主题：人文主义谈话录 -- 万年看客

我们在上学的时候往往要进行二选一：莎士比亚或者热力学第二定律，鲁本斯或者相对论，德彪西或者DNA，文科或者理科。我上学的时候十分反感这种强行划分文理科再强行把我塞进其中一边的做法。十三岁那年我爱上了数学世界，我热爱这门描述世界运作机理的语言，相信这门语言能使得我们有能力预言我们将会走向何方。数学满足了我内心当中逻辑理性的一面。但是与此同时我也开始学习演奏小号，开始学习欣赏音乐与戏剧。所以不得不在文科与理科这两套教育体系以及科学家与艺术家这两条职业道路之间进行选择的局面令我十分不舒服。我认为科学与艺术这“两种文化”之间的对立完全是人为构造的假象。最早提出“两种文化”说法的人是C.P.斯诺，他在1959年的讲座中谈到了科学与艺术划分两大阵营所导致的各种问题。

事实证明，我更擅长做数学题而不是吹小号。于是我就成了一名数学家。但是我始终保持着对于艺术的热爱。我在从事日常数学工作的时候经常听音乐，还曾多次与艺术家合作，例如曾经为合作剧团（Complicite）创作过音乐。所以有时候我想，这种二分法究竟有没有道理呢？我对于两边的了解越深入，就越觉得双方有着同一个目的。我们都对结构很感兴趣。而艺术家们趋之若鹜的结构从我这个数学家的角度看来则另有一番趣味。我没有时间检视整个科学与艺术的世界，所以这里我只举一个小例子来阐释两个世界之间的对话。

人们对于数学与音乐之间的关系长期以来一直津津乐道。所以这里我就拿我最喜欢的作曲家奥利维埃.梅西安来举例子。梅西安是二十世纪法国作曲家，他的许多作品都会刻意遵循数学结构以达到特定效果。我个人最喜欢的梅西安作品就是《末日四重奏》。创作这部作品的时候还是二战期间，当时他是德军战俘营里的囚犯。战俘营里碰巧有一架钢琴。梅西安自己会弹钢琴，然后他又发现战俘营里恰巧有一位黑管乐手，一位小提琴手以及一位大提琴手。所以他就在十分恶劣的环境下撰写了这部意在表现时间停滞的作品。乐曲的第一部分名叫《水晶礼拜词》。为了创造无穷无尽的不安气氛，他运用了一点数学，利用质数来营造无尽感。在第一乐章，黑管与小提琴交替演奏着飞鸟的主题，而质数则由钢琴体现出来。钢琴的乐谱以17个音符为一节反复循环。和声部分则以29个音符为一节反复循环。所以节律与和声总也凑不到一起，每一次两者的互动方式都不一样。只有在经过了17乘以29次循环之后，两者才会再度吻合。这一来听众难免感到不安与无穷无尽。当然梅西安并不指望听众分辨出17与29这两个数字，但是他的确希望听众们感到相互说不上话的两层乐曲有多么别扭。

有趣的是，梅西安在无意中采用了大自然奉行已久的一条原则。北美有一种蝉类的生命周期也是质数年份，借以尽可能避免竞争。这种蝉要在地下度过长达17年的幼虫时期，然后再一夜之间全体爬出地面。千百万只蝉鸣声震天，吵扰得其他生物纷纷退避三舍。六周时间里，它们进食，它们交配，它们产卵，然后在派对终了之际纷纷死去，铺满森林地面，直到17年后卷土重来。我们还不知道这种蝉是怎样数出17年来的。但是为什么像梅西安一样选择17呢？我认为这并不是巧合，因为北美还有另一种蝉的节律是13年。蝉并没有选择12、14、15、16、18年作为节律，就只选了13与17这两个质数。我们相信质数能够帮助这些蝉类更好地生存。我们认为这些蝉类采用了与梅西安相同的手段，质数年份的生命周期能够最大程度地与掠食者脱离关系。例如如果有一种生命周期为6年的掠食者，而蝉的周期为9年，双方周期每18年就会重合一次。但是假如蝉的周期是7年，两者的周期就要每42年才重合一次。因为7也是质数，从而能够更有效地避开掠食者。简而言之，在北美森林里似乎进行着一场关于质数掌握程度的竞争，正所谓学数学保平安（笑声）。

我们经常对于大自然当中的模式做出反应，无论是出于艺术家的视角还是数学家的视角。梅西安在《末日四重奏》里面很清楚自己要借助质数的特质。但是有趣的是，有些时候艺术家也会仅仅因为受到了美学方面的吸引而采用意义重大的数学结构。梅西安实际上是奥地利作曲家阿诺尔德.勋伯格的追随者。二十世纪初的人们抛弃了调性音乐，以无调性音乐取而代之，半音音阶上的每一个音符都被赋予了等同的价值。但是抛弃调性音乐意味着必须要提供新的作曲结构，而勋伯格给出的结构则与数学关系紧密。勋伯格通过排列12个音符得到了十二音行。然后他就会采取各种数学操作，例如映射、平移与旋转，创造了整整48种调式。梅西安热爱这种创造一整套音乐主题并且拿来作曲的做法。有趣的是，梅西安写过一篇钢琴独奏曲，即《节奏练习曲2号》。其中包含两条排列方式不同的十二音行。他觉得这两条音行之间关系很奇妙，在钢琴上弹出来之后听上去的确有些奇怪的联系。从数学角度来说，假如你将这两条音行视为两个包含12个不同元素的排列组合集合，那它们就会生成一个对称物体。我的专业领域是对称，我们这一行里面有一个名叫M12的物体。这个物体存在于高维度当中，所以在这里我没办法向大家展示。人们在十九世纪末首次发现了这个物体，这个发现也开启了对于数学对称物体的研究。从数学角度来看，梅西安的作品恰好描述了M12。数学家完全出于理性才发现了M12，梅西安对于M12则一无所知。直到最近几年我们才发现了这段奇妙的联系。换句话说，尽管我不能展示这个高维度物体，但我确实可以将其演奏出来。

数学家经常谈论数学之美。这可能是因为他们的言论比起艺术家们在科学工具箱里翻找趁手家伙的行为更引人注意。我在十二三岁的时候遇到了一本好书，一本引领我走上数学道路的书。这就是二十世纪二三十年代剑桥大学数学家高德菲.哈罗德.哈代的《为数学辩护》。他认为，数学家就像画家与诗人一样是模式的创造者。数学究其本质而言是一种创造性的艺术。格雷厄姆.格林读过这本书之后认为这是继亨利.詹姆斯的日记之后最能彰显创造性艺术特质的书。大多数数学家都不认为自己的研究是出于功利目的，旨在解决世界上的某个特定问题。他们的工作动机与艺术家很相似。我们想要创造无所谓有用与否、单纯就只是很有趣的结构。这是我所从事的数学，也是我所欣赏的数学。我本人最喜欢的一条定理是费马定理，即假如一个质数除以4余1——例如41——那么这个质数一定能表达为两个平方数的加和。例如41就是4的平方加上5的平方。无论这个质数多大都无所谓，只要除以4余1就一定符合费马定理。我本人还从没见过这条定理在现代世界或者此前得到过任何实际应用。但是这条定理实在很美，而且最美的部分还不是结论，而是费马的论证过程。阅读论证过程在我看来就像欣赏音乐一样，你几乎能感受到不同主题次第出现，情绪不断高涨，主题相互交织，最终形成一条通向新世界的旅途。最终结果仅仅是水到渠成而已。

我在数学界所取得的最重大的成就是一个全新的高维度对称体。我完全可以打开计算机，海量生成无数对称体与定理，而数学家在这里的作用就像艺术家一样。在这无数个对称体当中，我选择了这一个作为我在研讨会上的主题以及论文与著作的题材，因为这个对称体将对称与椭圆曲线这个截然不同的数学领域——涉及椭圆曲线的数论我们还并不完全了解——联系在了一起。因此数学也与个人选择息息相关，数学家就像艺术家一样受到个人决策的激励与结构美学的吸引。

最后我希望大家猜一下下面这句话是数学家说的还是艺术家说的。“创造的要旨就是避免进行无用的组合。发明就是有见识的选择。无果的组合根本不会出现在发明家的脑海当中。”（“发明家”是个很有趣的词，事实上斯特拉文斯基就曾经以发明家自居，认为自己是在发明音乐而不是创作音乐）说这话的人其实就是著名数学家亨利. 庞加莱，混沌理论的发明人。这句话集中体现了我对数学的理解。尽管根据逻辑，数学命题只有真伪两种可能，但是真命题的数量实在太多了。毕竟在所有可能的命题当中有一半都是真命题。数学家的工作就是选择值得投入精力的命题，并且在研讨会与期刊上引起其他人对这个命题的兴趣。同理，可能的音符组合数量也是无穷尽的，而音乐家的工作则是寻找能够打动灵魂的正确组合。

我在学生时代还看过另一本书，名叫《玻璃球游戏》，作者是赫尔曼.黑塞。我强烈推荐大家都看看这本书，因为在我看来这本书集中体现了当前教育体系应当接受的改革。我们应当拆除文理科之间的分界，不再谈论数学、历史、音乐或者文化之类的学科名称，因为它们全都是同一学科的不同侧面。《玻璃球游戏》试图将所有这些学科融为一炉。我认为我毕生的工作就是试图玩好这个玻璃球游戏。玻璃球游戏的象征与准则包含了宇宙语言的框架，将数学、音乐与结构学结合为一体，由一切科学与艺术成果所滋养，以实现完美与圆满为目的。我认为我们都应当投身其中。谢谢大家。