主题：【原创】乱谈医疗中的概率问题 -- diamond

概率问题是我们日常就会遇到的，看上去很简单，不需要什么高深的数学工具，四则运算就足以应付了，无论是摇色子还是买彩票，凭直觉人人都会算。其实并非如此。前一阵子讨论了几个概率问题，男孩问题也好，三门问题也好，都是在网上被反复争论，却从未平息过的，可见简单的表象背后，有些概率问题并非那么容易就能搞清楚，有的甚至是非常反直觉的。这些问题作为网上的谈资，大可一笑置之，但有些概率问题，特别是医疗中的概率问题，和我们每个人的切身利益息息相关，还是有必要搞搞清楚的。

诊断的概率

先抛出一个问题：为提高广大人民群众的健康水平，某市政府决定筛查某非常见病例，根据以往的大数据测算，该病在人口中的罹患比例是0.01%，即万分之一。鉴于该市的总人口达100万之多，相关医疗机构为此专门研发出了高精度且低成本的检测手段，其漏诊率为0%，也就是说，在任何情况下都不会漏过一个患者；与此同时，其误诊率是0.1%，也就是说，99.9%的情况下不会把健康者搞错成患者。全民筛查过后，某市民不幸收到了阳性的检测结果。在这种情况下，请问该市民身体健康的几率是多少？

友情提醒，上面这段话的表述中存在误导之处，语句本身完全无误，但是做了刻意的处理，否则怎么能引起读者的论战——划掉——兴趣呢。

让我们把问题暂时放下，先来看看概率本身。概就是大概、可能，率就是比例、比率，概率就是可能发生的事件数在所有事件数中的比例，无非是前者做分子、后者做分母，两个数相除就得到概率了。

具体到医疗问题，就诊者无外乎两种可能，患病或者健康，所谓患病率就是患者在总人数中的占比，分子是患者数，分母是全体人数，可以用下图中的阴影面积比例来表示：

而在诊断存在的正确和出错两种可能性，和就诊者的健康与否两两组合，就会产生4种情况：

1， 患病者的诊断结果为阳性，即真阳性，这种情况称为确诊

2， 患病者的诊断结果为阴性，即假阴性，这种情况称为漏诊

3， 健康者的诊断结果为阴性，即真阴性，这种情况称为正常

4， 健康者的诊断结果为阳性，即假阳性，这种情况称为误诊

可以用下图来表示：

和之前的图相比，从这张图中很容易看出另外两个比例关系，或者另外两个概率：漏诊率和误诊率。漏诊率就是被诊断为健康（阴性）的患者在总患者中的占比。误诊率则是被诊断为患病（阳性）的健康者在总健康者中的占比。一般来说，这两个比率并不相等，而且是互斥的关系。在诊断技术水平不变的前提下，如果放宽诊断标准，可以降低漏诊率，但会提高误诊率；反之则可以降低误诊率，但会提高漏诊率。只有从根本上提高诊断技术，才有可能同时降低这两种错误率。

说到这里，此前那个问题的答案也就呼之欲出了。所以该市民身体健康的几率究竟是多少呢，换句话说，这个比例的分子和分母分别是图中的哪块面积呢，也就无需赘言了。另外，利用这张图，我们不难得出另外一个概率：这位市民拿到阴性结果、其实却是病患的可能性有多大，试问是不是真的可以高枕无忧了呢，有兴趣的话不妨算算看。

后面这两种概率，不妨分别称之为“假患病率”和“假健康率”。在现实中，假患病率常被混淆为误诊率，假健康率常被混淆为漏诊率，就其错误根源，在于搞错了分母。以误诊率为例，真正的误诊率是误诊人数除以健康人数，假阳/（假阳+真阴），表示的是健康者被误作患病者的概率。而虚假的误诊率，也就是假患病率，则是误诊人数除以真假阳性人数之和，假阳/（假阳+真阳），表示的却是无论真假、被所有诊断为患者的人中健康者的比例。这两个数字的具体数值取决于患病的先验概率，把前面题目中的数据代入计算就可以看出，二者可能相差极大，以至于达到完全违反直觉的程度。

在现实中就有过这样的事情。某法院在某关于尘肺病诊断的判决中，将假患病率认作为误诊率，得出一个超出常理的数值，当作了医生有罪的证据。整个案子的是非曲直姑且不论，单说这种算法，其结果在概率意义上是不成立的。

疫苗的概率

用同样的方法，我们可以讨论疫苗的概率问题。

先进行分类。首先，按照是否接种疫苗，人群可以分为已接种和未接种两类；其次，按照是否接触病毒，又可以分成有接触和无接触两类；最后，按照是否患病，可以分成患病者（包括无症状）和健康者两类。于是综合起来共有8种情况。考虑到无论接种与否，不接触病毒就不可能患病，可以排除已接种无接触患病和未接种无接触患病的情况，余下的6种情况分别是：

1， 未接种、无接触、健康，不打疫苗躲过病毒的，称为幸运者

2， 已接种、无接触、健康，身带疫苗构成免疫屏障，称为群体免疫者

3， 未接种、有接触、健康，不打疫苗也不怕病毒的，称为天然免疫者

4， 未接种、有接触、患病，没有疫苗却被病毒感染，称为不幸者

5， 已接种、有接触、患病，打了疫苗还是得病的，称为免疫失效者

6， 已接种、有接触、健康，被疫苗保护免于感染的，称为免疫有效者

可以用下图来表示：

基于前面的分析，从图中不难看出，疫苗接种率就是长横线的分割比例，病毒接触率就是竖线的分割比例。和误诊、漏诊的情况略有不同的是，由于接种与否只影响接触病毒后的患病率，并不影响和病毒发生接触的可能性，所以未接种者和已接种者的病毒接触率是相等的。于是，这两条线一横一竖把全体人群分成4个格子，右边的2个按照是否患病再次划分，又各自形成2个格子，右下的两个对应情况5和情况6，情况6在其中所占的比例即为疫苗保护率。同理，情况3在右上角的大格子中的比例就是天然免疫率。

需要指出的是，由于遗传多样性，人群存在天然免疫者，这部分人如果打了疫苗，会受到双重保护，但在实际统计中无法区分究竟是哪个起到的作用，如果说共同作用的话也很难计算各自的份额，姑且全部计入情况6，不再额外细分。这在计算疫苗保护率的时候可能会引发歧义，就不做展开讨论了。

概率理论非常简单，但实际计算并不容易。在这几个概率之中，疫苗接种率无疑是可以精确得出的，总患病率=情况4+情况5，也是如此，我们当然准确地知道患者中谁是打了疫苗以及谁没打过疫苗。但天然免疫率却是难于计算的，这是因为对情况3而言，除非731式的实验，我们无法从未接种的健康人群中精确分辨出谁接触过病毒，只能得到情况1+情况3的总和。同理，免疫有效率也是难于计算的，因为情况2和情况6不容易分开。

当然，我们总有各种近似的和变通的办法去估算这些数字。不过这样一来，各种误差自然是在所难免的，其结果还和不同人种之间的遗传差异有关，而且和病毒感染比例的先验概率也有关系。所以无论中外，同样的疫苗在不同的国家和地区会得出不同的保护率，有时数值差异还相当之大。但无论怎么近似，在计算疫苗保护率时，不能按患者中的接种比例来计算，这相当于拿假患病率当误诊率，结果会很离谱。

一点感想

概率计算可以说很简单，特别是古典概率问题，分子除以分母即可，但也可以说很困难，难就难在找出谁是分子谁是分母。