主题：【原创】今天的数学（系列） -- qiaozi

关于1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ……的计算有很多方法，是微积分里的一个基本结果。不过，还有一个初等的办法可以看出这个和必定等于无穷大。

用反证法。如果1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ……是有限的，我们把这个有限数记为L，那么

L = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …… = (1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ……) + (1/2 + 1/4 + 1/6 + ……)

有不同意的吗？很好，我们接着来！

先看第一个括号。因为1>1/2，1/3>1/4，1/5>1/6， ……，我们知道

1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + …… > 1/2 + 1/4 + 1/6 + ……

因此我们有

L = (1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ……) + (1/2 + 1/4 + 1/6 + ……) > (1/2 + 1/4 + 1/6 + ……) + (1/2 + 1/4 + 1/6 + ……) = 2 ×(1/2 + 1/4 + 1/6 + ……)

显然

1/2 + 1/4 + 1/6 + …… = 1/2 × (1 + 1/2 + 1/3 + ……) = L/2

所以我们得到了

L > 2 × L/2 = L

这时不可能的。所以L不能是有限的。