主题：【原创】未列入元勋名册之一：秦元勋 -- 黄河故人

以前在学校的时候, 我是研究电力系统时滞稳定性的, 这里尽我的所能通俗的解释一下主楼中相关数学概念和理论. 如有错谬指出还请方家指正(例如乃力河友, 达雅河友, 晨枫河友, etc.).

首先我想指出, 用微分方程研究动力系统的性质的首要目标在于分析系统的稳定性. 稳定性的严格定义有几十种, 庞加莱和控制理论中大名鼎鼎的李雅普洛夫分别有自己的定义. 这里就举两个例子直观地说明一下. 第一个是太阳系中诸多天体的运动情况, 事实上, 在庞加莱的那个时代, 回答“十亿年后地球和火星会不会因为引力而撞在一起”这类问题十分的困难, 因为虽然万有引力定律早就发现了, 但对这类问题的解答确实无法靠直觉来进行. 这样的问题就是早期的稳定性问题. 第二个例子是电网的, 大家要是拿示波器来看自己家插座里的电压波形, 一般来说是幅值为311伏的正弦交流电, 那么会不会因为电网中哪个参数没调好, 导致电压幅值越来越大, 从311伏到320, 330, 340, 350, ……一直到开关跳闸断电为止? 这也是一种稳定性问题. 直观上说, 如果系统是不稳定的, 那么系统中变量的取值随着时间会越来越大, 要是稳定的, 那么取值会始终保持在某个范围里.

分析稳定性的一种直观的思路在于直接把系统的解求出来, 如果能求出解来, 那么稳定性也就知道了. 一般来说, 系统不存在能写成某一个表达式的解析解, 那么绝大部分的时候, 我们所能找到的就是数值解. 在庞加莱那个年代(甚至到了秦元勋的青年时期), 计算都是靠人力完成的, 机械计算机对于计算效率的提升很有限, 这种情况下, 对于常微分方程组(甚至偏微分方程组)的数值求解简直就是对于人力资源的极大挑战(不是做不到, 而是真的太困难). 后来计算机出现, 再后来个人电脑普及, 对于微分方程组的数值求解门槛大为降低, 比如说今天我们要是拿自己家里的电脑算单个电机内部电磁场分布情况, 尽管仍然能感觉到计算时间的存在, 但是这种计算时间是我们能够接受的了. 在计算能力暴涨的今天, 靠数值解来分析稳定性在工程领域成了一种比较流行的做法. 比如电力公司分析暂态稳定性基本上也不靠什么数学理论, 就是把所有可能的故障穷举出来, 再用海量的数值计算去分析电网会在哪些故障发生之后失去稳定性.

然而, 在庞加莱的那个时代, 甚至到了秦元勋搞两弹一星的时代, 这么大量的计算任务是不可想象的(即使是六十年代中国拥有了电子计算机, 计算能力也非常有限, 那么多个国家重点工程还指望轮流使用宝贵的计算资源). 那么从庞加莱到秦元勋, 走的其实是另一条道路: 微分方程的定性理论. 这种方法论大致说来, 就是回避微分方程的数值解, 采取一些特殊的“指标”或者数学工具来分析系统的性质, 这其中就包括分析系统的稳定性. 举个例子来说, 我们要是能把系统的能量求出来, 并且证明系统能量随着时间推移在衰减, 那么系统肯定就是稳定的(从直观出发也能大概想到这一点). 实际上这种基于能量的做法是李雅普洛夫首先开创的, 而且得到了广泛应用. 至于说庞加莱的具体做法我不是太清楚, 但是可以肯定庞加莱的大量工作都没有涉及到数值求解的过程.

至于说极限环, 大致可以理解成周期解. 比如不太严格地说, 某一个固定地方的气温, 以年为周期, 构成了一个极限环, 因为春天气温上升, 秋天气温下降, 夏天最热冬天最冷, 不管哪一年都一样. 秦元勋他们去寻找极限环分布的努力并不只是数学游戏, 而是有重要的实际意义的. 比如在电网里一旦出现了极限环, 就意味着发电机之间开始出现机械-电磁耦合的震荡, 反映在电压上, 就是电压幅值忽高忽低, 弄不好开关要跳闸, 不断有发电机退出电网的运行, 最后整个电网一起崩溃. 当然, 我不知道秦元勋他们在两弹一星工程中的极限环对应着什么实际过程.

在稳定性研究中, 把大系统分解为小系统再分别加以研究是所有研究人员梦寐以求的事情, 因为这至少意味着计算量的极大降低. 但是这个事情又很难做到, 这里用一个例子来说明. 假设一个电网包含有许多台发电机, 如果能把单个的发电机看作一个小电网, 那么每个小电网所涉及的变量数量都不会超过20, 这固然很好. 然而实际电网中发电机之间全部是存在机械-电磁耦合的, 更糟糕的是这些耦合是非线性的, 如何把这些耦合去除, 到现在数学上都是无能为力的事情. 当然现在有一些凑合的办法, 比如把电网的数学模型给近似线性化掉, 研究发现线性化后模型中的任何一个特征值都只跟特定的发电机存在强烈的相关性, 而和其它的发电机只有很弱的关系, 这样就可以使用数学中“特征子空间”的概念, 把电网数学模型拆成若干个线性子空间的“和”, 而每一个线性子空间对应于一个规模上大为削减的小电网. 我猜秦元勋他们当年面对“把大系统分解为小系统”的问题的时候采取的办法也是这种实用主义的凑合, 而且效果肯定很好.

时滞有两种, 一种是过程的时滞, 比如汽车里一脚油门踩下去, 转速不可能瞬间上来, 即使是油耗瞬间增大了, 燃烧产生的能量转化为机械能也需要时间(所有的机械部件都有惯性, 速度不可能瞬间突变); 另一种就是通信延时, 比如说四川的电厂向国家电网位于北京的总部报告当前发电机转速, 由于相对论中光速的限制, 无论采取什么通讯手段总部得到的数据都是带有延时的, 更何况许多通信设备中需要对中转数据加以处理, 处理也需要时间, 进一步把信号传输速度拖得更慢. 我本人主要是研究第二种时滞的, 这种时滞对于稳定性危害很大, 因为控制器在设计的时候, 都是把反馈信号当作当前的值, 在这种假定下取定的各种控制器参数. 一旦反馈信号带有时间延迟, 设计控制器时所采用的假定就失效了. 直观上可以想象一个特别极端的情况: 假设政府在制订经济政策的时候采用的只是二十年前的经济表现, 在此条件下经济趋势的“稳定性”在直观上都是特别可怕的事情.

秦元勋对于“作者-读者”的那段论述深得我心, 我从读硕士开始导师就这样要求我们, 我们当时各种偷懒, 写paper的时候各种表达不清. 后来博士期间, 期刊论文/学位论文都面临审稿人读不懂很生气后果很严重的问题, 之后才认识到论述的时候把话说清楚的重要性.