主题：【原创】自动控制的故事（一）（完） -- 晨枫

对工业界以积分为主导控制作用的做法再啰嗦几句。学术上，控制的稳定性基本就是渐近稳定性，BIBO稳定性是没有办法证明渐近稳定性时的“退而求其次”的东西，不怎么上台面的。但是工业界里的稳定性有两个看起来相似、实质上不尽相同的方面：一个当然是渐近稳定性，另一个则是稳定性，但不一定向设定值收敛，或者说稳定性比收敛性优先这样一个情况。具体来说，就是需要系统稳定在一个值上，不要动来动去，但是不是在设定值并不是太重要，只要不是太离谱就行。例子有很多，比如反应器的压力是一个重要参数，反应器不稳定，原料进料比例就乱套，催化剂进料也不稳定，反应就不稳定，但是反应器的压力到底是10个大气压还是12个大气压，并没有太大的关系，只要慢慢地但是稳定地向设定值移动就足够了。这是控制理论里比较少涉及的一个情况，这也是工业上时常采用积分主导的控制的一个重要原因。

前面说到系统的频率，本来也就是系统响应持续振荡时的频率，但是控制领域里有三拨人在捣腾：一拨是以机电类动力学系统为特色的电工出身，包括航空、机器人等，一拨是以连续过程为特色的化工出身的，包冶金、造纸等，还有一拨是以微分方程稳定性为特色的应用数学出身的。在瓦特和抽水马桶的年代里，各打各的山头，井水不犯河水，倒也太平。但控制从艺术上升为理论后，总有人喜欢“统一”，电工帮抢了先，好端端的控制理论里被塞进了电工里的频率。童子们哪，那哪是频率啊，那是……复频率。既然那些变态的电工帮（啊耶，这下鹿踹真的要来了）能折腾出虚功率，那他们也能折腾出复频率来，他们自虐倒也算了，只是苦了我等无辜之众，被迫受此精神折磨。

事情的缘由是系统的稳定性。前面提到，PID的参数如果设得不好，系统可能不稳定。除了摸索，有没有办法从理论上计算出合适的PID参数呢？前面也提到，动态过程可以用微分方程描述，其实在PID的阶段，这只是微分方程中很狭窄的一支：单变量线性常微分方程。要是还记得大一高数，一定还记得线形常微的解，除了分离变量法什么的，如果自变量时间用t表示的话，最常用的求解还是把exp(λt)代入微分方程，然后解已经变成λ的代数方程的特征方程，解出来的解可以是实数，也可以是复数，是复数的话，就要用三角函数展开了（怎么样，大一噩梦的感觉找回来一点没有？）。只要实根为负，那微分方程就是稳定的，因为负的指数项最终向零收敛，复根到底多少就无所谓了，对稳定性没有影响。但是，这么求解分析起来还是不容易，还是超不出“具体情况具体分析”，难以得出一般的结论。

法国人以好色、好吃出名，但是他们食色性也之后，还不老实，其中一个叫拉普拉斯的家伙，捣鼓出什么拉普拉斯变换，把常微分方程变成s的多项式。然后那帮电工的家伙们，喜欢自虐，往s里塞jω，就是那个复频率，整出一个变态的频率分析，用来分析系统的稳定性。不过说变态，也不完全公平，在没有计算机的年代，各种图表是最有效的分析方法，还美其名曰“几何分析”。频率分析也不例外。美国佬Evans搞出一个根轨迹（root locus），思路倒是满有意思的。他用增益作自变量，将系统的根（不管实的虚的）在复平面上画出轨迹来，要是轨迹在左半平面打转转，那就是实根为负，就是稳定的。再深究下去，系统响应的临界频率之类也可以计算出来。最大的好处是，对于常见的系统，可以给出一套作图规则来，熟练的大牛、小牛、公牛、母牛们，眼睛一瞄，随手就可以画出根轨迹来，然后就可以告诉你，增益变化多多少，系统开始振荡，再增加多少，系统会不稳定，云云。

根轨迹还是比较客气的，还有更变态的奈奎斯特、伯德和尼科尔斯法，想想脑子都大。都是叫那帮电工分子害的。时至今日，计算机分析已经很普及了，但是古典的图示分析还是有经久不衰的魅力，就是因为图示分析不光告诉你系统是稳定还是不稳定，以及其他一些动态响应的参数，图示分析还可以定性地告诉你增益变化甚至系统参数变化引起的闭环性能变化。咦，刚才还不是在说人家变态吗？呃，变态也有变态的魅力不是？哈哈。