0加起来（然后求平方根）， 所以这是一个 “带三个正号” （因为在加3个正数）的度量结构。

10.4 “二正一负” 的度量结构。

现在我们做一件有趣的事。 在定义上文的距离时， 强行把其中一个正号换为负号。 这个“二正一负” 的度量结构有什么性质呢？

二正一负 说明 3个方向中有一个与其它不一样。 另一方面 时空中， 1维的时间 似乎是与其他两个空间的方向不一样。于是我们 把这两个独特的方向等同起来（即二正一负时， 在时间方向的坐标平方前面用负号）。

二正一负 的实质 就是 时间和空间 有所不同。

三个正号 意味着我们把 三个正数或0（三个都是实数的平方）加起来， 结果 不会是负数。可二正一负 就不一定了。 2个正数加起来再减1个正数， 结果可正可负。结果如果是正的， 我们说 点B 和 点A 是 类空分隔的；结果如果是0， 我们说 点B 和 点A 是 类光分隔的；结果如果是负的， 我们说 点B 和 点A 是 类时分隔的。

这样一来， 固定了点A之后 整个 闵可夫斯基时空中的点 就根据 其与 点A 的分隔 属于何种类型，而分为了 3类。和点A类光分隔的点 比较特殊。这些点构成的集合 只有2维（别忘了闵可夫斯基时空是3维）。 为啥？ 应为结果刚好等于0 是一个等式。在3维，满足一个等式的点 构成一个 2维的 东西 （如同 在2维，满足一个等式的点 构成一个 1维的 东西）。 和点A类光分隔的点 构成的 2维的 东西 叫光锥。 2维的光锥 把 3维闵可夫斯基时空 分为两部分，光锥内部的 正是 和点A类时分隔的点；光锥外部的 正是 和点A类空分隔的点。

10.5 光锥是对于一个点定义的

因为我们使用点A 来定义光锥。

10.6 “二正一负” 的度量结构 似乎是局部的

因为 “二正一负” 的度量结构是从“带三个正号” 的度量结构 修改符号得来的。而10.3 中用勾股定理分析时 我们固定了 点A， 把它作为坐标系的原点。所以似乎 我们的分析取决于 以点A 为“中心” 的一个坐标系。 按8.4的观点， “二正一负” 的度量结构 似乎是局部的。注意 这里说 “二正一负” 的度量结构是局部的 和 8.5 不矛盾。这里说的是 由于定义时用的坐标系 有可能只是局部的，所以它 有可能只是定义在 装备这些局部的坐标系的标准模块上。

10.7 强行要求“二正一负” 的度量结构是整体的

可以强行要求吗？ 可以，只要 定义“二正一负” 的度量结构时 用的坐标系是整体的就行。由于作为流形，闵可夫斯基时空就是3维的欧氏空间 所以我们可以规定 该3维欧氏空间是唯一标准模块，粘合指示为：什么也不粘。

这样一来 整体的坐标系 意味着“二正一负” 的度量结构是整体的。 3维的欧氏空间 加上这个 度量结构 就是 作为度量流形的 闵可夫斯基时空。 这个度量结构叫闵可夫斯基度量。

10.8 光锥场

由于有了一个整体的坐标系 和整体的“二正一负”度量结构 （闵可夫斯基度量），我们可选择 原点A外的任何一点 用同样方法定义光锥。 于是闵可夫斯基时空 点点有光锥，而且来自同一度量。这叫光锥场。

10.9 不同的整体坐标系

同一空间上可以有不同的坐标系。

比如平面上给了一个直角坐标系后， 我们可以通过平移原点 或旋转坐标系 而得到新的坐标系。当然我们也可以用 拉伸压缩改变夹角等方法 得到新的坐标系。 平移原点 和旋转坐标系的方法是特殊的。特殊之处在于 这种坐标变换 不改变 平面上用勾股定理定义的距离（度量结构）。证明很简单。 以勾股定理定义的到原点的距离 为半径，原点为圆心画一个圆。旋转坐标系后， 这还是一个以同样距离为半径的 以新坐标系原点（没动过！）为圆心的圆。 所以勾股定理定义的距离 在这种坐标变换下不变。平移原点当然也不改变勾股定理定义的距离。

现在我们对闵可夫斯基时空 做同样的事。 注意到 闵可夫斯基时空 用的是 “二正一负” 的“勾股定理” 定义的距离。 所以我们要求的是 闵可夫斯基空间里的 保持这种距离的 3维“旋转”。 不难写出这种坐标变换的公式来， 这种变换叫“洛伦兹变换”。注意 这里变换的坐标系都是 整体坐标系。平移原点当然也不改变闵可夫斯基时空的距离。

10.10 用坐标系描述度量结构 不同于 用坐标系定义度量结构

你可能问如果坐标只是 点的名字 按8.7的说法，距离自然不依赖于坐标系的选取，10.9中还有什么好证明或推导的呢？仔细一想，不对呀。如果真按8.7 那应该是 任何坐标变换（不光是洛伦兹变换，平移原点）都不改变闵可夫斯基时空的距离（度量结构）。到底哪错了？

这里的问题在于 我们实际不是处在8.7中的情况。8.7讲的是固定了一个度量结构（距离） 然后选择坐标系去描述它。 而10.9这里实际上是 先定义（整体）坐标系 然后通过“二正一负”式的 “勾股定理” 用坐标系定义 度量结构。 所以 不同的（整体）坐标系 原则上讲 可能定义出不同的度量结构！这时10.9 告诉我们 只要不同的整体坐标系 是由洛伦兹变换和平移变换联系起来的 那么定义出来的度量结构其实是相同的。

所以 用坐标系描述度量结构 和 用坐标系定义度量结构 是不同的。这不是文字游戏。这件事有时候专业人士都会搞错。

用坐标系定义度量结构 其实是一个不好的习惯。因为你必须检查 你的度量结构实际上不依赖于 用于定义它的坐标系 （不觉的是一件别扭的事吗？）。 但是为了降低阅读的痛苦指数，下几篇中我仍然会这么做。

待续

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