主题：几何直观地介绍广义相对论的时空以及大爆炸模型 （0） -- changshou

几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （13）时空是洛仑兹流形（续）

13.0 时空是洛仑兹流形 的观点不是从 时空是流形 及 狭义相对论 推出来的

时空是洛仑兹流形 是综合了这两个观点的一个推广。 但我们可以有更一般的推广。 在有的推广中 甚至度量结构都不是必需的。时空是洛仑兹流形 只是一个合理的假设。它被接受 是因为广义相对论的成功。

13.1 闵可夫斯基时空 是时空洛仑兹流形的 局部近似

由于一般的洛仑兹流形 有内在的弯曲， 即便在局部上它也不是 闵可夫斯基时空。 但这时闵可夫斯基时空 是洛仑兹流形的一个近似。 局部区域越小，近似就越好。局部区域趋于0（向一个点收缩），则误差也趋于0。这其实也就是12.1中 第四段话讲的事情。

数学上 我们说 闵可夫斯基时空 是洛仑兹流形的“切空间”。 切空间 是 曲线的切线，曲面的切平面 的推广。但是这里切空间没有嵌入另外一个空间，因为我们的流形不是嵌入的。这小段不理解没关系。

你只需知道， 对洛仑兹流形上每一点 我们都可以联系上一个称为切空间的闵可夫斯基时空。这个点可等同于该闵可夫斯基时空上的一个原点。 在该点附近的局部区域，洛仑兹流形 和该闵可夫斯基时空很接近。区域越小，近似越好。

13.2 狭义相对论是广义相对论的局部近似

一个观察者在时空中运动的轨迹是一条世界线。观察者有权利 用自己喜欢的方式 来标记时空中的点。 也就是说，他可以自行选择自己附近时空区域上的坐标系。这就是 观察者体验时空的最基本一步。由于内在弯曲是局部的， 并且是不依赖于坐标系选取的（8.7）。所以观察者有可能利用自己的局部坐标系 就判断出时空是弯曲的（比如发现勾股定理在现实中不成立）。

然而 13.1 告诉我们如果区域很小，闵可夫斯基时空是很好的近似。所以如果不仔细，观察者会误认为 时空是平直的闵可夫斯基时空。这其实就是人类在广义相对论以前的认识状态。

13.3 光锥场

根据13.1的讨论， 我们可以把闵可夫斯基时空的很多东西搬到洛仑兹流形。我们把光锥场搬上洛仑兹流形。 即对洛仑兹流形上每一点 我们都可以联系上 作为切空间的闵可夫斯基时空中的 位于原点的光锥。这样一来，洛仑兹流形上 在每点都可以定义光锥。

现在考虑 一条时空洛仑兹流形中的世界线， 这是一个观察者（或物质点）的运动轨迹。如果世界线 每一点的切线 都落在 那一点的光锥内部，我们说这条世界线是 类时世界线。如果 都落在光锥外部，我们说这条世界线是 类空世界线。如果都落在光锥上，我们说这条世界线是 类光世界线。

这些定义的物理意义是：由于在闵可夫斯基时空中 落在光锥内部意味着亚光速运动，类时世界线说明 该观察者在每一点都是亚光速。其余情况类推。

待续

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