主题：赛德里克.维拉尼：一个定理的诞生 -- 万年看客
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我很有幸来到这里演讲。许多过去与现今的伟大科学家们都曾在这里公开讲话，尤其是面向非科学家讲话，让人们得以一瞥我们正在研究什么。这也是社会各界都关心的一个问题：科学研究究竟是怎么进行的？几年前《华尔街时报》进行了一次评比，将所有职业按照优劣排序。他们采用了多重评判标准，例如职业机会，成长前景，社会影响，个人幸福等等。排名第一的职业并不像人们一般猜测的那样是股票交易员或者公主，而是数学家（笑声）。顺便一提，垫底的工作岗位是伐木工。如果在座各位有家里人从事伐木行业，请不要拿着这项评比当回事。不过将数学家排在首位确实很有道理。值得注意的是，排名前十五位里的大部分工作都与专项科学研究相关，并且以这样那样的方式涉及了当前正在不断发展的计算机科学、大数据以及统计学等等。顺带一提，在2014年，另一支团队再次进行了职业排序，数学家也再次拔得头筹。
那么这些人如何定义“数学家”呢？数学家就是运用数学公式或者等式在商业、教育或者工业环境当中教授或者解决问题的人。这个定义的关键在于“解决问题”，这也正是人类发明数学的动机。从创始之初人类就在利用数学解决问题，例如几何问题、经济问题以及其他林林总总的各类问题。如今随着计算机的到来，数学在我们这个世界也变得越发重要起来。话说回来，计算机最早也是由数学家构想出来并且与工程师们一起制造出来的。我们都说艾伦.图灵是现代计算机时代之父。数学家就像仙女一样祝福了婴儿的摇篮，如今这个婴儿已经长大成人，正在各行各业大展拳脚。几年前有人估计，数学研究为英国贡献了经济增长价值的16%，而且随着计算机科学越发强大，这个百分比还在不断升高。计算机这件强大的工具放大了数学理论的力量。
但是我刚刚说的是“数学研究”，而数学研究人员并不完全符合《华尔街时报》对于数学家的定义。“运用数学公式或者等式”固然很好，但是还得有人去创造新的数学公式与等式。这就是我以及众多像我一样的数学家们的工作。如今的数学界正在以前所未有的活跃程度创造着全新的公式定理。但是一个定理究竟是如何创造出来的呢？毕竟寻找新思想从来都不容易。
值得注意的是，根据定义数学是个抽象领域。抽象概念看似遥不可及难以理解，但是数学的力量也正在这里，因为抽象概念可以通过许多具体问题得到体现，几百年前就是如此。比方说如今我们每天都畅游在信息的汪洋当中，因此最能体现数学抽象力量的定理就是傅里叶变换。这项定理发明于十九世纪初，旨在分析信号的出现频率。傅里叶当时正在研究温度，想要确定加热某个金属物体之后该物体降温的速率。后来又有人利用这一定理来分析鸟鸣，因为该定理能够提取出鸣叫的频率。直到如今依然有人利用这条定理来分析图像，从而实现信息的传播与处理，尤其是因为傅里叶变换为信息留下了冗余。此外傅里叶变换还用在了核磁共振成像医学设备当中。一项单纯的思想可以在无数领域发挥作用。数学做到这一点尤其容易。不过数学的长处也正是它的短处：究竟如何才能将理论与实践联系在一起呢？在很多情况下根本不可能。傅里叶肯定猜不到自己的发明有朝一日会被用来研究人脑运行机制。但是他知道理解数学自有用处，就算一时半会儿看不到应用前景也应当大胆开拓。数学的伟力就在于能够将看似由好奇心驱使的纯理论研究转化成为有朝一日的实际应用成果。
但是研究人员并不会将大部分时间用来思考自己的发明有哪些实际用处。大部分时间里他们都在竭力理解数学并且一次又一次地理解不能。我们的大部分职业生涯都花在了失败上面。最具创造性的职业全都如此，你在从业之初就要接受自己的工作充满挫折。屏幕上照片里的我正在一边绞尽脑汁，一边指望着昂利.庞加莱的在天之灵能在我耳边悄声指点几句。也有时你的头脑里会突然灵光一现，但是什么时候会闪光你却不知道。在我的书中我描述过一次灵感来临的经历。那一刻你会感到自己是全世界最幸福的人。当时我正在研究一个难题，百思不得其解。我思考得十分卖力，因为我已经对外宣称自己解决了这个问题（笑声），一旦拿不出答案必将无地自容。我在草纸上疯狂演算，从凌晨两点算到三点，然后又算到四点，最后只得走投无路地上床睡觉。我的论证过程依然缺少一块砖。第二天我一醒来就听见脑海里有个声音小声说：“利用傅里叶变换，将这一项移动到等号另一边去。”我心想“啊！”这正是解题的第一步。由此可见，当你从事研究时，整个大脑都会投入其中，包括有意识与无意识的部分。对于怎样才能进入这种状态我们所知甚少，但是灵感的确是研究的重要部分，尽管它取决于太多我们难以理解的因素。
接下来还有其他问题。就算你想出了正确的理念，还必须说服全世界以及针对你的批评家们。有时做到这一点并不容易。屏幕上这位名叫艾格纳兹.塞麦尔维斯，是医学史上的英雄。他率先意识到了医生洗手的重要性，尤其是对于接生新生儿的医生来说。在刚刚解剖过死尸之后以及接生新生儿之前，医生或许应该清洁一下双手。医生应当勤洗手的观点今天已经成为了常识，但是当年的人们却将洗手与否视作生死攸关的抉择，而塞麦尔维斯没能说服他的同事们接受洗手的重要性，因为他无法合理地解释洗手的作用。这也是情有可原的，因为当时的人们并不像今天我们那样熟悉细菌与微生物的存在，而是对其一无所知。因此洗手这个主意看上去就像发疯。尽管科学很擅长纠正自身错误，但是个体科学家为自己纠错的能力却往往很差劲。科学家往往抓住自己的理念不肯放手，他们希望自己的理论是正确的，不想有人告诉他们过去几年乃至几十年他们都是错的。说服一名科学家相信你才是对的总是十分困难，即便在数学领域也是一样。
接下来还有一点。因为你经常与创新技术打交道，人们都会想当然地认为你知道未来会是什么样。好比说我上电视的时候就有人问我：“维拉尼教授，五十年后的科学会是什么样的？”我说：“你问我我他妈问谁去？”（笑声）难不成你以为我会算命么。有时我会直接引用庞加莱的言论来回答此类问题。庞加莱在1900年回答过某记者的类似问题，这名记者将他的回答刊登在了报纸上：“著名数学家昂利.庞加莱”——庞加莱当时真的非常出名，被公认为当时最杰出的数学家与法国最杰出的科学家——“著名数学家昂利.庞加莱的成果只有寥寥几位同行能够理解，但是他接下来要说的话想必人人都爱听：‘先生，我今天收到了您的来信。您在信中想知道二十世纪的科学会是什么样子。如果在1800年的时候有人问科学家，十九世纪的科学会是什么样子，他们会说出多少不经之谈啊！天啊！一想到这一点我就不敢作答了。我相信二十世纪的科学将会取得出人意料的成果。所以我才不能对其发表任何意见。如果我能预见它们，它们也就不能出人意料了。所以请原谅我的沉默。’”
拿着媒体开玩笑固然不错，但是当科研团体或者政府部门要求你说明科研经费将要怎么花，今年、明年、后年分别打算取得哪些阶段性成果时，这个笑话看上去就远远没这么好笑了。有时候我自己都不知道自己在干啥。在我的职业生涯当中我取得的许多成功都发生在我知道了问题之后不久。有时最有趣的结果往往出人意料，这一点有必要经常想一想。庞加莱声称“我相信二十世纪的科学将会取得出人意料的成果”，这话听上去像是在开玩笑，其实不止如此。他其实更像是在做出一条哲学主张，相信人类总有能力得出意料之外的新成果，下一代会比我们知道得更多也更聪明。
接下来我们来看看新思想如何产生并且变得比旧思想更强。抽象思想具有影响世界的极端力量，历史上有许多著名实例。比方说艾伦.图灵，他在许多方面都卓有建树，但是最近以他为主人公的好莱坞电影尤其提醒了我们数学家在二战期间发挥的作用，尤其是图灵本人对于破解德国迷式密码机的贡献。倘若没有图灵，二战至少还要延长两年。倘若没有破解迷式密码机获得的情报，就不可能有1944年的诺曼底登陆以及其他一系列作战。尽管战况焦灼，但是美军与英军依然可以解读德军的每一条电文。想象一下吧，假如盟军没有这项优势，情况将会如何。
接下来我们来看看保罗.厄尔多斯。他象征了思想理念在二十世纪的一次大迁徙。厄尔多斯是匈牙利裔犹太人，也是二十世纪最高产的数学家。此外他的生活方式也很特别。他终身没有成家，与母亲一起生活；没有房没有车没有固定工作，全部家当就是一只手提箱。平时他在各位同事的家中轮流借宿，赢取数学难题悬赏奖金，然后拿着这些钱再去设立他自己的悬赏。他这一辈子除了全新的数学定理之外什么都不关心。数学界甚至发明了厄尔多斯数的概念，用来衡量一名数学家与厄尔多斯的亲疏关系。比方说你与一位厄尔多斯的直接合作者合作过，那么你的厄尔多斯数就是2。如今的厄尔多斯就是数学界的神话人物。不过另一方面他也代表了二战期间为了逃避纳粹迫害而从欧洲逃到美国的思想家们。这股潮流改变了科学界的面貌，也促成了美国在科学领域的突然崛起。厄尔多斯以及他的许多朋友们体现了一个在经济、科学以及文化方面都意义深远的故事。
再来看看利奥.西拉德。他是最早一批构想出原子弹的链式反应原理的人之一。他正是在伦敦街头想到了这一点。根据他本人的描述，当时他正在等红灯变绿好过马路。此前他一直在奋力工作想要驳倒原子物理之父卢瑟福的主张。卢瑟福认为原子当中蕴含的能量实在太少，任何人打算利用这种能量都是在发疯。这番言论让西拉德很生气。他不喜欢公认正确的理念，想要证明现有原则站不住脚。因此他苦思冥想试图证明卢瑟福是错的，然后噗地一声链式反应的理念就冒了出来——当时是1933年，距离科学界开始认真研究这一原则还有很久。西拉德也是一位移民，他先是从德国搬到了奥地利，然后来到英国，最后又来到了美国。正是他敦促爱因斯坦写信给美国总统建议开展原子弹研究，从而催生了旨在制造原子弹的曼哈顿工程，不出几年就有几十万人投入了这方面的研究。这一切的起点就只是一个正确的思想而已。
上述例子显示了理念多么强大以及个人能够发挥多大作用，一个大脑的灵光一现可以造成深远的后果，因为人类的组织能力可以通过千百万人的协作放大思想的力量。在西拉德照片的左边是他与费米一起申请专利的第一个核反应装置，而屏幕最左边的照片则是全世界最著名的大学学府哈佛大学的校园景色，我选取这张照片是为了提醒大家永远记得庞加莱的另一句名言：“高等教育的价值并不在于学生们学到了当时最先进的科学知识，而是在于学生们将能获得能进一步的思想理念。”换句话说，高等教育的关键不在于教学质量，而在于能否触动学生们产生他们的老师未曾想过的理念。如何培养创造力是毋庸置疑的关键问题，而且没有人真正知道应该怎么办。
庞加莱曾经试图描述过理念产生的状况。他声称有一次他一连几天竭力钻研一个问题但是始终不得结果，于是他与朋友们一起出门散心。转完了之后他打算回家，正当他一步踏上马车的上车台阶时就突然想出了答案。有志于认知科学的人们对于此类事件相比很感兴趣。下面这段也是庞加莱的文字：“吸取了之前失败的教训，我到海边去了几天，并且考虑了一些其他事情。一天早晨，正在悬崖边散步，我忽然有了主意，想法和上次一样具有同样简短、突然的性质，而且几乎立即就能肯定，算术问题中的三元不定二次型变换等价于非欧几何中的变换。”仅从这段文字大家或许并不能完全理解他当时正在思考什么问题，但是显然问题的解决与山崖本身无关，灵感的到来总是令人猝不及防。顺便一提，我看在座听众当中有不少年轻人。假如日后你们需要做作业或者备考，但是又想出去找朋友玩，那么不妨告诉父母你们这是在运用庞加莱思考法（笑声）。可见我们实在很难预见取得探索成果的具体方式。
之前介绍时提到我写了一本书，法语书名是《Theoreme vivant》。这本书的原名是《
Naissance d'un Théorème》，逐字翻译过来就是《一个定理的诞生》。我的法语编辑嫌这个名字太直白，于是我就换成了《Theoreme vivant》，或者说《活的定理》，换言之数学是有生命的活物，由活人来完成，或许我就是活的定理，又或许定理才是故事的主角，等等。此外我还想到了我小时候看过的一本迪士尼画书，书名叫做《活的沙漠》，里面是各种沙漠动物的照片。人们以为数学也是一片千百年来毫无变化的沙漠，但是只要你善于寻觅就能在沙漠里找到各种各样的生命。接下来我的书稿交到了英语编辑手里，他们又觉得《Theoreme vivant》不够明确（笑声），要不然你还是改用《一个定理的诞生》吧。我觉得这件事表明了海峡两岸审美口味的细微差别。
不过定理的诞生其实是全书的结尾。我们讨论科学时一般谈到的都是已经成型的思想，“这个人发明了那个理论，我们可以将理论运用在哪些哪些方面……”之前的事情我们就不提了。没错，我们可以利用傅里叶变换，但是傅里叶是怎么想出傅里叶变换的？定理的发布就相当于定理的诞生，看似定理从这一刻开始存在，但实际上这一刻却是十月怀胎的结束。此前这个定理已经在子宫里成长了很久。我这本书讨论的不是定理如何得到运用，而是怀胎受孕的经过。本书第一章写的是我本人与我的主要合作者克莱蒙.穆奥讨论如何解决玻尔兹曼方程。他想起了他在两年前与某甲的交谈，我想起了我在两年前与某乙的交谈，我们两个交换了意见，决定我们应当转换研究方向。我们就这样开始了对于非线性朗道阻尼的研究。接下来我们工作了两年半，终于证明并且发表了这个定理。
这两年半是一个复杂的孕育过程，充满了错误。我们曾经走过岔路，曾经用错误的推导得出过正确的结论，也曾经被其他人的错误引上正途。我们在很多时候全凭运气才取得了进展，我们与很多人交换过意见。这都是数学家生活的常态。大多数情况下我们的工作内容并不是正面强攻数学难题，而是在难题周边不断袭扰。几年前我听过一位认识论学者的演讲，他认为科学家的工作与其说是与知识打交道，倒不如说是与未知反复交手。本书内容正是这样。此外我也希望这本书准确反映与未知搏斗的人们的日常状态。书中的对话并未刻意过滤掉数学术语——刚才那段庞加莱引文也在书里——为的是让一般读者彻底无法理解书中涉及的数学概念究竟是什么。假如读者开始分心思考玻尔兹曼方程究竟是什么，就会错过本书的真正主旨。我希望读者不要去试图理解书中的数学概念。书中没有解释，只有事实，只有数学家在工作时的感受、情绪与环境。环境包括你在工作时听什么音乐，做什么动作，你上的是哪所大学，等等。数学科普的惯常做法是简化概念，大量使用谁都能听懂的比喻。就好比你向你孩子解释你的工作，自然会使用儿童能听懂的词汇。但是还有另一种方法向孩子解释你的工作，就是将孩子带到工作岗位上，让他或她坐在一旁，你该干什么干什么。孩子肯定听不懂你说的话，但是能看懂你与其他人之间的互动、紧张、愤怒、欢快等等。本书采取的正是第二种方法。我们将读者当成了趴在数学家肩头的小耗子，目睹着他们的一举一动。
现在请允许我简述一下我研究的究竟是什么问题。就像我的大部分研究一样，书中提到的研究对象也是物理学当中的数学问题，具体来说是等离子体物理。物理学与数学千百年来一直密不可分。物理学当中有很多相对简单的状况都能通过数学进行高效处理。等离子体是什么？是一种特殊状态下的气体，其中的电子与原子核相互分离。电子一律带负电，因此会相互排斥；电子即便在原子级别的尺度上也非常小非常轻，因此也很容易移动并且速度很快。大量电子会形成一团移动迅速且内部排斥的电子云，理解这团电子云的移动方式是一切等离子体研究者的首要问题。等离子体物理的应用范围很广泛。就像气态、液态和固态一样，等离子体也是一种物体存在形态，在宇宙当中非常常见，但是人类直到最近才发现。新兴核聚变发电站的设计师们很需要理解等离子体。等离子体受到统计物理学的支配。换言之单一电子的轨迹极难预测，但是大量电子的统计学表现却可以得到精确预测。早在二十世纪初我们就知道了计算气体状态的公式，因为麦克斯韦早在1867年就创立了现代气体动力学。
到了二十世纪四十年代，伟大的俄国物理学家列夫.朗道提出了关于等离子体的革命性见解。他认为等离子体非常稳定。这一主张非常出人意料，因为在等离子体当中不存在常见的保持稳定的机制。所谓稳定机制指的是能让一个非静止物体静止下来的力量。比方说我在桌面上滑动我的手机，根据伽利略的原则，手机应当在桌面做匀速直线运动，来到桌面边缘再以抛物线轨迹跌落下去。但是桌面的摩擦力起到了稳定作用，于是手机没滑多远就减速停下了。摩擦力以及万有引力在日常生活的绝大部分物理现象当中都起到了稳定作用。但是这两个因素对于等离子体都不起作用。等离子体当中没有摩擦力，没有物理学家常说的熵增或者无序程度增加，没有耗散，等等。没有什么力量能让所有电子朝向同一个方向运动。所以人们原以为等离子体当中的扰动将会一直持续下去，没有任何机制能够阻止这一点。然后朗道说你们懂个屁，等离子体也有稳定机制，而且机制背后还有数学道理。这一机制叫做朗道阻尼，三分之一关于等离子体的论文都会利用朗道阻尼来支持立论。但是这个机制的理论基础十分薄弱。朗道提出等离子体阻尼机制时仅仅考虑了线性等离子体，忽视了等离子体的其他一切非线性效应，从而能够运用较为简单的公式。物理学家与数学家们多年以来一直在争论，朗道的公式究竟能不能推广到非线性等离子体头上。
我与穆奥的成果就是证明了即便根据非线性估算，等离子体当中也会发生朗道阻尼现象。你也可以认为我们不过确证了物理学家长久以来的直觉而已，不过并非如此。首先，物理学家们也曾辩论过这一点是对是错；其次，数学证明可以让人更深入地理解物理现象。我们的论证过程极为漫长，其中充满意外，刚开始时我们完全想不到要怎样得出最后的结果。最后我们的论文总共有一百八十页，为的仅仅是证明一个定理。我常说数学家的工作要求就是时而完成一项长达一百页以上的论证，因此从小就接受由三角形、圆形以及直线构成的简易证明题训练很有好处。
论证完成之后，我们发现这个定理还能运用于许多其他系统，例如太阳系的稳定性。自从牛顿以来，庞加莱、拉普拉斯、柯尔莫哥洛夫等人都研究过这个问题。乍一看去等离子体的稳定性与太阳系的稳定性风马牛不相及，但是在数学的世界里两者却勾连紧密。再后来我们又发现我们的论证还能运用于流体研究，尽管这又是一个截然不同的物理领域，但是抽象的力量依然发挥了作用，一个定理可以运用在许多不同方向。《一个定理的诞生》讲的是思想如何来到世间的故事。思想是这本书的主人公。思想一点点成长，从仅仅存在于数学家的脑海与对话当中的混乱阶段成长到了可以发表的有序阶段。书中插入了许多我不指望读者看懂的繁复公式，我希望读者能借此领会一个定理是怎样脱胎于一片混乱并且最终走到有序阶段的……
最后让我们来列举一下思想得以成长所需要的原料，就像是我书中提到的、在数学家头脑这个子宫里成长起来的定理胚胎那样。我们不知道思想是怎样产生的，但是我们知道哪些原料不可或缺。我这里要列举七项主料，我相信它们对于一切创造性工作——尤其是研究工作——来说都是关键。首先是档案。科学界不存在彻底的创新，一切成果都要建立在前人的基础上。图书馆对于思考历来十分重要。古时候我们有实体图书馆，例如亚历山大港图书馆。如今我们则有了维基百科这样的虚拟图书馆。我们需要借鉴前人的实验与测量成果，就必然离不开图书馆。我在书中收录了一则Faa di Bruno公式。在论证当中我们需要一个公式来解决复合函数的高阶导数问题，我隐隐约约记得多年前我学习高等经济学时有人跟我提到过像这样的公式，但是完全想不起来这个公式是什么。但是只要在搜索引擎里输入关键字，立刻就能得见公式的全貌。互联网技术革新了我们获取信息的方式，同时还将组织信息的责任留给了我们。
第二项原料最重要也最难获取，也就是动机。包括我在内的许多人都认为欧洲科学界面临的最大威胁就是年轻人缺乏投身科学的动机。从事科学职业的年轻人数量正在逐年递减。这一点非常吊诡，因为科学界从没有像现在这样迫切需要更多的科学家。谁也不知道动机是从哪里来的。或许在你还小的时候一位老师培养了你投身科学的动机，或许是因为你读到了某本书。屏幕上这张截图来自动画片《唐老鸭漫游数学奇境》。你们可以想象这是一部非常幼稚的动画片，但是当我还是个孩子时这部动画的确放飞了我的梦想。或许我投身数学的动机就是这么来的。在英国的布莱克顿曾经进行过一次很有趣的实验。科学家将当地小学生组织起来研究蜜蜂。小学生们发现大黄蜂能利用色彩与空间的相对关系来确定哪一朵花曾经被采过花蜜。研究成果还刊登在了生物学期刊上，证明了十岁小孩也能做出很酷的科学成果。小学生们则发现科学很酷，因为你可以去做从来都没人做过的事情。尽管人们常说科学的重要性在于取得任何人都从未取得过的发现，但是科学很酷很有趣这件事却一直在被人们反复发现。
第三项原料是环境。从来没有过闭门造车的成功科学家。科学成果从来都出现在适当的科学文化环境当中。古往今来，不同的城市曾在不同时期担当过科学研究的顶点，例如巴黎、伦敦、意大利北部等等。屏幕上的照片是布达佩斯，因为二十世纪初期匈牙利科学家脑海当中的构想改变了世界的面貌。像这样的创新生态使得思想与文化得以紧密结合。我担任主任的庞加莱研究所也抱有这种创新生态观念，我们的职责就是每年吸引与邀请上百数学与物理哲学研究人员进入巴黎的创新生态系统，以期催生新思想。我们当然不知道其中的哪个人会产生怎样的思想。不过即便到了二十一世纪，人与人面对面的交流对于研究与创新依然至关重要。顺带一提，《一个定理的诞生》这本书也是在这样的创新生态当中产生的。我自己其实从没想过要写这本书。但是在一次晚餐会上我遇到了一位编辑，我们聊了几句，他说：“我知道您是数学家，我们现在正想主打数学科普方面的作品。”他供职的出版社擅长做文学作品。我说：“我可以写一本关于熵的书，因为我也算是全球范围内研究熵的专家。”但是他一点兴趣都没有。他说：“我只想知道您的生活是什么样，您在工作时有怎样的感受。”正是这次交谈催生了我的书。我也是这个生态系统的一部分。
下一项原料是通信。通信的作用与生态系统略有不同，后者的作用是催生新思想，但是一旦你投入某个需要多人协力才能完成的项目，各位合作者之间的顺利流畅通信就不可或缺了。以我研究朗道阻尼时为例，大部分研究活动都要跨越大洋来完成。当时我是普林斯顿大学的访问学者，穆奥人在巴黎，我们每天都要交换电子邮件，有些邮件还被收录进了书里。通信让我们的大脑摆脱了地域的限制。正是现代通信技术的飞快速度使得跨海合作成为了可能。几年前剑桥大学的高尔斯团队做过一次有趣的实验。他们发动了一项参与人数极多的数学项目，让上百位数学家合力证明一个定理。最后他们解决了好几个问题，而论文的署名则是“博学家”，用以指代所有参与项目的头脑。
下一项原料是限制。许多人听到这种说法都会大为吃惊，而另一些人则会觉得理所当然。限制是创造的重要部分。没有限制就没有寻找新事物的动机。在数学研究当中，我们完全受制于论证严谨性的限制，绝不允许任何反例的存在，正因为如此我们才不得不发挥出非凡的创造力。其他艺术形式也能提供相应例证。诗歌既是想象力的极致体现，又要遵守严格的格律要求。有两件我最喜欢的艺术品最突出地彰显了几近不合理的限制与非凡创造力的结合。首先是利盖蒂.捷尔吉.山多尔的《利切尔卡组曲》。利盖蒂也是匈牙利人，从小在科学氛围当中长大，后来转向了音乐。组曲的第一首只有一个A音，直到曲谱结尾才用了一个D音。光看这句描述，你或许会认为“这一定是天底下最无聊的乐曲。”但是情况并非如此，因为音调的限制迫使作曲家在节奏、旋律、强度等方面使尽了手段，听起来十分悦耳。另一件艺术品是法国小说家乔治.佩雷克的《消失》，整部作品从头到尾都没有用到字母e。这样的作品以前在法语文学当中从没有存在过。疯狂的限制往往会催生前所未有的新事物。而数学领域的限制可以说非常强大。
再接下来是灵感与艰苦劳动的结合。刚才提到的庞加莱案例当中，他并没有一味埋头苦干，也没有干坐着等待灵感凭空降临。正确的做法是一张一弛，集中精力工作一段，然后将头脑放空。
最后一项原料是运气。如果你不尝试就永远不会有运气。但是就像我刚才说过的那样，研究工作就是一连串失败加上偶尔走运。研究者必须认识到他们的确需要一点运气。我的第一项重大数学成果大约是在我二十三四岁的时候取得的。当时我正在读博，第一次以数学家身份出国，前往了一家意大利的实验室。实验室主管为我准备了一个问题，几个月前我们见过一面，我指出了他的某篇论文当中的一处错误。诚然，这是交朋友的好办法。当我来到实验室时他告诉我，他有了一个解决Cercignani猜想的思路，要我试着做一下，告诉他结果。他要负责管理实验室以及到处开会，所以没时间搞研究。我还是个博士生，最不缺的就是时间。于是我一连研究了好几个钟头，发现他的思路完全走不通。但是在论证过程当中我发现了一个非常美丽的算式，我觉得或许这才是重点。这个算式太美了，不可能没用。事实证明这个算式的确是解答的开端。尽管我一开始是在白费力气，但是却误打误撞碰上了解题关键。这就是我所需要的运气。
我们已经列举了催生思想所需的原料，不过将这些原料结合起来也并非易事。这个过程甚至比原料更加珍贵。很多人都以为科学研究就是先找到挑战，想出假说，然后做几个实验，得出结论，然后科研就完成了——真不是这么回事。科学研究的真正流程更像是一团乱麻：你找到挑战之后发现别人已经做过了这个题目，你的实验器材要么出故障要么达不到预期效果，实验做出了漂亮结果却无法复现。没错，错了；没错，错了；啊有人在五十年前就把这个结果做出来了。如果你想理解科学研究，就要将这幅混乱的图景与其他关于科研的描述结合起来，因为只有不同图景的互动才能带来进步。
最后请允许我引用两段话来说明思想的地位。第一位发言人是托马斯.杰斐逊。引用杰斐逊在与美国人打交道的时候很好用，因为他们肯定不会跟你抬杠（笑声）：“如果说自然界创造了一件比起任何其他事物都更加难以独占的事物，那就是思考之力采取的行动，也就是所谓的思想。任何人只要守口如瓶，那么他的思想就唯独属于他自己。但是一旦吐露出来，思想就会强行成为所有人的所有物，而且所有者还无法将其摆脱。思想的奇异特质还在于任何人都不会拥有与其他人相比有所欠缺的思想，因为一旦拥有思想就必然拥有整体。从我这里获得思想的人得到了教诲，而我也没受损失；就像用纸媒取火，他得到了光明，而我也没有变暗。”当年的政客确实口才不俗。最后这句话还是庞加莱的名言：“思想就好比长夜当中的闪电，但这闪电才是一切。“谢谢大家。