主题：有趣的数学 -- 普鲁托

最近河里讨论概率的话题很热闹，俺也凑凑趣、跟跟风，写个主帖。

先出题：

学校有一个保送名额，有三位同学都合格，学校安排抽签决定谁保送。

方式：签筒里三个签，一个保送签，两个不保送签。三位同学按序抽签，每位同学抽完的签不再放回签筒。问：最后一位抽签的同学中签的概率比前两位如何？（答案在帖末）

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现在说说孟同学那个三门问题的“悖论”：

玩家2一上台什么都不知道，就知道BC两门里有一羊或车，他选中车的概率是1/2

玩家1第一次选C门，在主持人打开A门后，也只面对BC两门，也知道BC两门有一羊或车，为什么这时两门的有车概率就不是各1/2?

这不符合直觉。

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首先，我们的直觉要接受一个观念，“有些行为会改变事件概率”。比如，当主持人打开A门后，对于玩家1来说A门里是羊2/3、是车1/3的概率就变成了：A门是羊的概率为1，是车的概率为0。同样，主持人打开A门后B、C门的概率也可能发生改变，这个情况不难理解。

“有些行为会改变事件概率”，这句话就是说有些条件变了，概率也会发生改变。这就产生了“条件概率”这个概念。

A表示事件，P（A）表示事件A发生的概率。P（A/B）表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，这就是条件概率。

一般人对条件概率会产生一个错觉，以为事件A在事件B发生的条件下的概率，与事件B在事件A发生的条件下的概率是一样的。

最有名的就是那个艾滋病检测的例子：艾滋病检测试剂准确率为99.9%，张三试剂检测阳性，那么张三得艾滋病的概率八九不离十。这是错误的，张三完全不必恐慌。

美国曾经有一个著名的案子，有律师用此来诡辩：在辛克利刺杀里根案中，辛克利的律师在法庭上指出：有相关医学资料显示，30%CT显示脑萎缩的人有精神病，而正常人只有2%。辛克利CT显示脑萎缩，所以辛克利很可能有精神病。当时控方律师没能接住，只是避开了这个诡辩。巧的是，辛克利最后确实被判有精神病。

事件A在事件B发生的条件下的概率，与事件B在事件A发生的条件下的概率是不一样【P（A/B）≠ P（B/A）】，但两者是有确定关系的，贝叶斯公式就是这个关系的数学陈述：P（B/A)= P（A/B）* P（B）/P（A）。

下面是我对三门问题的解答，只需要用到贝叶斯公式和全概率公式，不感兴趣的河友请略过：

最后说说那个保送抽签的问题，三位同学不论抽签先后顺序，中签的概率都是1/3。同学们都不用争先恐后地抢着去抽，完全不用担心前面的同学把保送名额抢先抽走了。

生活中有很多抽签的事件，买房、买车都要限购、抽签，排先排后抽，都没有关系。股票打新也是，9点半下单和下午两点下单，中签概率是一样的。

让人保持淡定，数学不但有趣，还能有这点好处。