主题：【原创】密码传奇（三）：12、纯技术篇之活拆了ENIGMA （3） -- 1001n

以下，都是详细剖析ENIGMA机理的；这些地方看了难免头痛，喜欢听后续故事的兄弟，再耐心等一下吧：）

又，各位兄弟反映发长帖会被莫名其妙地截短。我这篇【活拆了ENIGMA】已经写完了，但是太长，先发前面一段试试看吧：）

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上文说到，ENIGMA机器内有个转轮组；这转轮组需要靠3个转轮组合而成。每个转轮都有26个可能的旋转位置。那么整体而言，总共的变化可能，是不是26 * 26 * 26 = 17576呢？

要说清楚这个问题，光靠想像是不成的；我们还必须把它安装在ENIGMA里，真正考察一下转轮组的运行过程，才能得出正确的结论。不过，为了便于理解，1001n打算先以石英钟为例子，简单说说步进和进位的关系。

石英钟的表盘上，有秒针、分针和时针。其中，秒针从0开始一格格运动，1、2、3、4……直到59。这一下下地运动，我们称之为步进。

当秒针运转到59，继续步进的时候，就会再次指向0——在这个瞬间，分针跟着前进一格。在这个例子中，59这个位置，我们就称为进位点。

秒针从0转到59，达到进位点；再次步进一格时，秒针进入下一圈，具体说也就是数字0的位置。而越过进位点的这一次步进，秒针将带动它上一级的分针也步进一次；这个过程，就是进位。

同理，分针到达59这个进位点时，再步进一次就将带动时针步进一次；换言之，分针也进位一次。

综上所述，进位点本身并不是进位这一动作的发生点——只有再次步进越过进位点，进位这一行为才会发生。

回到ENIGMA转轮组，情况相当近似；只不过，这里我们以字母来代替数字。前文说过，在很多型号的转轮上，刻在它的字母轮箍上的是数字；这里为了叙述方便起见，就一律都假设为字母吧，反正机理根本就是一样的。

我们假设：一个转轮的进位点是字母Z。那么，当它继续步进到下一圈的A时，进位就发生了——具体表现则是，相邻的转轮因此也步进一格。

对于ENIGMA机器来讲，转轮的步进是和输入直接相关的：操作员每输入一个字母，转轮就将旋转一格。因此，当转轮步进到Z时，操作员再次输入一个字母，就将引发进位；而整体地来看进位的结果，就是会有两个转轮同时步进一格——非常类似秒针和分针同时步进的那一下。

在实际应用中，转轮上的进位点并不是固定死的，而是可以调节的；这个用来调节进位点的装置，就是凹口圈。

凹口圈也叫缺口环（notched ring），在每个转轮上都有；它是个空心的圈，套在转轮的左侧，如下图

外链图片需谨慎，可能会被源头改

这是转轮图的局部。

之所以倒过来发，是因为在使用时，操作员面对的转轮应该是这么放置的

顾名思义，凹口圈上有个凹口。当凹口圈和转轮组合起来以后，我们就会发现：这个凹口正好是一个字母的宽度；而对应这个凹口的字母，就是该转轮的进位点。

例如，这个凹口对应字母B，那么当这个转轮转过A，到达B时就到达了进位点；再次输入一个字母，该转轮由B步进为C的同时，相邻的下一个转轮将跟随步进一次，形成进位。

同时，由于凹口圈是可以手动旋转的，因此，操作员可以把它旋转到任意一个字母的位置。这就是说，操作员可以临时决定这个转轮的进位点。比如我们把它转到Q，那么，这个转轮步进到Q以后，再次步进到R时，就将带动相邻的转轮也步进一次，形成进位。

不难看出，“进位点可以通过手工设置”这一条，给转轮组的运行规律和整个ENIGMA的加密，都带来了众多可能的变化。也正是因为这个原因，凹口圈这个东西才不是白加的附件：如果没有它，出厂时所有同型号的转轮都被统一固定了进位点，那么必然导致所有机器的进位规律都一样——这也实在太便宜了敌国的密码分析人员。。。

不仅如此。由于可以随时调节进位点，转轮步进的规律性越发变得诡异——不仅可以做到不同型机器规律不同（转轮型号不同，进位点不同），同型机器规律不同（同型号转轮进位点设置不同），还可以做到操作同一台机器时，加密这份报文和那份报文时的规律也不同——甚至如果你愿意的话，完全可以在加密某一报文时，让上下文之间的加密规律也不同……

——不能不承认：这对密码分析人员来说，实在是个非常有特色的杀着！

看到这里，有兄弟或许会说了：转轮组如此加密，并没有涉及其它古怪变化；三个转轮导致的总变化量，依然应该是26 * 26 * 26啊——你前面怎么说，这么算不对呢？

别急，转轮组工作起来，确实还是有古怪变化的——这个古怪的机制，就是所谓的双重步进（Double Stepping）。

为了说明这个双重步进，我们还是暂时把注意力转移到石英钟上，看看如果是双重步进的话，又会发生什么吧。

先看看正常的步进，应该是这个样子：

时钟状态：01时 59分 59秒

增加一秒：02时 00分 00秒

再增一秒：02时 00分 01秒

再加一秒：02时 00分 02秒

现在是双重步进了：

时钟状态：01时 59分 59秒

增加一秒：02时 00分 00秒

再增一秒：02时 01分 01秒 ←看分针

再增一秒：02时 01分 02秒

玄机就在这里：分针到达进位点后，再次步进则带动时针步进，形成进位，这不希奇——而时针进位之后，在下次接到输入时，还会反过来带动分针，让分针再次步进一位——就有点裹挟的味道了，呵呵。

谁家的石英钟要是这么走，估计各位非砸了它不可；可ENIGMA的转轮组，却实实在在地是这么运行的。

现在，我们来分析一下转轮组的运行吧。当你面前打开一部ENIGMA时候，会观察到机器内的转轮组；这时候，我们把你左手边的转轮命名为1号转轮，中间的一个是2号转轮，右手边的则是3号转轮——这个命名法，跟当年的命名规则完全一致，除了没用罗马数字以外，呵呵。

要特别留神一点的是：操作员输入的字母信号，并不是从左，也就是从1号转轮流入转轮组的；而是从右，即3号转轮流入的。换言之，如果你正襟危坐在ENIGMA前，那么它的转轮组对一个输入的字母信息，加密的流程就应该是

后续加密步骤 …… ← 1 ← 2 ← 3 ← …… 输入字母

这样的。各位兄弟看这流程示意估计不大适应：从右往左，这怎么跟阅读顺序整个一满拧啊——没办法，现在不拧，后面更容易乱；现在拧了，后面其实还是容易理解地，嘿嘿。。。

所以，充当石英钟秒针的角色，就是3号转轮；而分针，就是2号转轮；时针，则是1号转轮。

现在，我们假定1、2、3号转轮的凹口圈，其凹口分别设定指向字母E、F、G；即1的进位点为E，2的进位点为F，3的进位点为G。

在此基础上，我们再假设当前转轮组的初始位置为A、A、A。那么，现在转轮组的情况就是

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1（凹口E） 2（凹口F） 3（凹口G）

初始位置 A A A

在纸面上模拟一下它的加密过程，就是这样的——其中每一行，都表示操作员一次新输入后的状态：

A A B

A A C

A A D

第一种情况 A A E

（单纯进位） A A F

A A G ←注意，3已经到了进位点

A B H ←进位完成，2步进一格；3的步进，则是因为新输入

A B I

…… 继续加密 …… 继续加密 ……

A E F

A E G ←注意，3再次达到进位点

第二种情况 A F H ←3对2的进位完成；注意，2也达到了进位点

（双重步进） B G I ←2步进的同时产生进位，带动1步进

B G J

…… 继续加密 …… 继续加密 ……

D E E

D E F

第三种情况 D E G ←3达到进位点，即将进位

（单纯进位） D F H ←2步进，本身也达到进位点

E G I ←2步进的同时产生进位，带动1步进；1也到达进位点

E G J ←1并未进位，特殊情况结束

E G K

E G L

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累死我了——这东西真是理解不难，表达麻烦啊……

先让我们看第一种情况，即单纯步进的情况吧。在单纯进位的时候，低位转轮（即相对在右的转轮）步进，将通过进位的方式，带动高级转轮（即相对在左的直接相邻转轮）步进。

实际上，在ENIGMA转轮组中，这样的情况只出现于右边和中间的转轮，即2、3号转轮之间。

其次就是第二种情况，双重步进。在某个转轮“上有老，下有小”的时候，双重步进才会发生；而在这三个转轮中，满足这一条件的，只有2号转轮。当2号转轮到达进位点，即将进位时，双重步进将按以下方式发生：

① 接受3的进位推动，2步进一位，达到进位点；

② 随着3的再次步进，无法稳定停留在进位点的2继续步进一位，并越过2自己的进位点，对1形成进位；于是，1也步进一位。

整体看起来，就是2先步进达到了进位点，在下一次输入时，1、2又同时步进。

这个机制就是所谓的双重步进。容易看出，能够实现双重步进必须具备两个条件：第一，是有低级转轮的进位推动；第二，是高级转轮存在。缺了一个，双重步进都不可能发生——这就是双重步进必然发生在“上有老，下有小”的2号转轮上的原理。

这样一来，双重步进，范围只在1、2转轮之间；并且，具体到第二次步进，只能发生在2号转轮上。

——看到这里，细心的兄弟肯定会问：为什么2、3转轮之间就不会发生双重步进呢？2进位后，带动3再次步进，也是符合这个原理的啊……

也请各位兄弟再仔细看看上面的列表分析，特别请注意3这一列的变化情况……

稍微留心就不难发现，3的变化可以说是不受任何影响的，典型小胡同放牛 —— 一条道走到黑，永远是心无旁骛地一位位顺序步进着。实际上，3的步进并非由于任何更低级（也就是更右边）的转轮进位推动而来，而是由操作员的直接输入产生；它每次针对输入作出直接响应，应该是件很正常的事。

为了更清楚地了解2号转轮在转轮组的特殊性，且让我们看第三种情况。如上面列表分析的，2进位推动1到达进位点，再次输入字母后，按理说1也处于进位点这个不稳定的位置，这时候该步进了；可是，由于不存在更高级（也就是更左边）的转轮，1还就在这个位置呆下去了——这就是说，它根本就不会动！

这就是说，凹口——也就是进位点，对于1，是完全无效的……

总之1也好，3也罢，无论什么情况下，都不会出现双重步进；这一现象，仅能发生在2号转轮身上。

现在，让我们再回到实际使用ENIGMA时的情况吧。前文说过，早期型号的ENIGMA，只有三个转轮，而且这三个转轮都将被装在机器上。后来随着ENIGMA的硬件升级，转轮总数变成五个，海军型的则陆续发展为七个乃至八个。

而无论配置了几个转轮，在ENIGMA机器中，转轮组的位置只能装下三个转轮；因此，必然就有用不上的转轮（针对某次使用而言）。上文说的1、2、3号转轮，实际上只是一个可能安装方案而已；不过，从中推出的理论，倒是适合各种情况——现在，就让我们来总结一下ENIGMA转轮组的运转规律，大致如下：

1、操作员每次输入的字母，都将直接推动最右边的转轮（以后简称右轮）步进一格；

2、当右轮越过凹口圈上凹口对应字母位置的时候，将带动中间的转轮（以后简称中轮）步进一格；

3、当中轮越过凹口圈上凹口对应字母位置的时候，将带动最左边的转轮（以后简称左轮，非手枪）步进一格；

4、当左轮越过凹口圈上凹口对应字母位置的时候，将正常步进一格。

唯一特殊的是：中轮在越过凹口以前，只是在凹口的位置“停留”了一次而已；因此连起来看的话，这个中轮可是连续步进了两次。

这就意味着，3、4所指代的现象其实是一回事；所以，凹口圈所标明的进位关系，对左轮是不起作用的。这个凹口，在右轮也只是起到了标记进位点的作用，而不能影响右轮本身的运动。

从此，我们可以看出：在初始状态下，操作员输入头几个字母时，右轮必将逐次步进；而在这头几次步进的过程中，中轮正好位于进位点，进而被推动的概率其实是很小的。中轮如此，左轮发生步进的机会将更低——即便中轮满足步进条件，也极有可能并不在进位点附近。

这就是说，在不考虑转轮组以外的加密方式时，ENIGMA加密的报文中，头几个字母仅仅是通过单独的右轮转动加密产生，这个现象的发生概率将非常大——回顾【波兰篇】我们很快可以想起，波兰人实际就是从这里突破的ENIGMA！

如果以二战早期德国人的标准操作，也就是首六字母重复加密制进行计算的话，我们可以得出

右轮到达进位点并越过进位点的情况 / 右轮的全部位置情况 = 6 / 26 ≈ 23.1%

——这里要说一句：之所以分子是6而不是5，是因为右轮的初始位置完全可能就是它的进位点；这就是说，第一次输入即可导致进位的发生。

那么，这个23.1%又意味着什么？

它意味着：由于此时转轮组内部出现进位的概率还不到四分之一，波兰人可以有相当大的把握地认定：他们所截收的全部电文的头六个字母，基本都是由右轮单独加密而得到的。

【波兰篇】里曾经提到过，第一位应该得到花环的马里安·雷杰文斯基（Marian Rejewski），在破解ENIGMA时，就得出了这样的结论。为了破译，他还必须算出每个转轮内部的环位置（ring settings，参见前文）；而这头六个很少受到干扰的密文字母，就为他提供了非常难得的单右轮运行的研究样本。

也如前所述，雷杰文斯基最先攻破的，正是当时使用的ENIGMA的右轮的环位置——那时候，也就是在1936年以前，德国人还是三个月才更换一次转轮的组合顺序的。

这就意味着，不管德国人选择了哪个转轮当作右轮，它都会在这个右轮的位置上呆满三个月——而这么个“悠长假期”内，波兰人将会截收到多少报文啊；进而，这些资料对计算这个转轮内部的环设置，可实在是多得足够奢侈了。

这份慷慨，雷杰文斯基肯定是享受到了，他后来的英国同行，可就再没这个福气了。不过，英国人的破译也够狠，细节问题嘛，以后再说吧：）

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现在，可以转回来说最开始的问题了：转轮组的三个转轮旋转以后，到底会造成多少种变化？

我们已经看到，由于中轮存在着诡异的双重步进机制，导致转轮组的整体运行规律也有了相应的变化；这里，也不妨再细看一次刚才的转轮组“步法”分析吧：

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1（凹口E） 2（凹口F） 3（凹口G）

初始位置 A A A

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A A B

A A C

A A D

第一种情况 A A E

（单纯进位） A A F

A A G ←注意，3已经到了进位点

A B H ←进位完成，2步进一格；3的步进，则是因为新输入

A B I

…… 继续加密 …… 继续加密 ……

A E F

A E G ←注意，3再次达到进位点

第二种情况 A F H ←3对2的进位完成；注意，2也达到了进位点

（双重步进） B G I ←2步进的同时产生进位，带动1步进

B G J

…… 继续加密 …… 继续加密 ……

D E E

D E F

第三种情况 D E G ←3达到进位点，即将进位

（单纯进位） D F H ←2步进，本身也达到进位点

E G I ←2步进的同时产生进位，带动1步进；1也到达进位点

E G J ←1并未进位，特殊情况结束

E G K

E G L

…… 继续加密 …… 继续加密 ……

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仔细观察，我们就会发现：当中轮（在这里就是2号轮）位于进位点时，它只能在这个位置上停留一次，旋即，在下次输入时便会进位——这跟它在其它位置状态时都不同；在别的位置，它都能消停地呆上26次……

这就意味着：凹口虽然在三个转轮上都有，但只在中轮上发挥了另外的作用——具体来说，就是减少了它的变化可能。

不妨举例说明。还以上面的设定为例，当三个转轮分别转到A、E、F时，下一次就将变为A、F、H，这一步倒还没有什么；再下一次，受双重步进的影响，将变成B、G、I——注意：在此设定下，理论上该出现的B、F、I，并未出现；这时候的2号转轮也已经不能继续停留在F上，而是被双重步进所推动，变成了G。

这就是正是双重步进的一大特点，也就是前面提到过的：

ENIGMA转轮组的中轮，到了进位点，下一步必然会进位；它在这个位置，必然也只能停留一次。

这就是说，中轮在进位点的那个字母位置时，只能特定地对应一次左右转轮位置；越过它以后，就可以分别对应左右转轮各26种情况了。

如此一来，我们可以先计算一下当中轮不在进位点时，转轮组的变化情况，即：

（左轮的变化）*（中轮的变化）*（右轮的变化） = 26 * （ 26 - 1 ）* 26 = 16900

这减掉的1，就是中轮处在那个进位点位置时，所可能的产生变化。

——而这，其实就是正确答案，虽然算法上有漏洞……

为什么算法上有漏洞，结果却又是对的呢？很显然，出现如此现象，必然是有什么因素互相抵消了——没错，在转轮组中，我们还真可以找到这个互抵的因素。

再仔细观察一下，我们会发现一个现象：

D E G

D F H

E G I

E G J

其中，中轮在F停留了一次；这就意味着，下一步它将变成G；而在正常情况下，被右轮进位所推动的G，首次对应的应该是右轮进位点后的一个字母；在本例中，中轮的G，对应的应该就是右轮进位点G后的一个字母，即H。

如此说来，D、F、H的后一步，应该就是E、G、H。

可在这个实例中呢？却是E、G、I；而那个该死的H，又跑哪里去了呢？

——还是中轮的步进点，那个F捣的鬼；实际上，它越俎代庖地替中轮的G，率先对应了右轮的H。这也很正常，毕竟F也是进位而来，首次对应的自然该是右轮的H，这一点跟其它字母没什么不同；不正常的是，由于F本身又是进位点，迅即导致双重步进，才让后来的G没有H可对应了。

这就是说，由于F的存在，使F“替”G对应了一次右轮的字母。如此看来，这笔关于F的糊涂账，实际应该算在字母G头上。

知道了问题所在，那么解决办法也就很简单了：只要把这一次的对应，记在G的对应关系里，我们的字母G就圆满了：实实在在，G也对应了右轮的26种变化，自然也就对应了左轮的26种变化。

也就是说，中轮进位点那额外对应的一次变化，可以计算它后一个字母内——因为这多出来的额外一次变化，正是以之后一个字母减少一次变化为代价的。而加一再减一，结果正好抵消了，嘿嘿。。。

这样一来，在计算整个转轮组的变化时，中轮进位点的情况就可以完全排除了，整个算法也一下变得简洁清晰起来——有此一个前提后，我们还可以用另一种算法来计算：

3 2

转轮组理论上总的变化量 - 中轮进位点对应的变化 = 26 - 26 = 17576 - 676 = 16900

与刚才计算的一样，哈哈——跟废话一样，能不一样么？26的立方减26的平方，不就相当于26 * 25 * 26么……

而这个16900，就是ENIGMA转轮组的全部变化情况——唉，不得不承认，还是人家不分析过程，直接得出个17576来的省力省心的多啊……

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上面我们分析的，都是ENIGMA最常见的转轮组；而也有些转轮组的结构，又跟上面分析的略有不同。

比如，在军事情报署型ENIGMA（Abwehr ENIGMA），和海军的某些型号上的转轮组里，转轮的数量就不是三个，而是四个。

不过，军事情报署型ENIGMA的转轮组里，四个转轮的确是名副其实；而海军型ENIGMA上，这多出的来的第四个转轮，就有那么点儿鱼目混珠滥竽充数瞒天过海以次充好的嫌疑了……

在海军型ENIGMA的第四个转轮上，也有刻着26个字母的字母轮箍，也有拨轮……等等等等，长得那是跟别的转轮毫无二致。不过，这第四个转轮是不会步进的，它的旋转是临时靠手动调节的——就这一点，就可以把它排除在转轮组以外了。

计算起来，M4上的四个转轮，其变化情况也比较简单，就是

三个转轮的变化 * 第四轮的变化 = 16900 * 26 = 439400

不过，这个转轮虽然跟转轮组的关系不大，却跟后面要提的另一个部件紧密相关；而我们对【多表加密模块】的分析，到这里也终于可以告一段落了。

觉得轻松了不少吧？哈哈，其实我才是觉得最轻松的人……

我去冒会儿烟了；也隆重建议看到这里的各位，休息一下吧……

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