主题：几何直观地介绍广义相对论的时空以及大爆炸模型 （0） -- changshou

几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （19）时空弯曲举例

19.0 静态球形天体

以稳定状态的地球为例。 忽略其他所有天体。也忽略自转（不忽略的话会有更丰富的现象，不过无自转的情形已足矣）。地球周边的弯曲时空是怎样的呢？

描述这种时空的是 爱因斯坦方程的 史瓦西解。我不讲怎么解方程， 我只讲 这个史瓦西解 是什么样的。

19.1 史瓦西解是静态的。

在这个解中 存在一个整体的时空分解，将时空分为时间部分和空间部分。该时空 作为流形 是3维的空间部分 沿着一条线（时间部分）扫出来的。我们有一个坐标时间（目前就是一个参数而已）标记这条线。3维的空间部分 作为流形 是3维欧式空间挖掉一个实心球（如果我们只想研究地球外的时空）。挖掉的实心球 是被地球占据的空间。

该流形上的度量结构 当然是使用 变系数的 “三正一负”式的 “勾股定理”定义的。所有变系数 都与坐标时间无关，所以我称它是静态的（严格得说，静态条件比这还强一些。我不说是什么了，反正史瓦西解也是满足的）。但是 变系数们（包括时间方向的）依赖于空间位置。

在这度量结构下， 每一个空间位置扫出的时间线都是类时的。 所以都可以由观察者的世界线实现。简单的说，某一个观察者可以固定其空间位置 随时间演化。这句话看起来像废话。不是的。以后我们会看到这有时是一件做不到的事。

目前为止，坐标时间是否被某观察者体验 尚属未知。

19.2 史瓦西解是球对称的

固定任何时刻后的空间部分有球对称性（不奇怪吧？地球是个球对称的东西）。 也即 变系数们只依赖于 到地球球心的距离（称为径向距离）。

注意 这个径向距离只是一个数学距离。即我标记好空间部分的点后，把空间部分当作平直的3维欧式空间挖掉一个实心球 来处理 从而算出的距离。

19.3 史瓦西解是渐近平直的

指的是径向距离很大时，时空很接近闵可夫斯基时空。径向距离趋于无穷时，可任意接近于闵可夫斯基时空。这也不奇怪，因为我们应该能接受 离地球很远时 地球造成的时空弯曲应该很小。

这意味着，径向距离很大时， 所有变系数都很接近常数1（因为这是闵可夫斯基时空的情况）。因此19.1的坐标时间 极接近于 在径向距离很大时固定其空间位置的观察者所体验的 原时（严格的说 坐标时间 是无穷远处观察者的原时）。

19.4 史瓦西解 对径向距离的依赖

在空间部分 我们用球坐标，即 我们先定径向距离。 定好后 所有固定了径向距离的点都在一个球面上。在这球面上，我们再用经纬度来标记位置。

在变系数的 “三正一负”式的 “勾股定理”的定义中， 经纬度坐标前面的系数 和标准的3维欧氏空间中几何球面一样。径向距离坐标前面的变系数 依赖于径向距离本身，径向距离越小，变系数越大。

最后 时间方向的情况是：径向距离越小，变系数越小。

19.5 史瓦西解的空间部分是内在弯曲的

由于史瓦西解是静态的，我们可以抛开时间只谈空间部分（如果不是静态就不可以）。其实19.4 已经讲清了， 现在说说直观上如何理解空间部分 不是平直的3维欧式空间。

在平直的3维欧式空间中画两个到原点 径向距离（即半径）分别为1和2的2维球面。在这两个球面上的测量赤道的长度。两个赤道的长度之差 是2π（2倍圆周率）

现在来到史瓦西解的空间部分。注意 史瓦西解的空间部分里的球面 和平直的3维欧式空间里的球面是完全一样的，都是以前讲的嵌入的几何球面（即我们通常说的标准的球面）。现在 两个到原点（地球球心） 径向距离（即半径）分别为1和2的2维球面（当然我们假定距离单位足够大 使得这两个球面在地球以外）。在这两个球面上的（物理地）测量赤道的长度。结果两个赤道的物理测量的长度之差 不是2π（2倍圆周率）。如果一定要得到2π，两个球面径向距离之差必须大于1。

原因在于径向距离坐标前面的变系数 导致计算赤道的长度（这时就要使用 史瓦西解的空间部分的度量结构了，否则就不是物理上测的长度了）与 平直的3维欧式空间中不同。反过来我们也可以说 所谓径向距离 只是一个用于标记位置的数学距离。事实上 两个径向距离之差为1的球面间物理测量的距离不是1。 当两个赤道的物理测量的长度之差是2π时，相应的两个球面物理测量的距离之差也不是1。这样我们就确信 空间部分不是平直的3维欧氏空间。

如果你只在史瓦西解的空间部分中 一个固定半径的球心在地球球心的球面上搞测量，你是无法和平直的3维欧氏空间中的球面区分的，因为史瓦西解中固定径向距离后径向的变系数就固定了，而球面部分的度量结构系数 和标准的3维欧氏空间中几何球面一样。但一旦比较不同半径的球面，就发现蹊跷了。

你可能对“物理测量的（长度）距离”还怀有疑虑。这究竟是什么？要测量 空间部分中的一条曲线的长度，原则上我们可以用很多小段等长的刚性的小棍 沿该曲线摆放，然后数小棍的个数而得到物理测量的长度（的极好近似）。而广义相对论预言 史瓦西解中用其度量结构算出来的就是 这长度。

注意：不要担心狭义相对论里讲的 不同观察者测到的长度不一样的问题， 因为这里只有一个观察者在自己的时空分解中测量空间距离。事实上 狭义相对论里的某个确定的观察者测长度 也可以这样做。你还可能质疑放小棍需要时间，这是有道理的质疑。不过别忘了史瓦西解是静态的，因此坐标时间改变时，相应的时空分解中 空间部分中的一条固定曲线的长度是不变的。也就是说 空间长度测量 在静态时空中 不受坐标时间改变影响。（在非静态时空中情况就不同了。）

原则上我们可以在地球周边做这种测量来进行验证。 然而在天文尺度上 做这种测量不易作准 因为没有一个自然的运动是在空间部分沿着圆周进行的。 比较自然的运动 是自由运动，即测地线。

19.6 用测地线探测 史瓦西解

基本方法是这样的， 计算弯曲时空（史瓦西解）中的测地线（某物体自由运动的世界线）。 然后用平直时空的理论也计算 该物体运动的轨迹。结果是不同。然后进行观测，观测结果总是支持弯曲时空的理论结果。

典型例子有：水星的运动（类时测地线），光的弯曲（类光测地线， 见上篇），雷达波（电磁波）在行星间的反射（类光测地线）。当然这些测的是 太阳周边的（忽略行星的影响）史瓦西解。

不过我要强调，有很多极其精确的 广义相对论的验证 不是利用测地线搞的。

下一篇中我将详细解释一个 用类光测地线探测史瓦西解的例子：引力红移。 这个例子可以让我们直接体验时空弯曲（不是空间弯曲）。

待续

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