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主题:【原创】自动控制的故事(一)(完) -- 晨枫

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家园 【原创】自动控制的故事(十一)

前面说到,搞控制有三拨人:电工出身的,化工出身的,和应用数学出身的。再卡尔曼之前,电工出身的占主导地位,数学家们好在象牙塔里打转转,化工出身则还对控制理论懵里懵懂,还在“实干”呢。卡尔曼之后,一大批数学出身的人,利用对数学工具的熟悉,转攻控制理论。一时间,控制理论的数学化似乎成了“天下大势,顺我者昌,逆我者亡”了。在状态空间的框架下,多变量没有太多的问题好研究,于是最优化成为控制理论的新时尚。

对于一根给定的曲线,求一阶导数为零的点,就是这个曲线的极点;在对这一极点球二阶导数,大于零就是最小点,小于零就是最大点。这时牛顿老爷子就整明白的东东,现在高中或大一人人都学过的东西。但是动态系统是一个微分方程,对微分方程求一阶导数为零,就导致变分法和所谓欧拉方程。但这个东西用起来不方便。实际的最优控制不大直接使用变分。

俄罗斯是一个奇怪的地方。老毛子们要么蔫蔫的,要么疯狂的。俄罗斯的悲剧电影看得你也郁闷得想去自杀。但是老毛子要是搭错筋整出一个喜剧呢?那你要么跟着疯狂,要么被逼疯狂。就是这么一个地方,除了无数托尔斯泰、柴可夫斯基、普希金、屠格涅夫等文艺巨璧外,俄罗斯也盛产数学家,其中两个是庞特里亚京和河里学控制的人老惦记着的李亚普诺夫。

庞特里亚京的极大值原理听起来吓人,其实说白了很简单。看见那山吗?山顶就是最高点(切,这还用你说吗?);看见那山坡吗?要是在山腰划一道线,从山下往上爬,尽管山坡还在继续往上延伸,但是到线为止,不得逾越,那山腰上那道三八线就是最高点(切,这还用说?)。这就是庞特里亚京的极大值原理。当然啦,庞特里亚京是用精巧、深奥的数学语言表述的,要不然他在数学界里也别混了。不过呢,意思就是这么一个意思。

庞特里亚京极大值原理的一个典型应用就是所谓最速控制问题,或者叫时间最优控制(time optimal control)问题,简单地说,就是给定最大马力和最大刹车功率,怎么开汽车能够最快地从A点开到B点(什么转弯、上下坡、红绿灯,这种琐碎的事情也要拿来烦人?一点品味都没有!)。你可以用优美但繁琐的数学求证,或者用膝盖想想,最快的方法,就是一上来就加足马力,全速前进;然后在不到终点的某一地点,全力刹车,使慢下来的汽车在到达终点时正好停下来。这时最快的方法,不可能比这更快了。稍微发挥一点想象力,可以想象“梆”的一下,控制量的油门板一脚到底,再是“梆”的一下,刹车板一脚到底,控制任务就完成了。所以最速控制也叫“梆-梆”控制(bang bang control)。

最速控制在理论上是一个很有趣的问题,解法也是简洁、优美,但在实际中直接使用的例子实在是凤毛麟角,一般都是开始时用“梆-梆”,或者匀速上升到最大控制,以缓和控制的冲击力;到终点附近时,改用PID作闭环微调,以克服“梆-梆”的系统模型误差十分敏感的缺点。电梯控制就是这样一个例子。从一楼到四楼,电动机很快匀速上升到最高转速,一过三楼,电动机就匀速下降到较低的转速,然后根据电梯实际位置和楼面之差,有控制地减速,直至停下来。要是控制参数调得好的话,一下子就稳稳当当地停下来;要是调的不够好,会在停下来之前上下晃荡几下。

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