主题：要是我来出高考题，我会出这类的 -- 大洋芋
家园 要是我来出高考题，我会出这类的 不说这些，是因为下面两个例子很多人都知道了，不适合当考题。
1. 定义在实数上的函数g满足对所有的实数x，y都有g(x+y)=g(x)+g(y)，且不存在实数a，使得g(x)≡ax，证明g(x)的图像在平面上稠密，即，平面上任何一个半径不为零的园内都可以找到一个点(x,g(x))。
2. 称定义了内积的实向量空间为欧氏空间（下面大写的英文字母代表向量，小写希腊字母代表实数，|U|代表向量U的长度，*代表实数乘法），在欧式空间上定义一个二元函数g，我们称之为乘法：g(U,V)≡U×V=W，满足以下条件：
1. 结合律：(U×V)×W≡U×(V×W)
2. 线性，分配律：(αU+βV)×W≡α(U×W)+β(V×W)；W×(αU+βV)≡α(W×U)+β(W×V)
3. 连续性：|U×V|≤|U|*|V|。（这条表示我们不希望两个一般大小的向量可以乘出很大的向量）
4. 存在乘法单位E，满足E×U≡U×E≡U，且|E|=1
证明仅在三种情况下这种定义才是可能的，而且确实是可以定义的：
a). 一维空间，乘法等同于实数乘法：(αE)×(βE)=(α*β)E
b). 二维空间，乘法等同于复数乘法：即可以找到单位向量I垂直于E，I×I=-E，一般地，(αE+βI)×(γE+δI)=(α*γ-β*δ)E+(α*δ+β*γ)I
c). 四维空间，乘法等同于四元数乘法：即可以找到单位向量I，J，K，使得E，I，J，K两两垂直，且I×I=J×J=K×K=-E；I×J=-J×I=K；J×K=-K×J=I；K×I=-I×K=J
特别地，证明这种乘法必定满足|U×V|≡|U|*|V|而不仅是|U×V|≤|U|*|V|
上面这两题都没有超纲，但是要做出来需要真功夫，第二题属于现在流行的给材料，给信息题。
本帖一共被 1 帖 引用 (帖内工具实现)家园 这个有些疯狂 估计学生会崩溃的，当然状元除外
- 复 这个有些疯狂
家园 第二题是有点“大”，分割成几个小问题就不会那么吓人 不过第一题并不难，那些位有兴趣练练手？如果以前没见过的话。
家园 练一下手... 没学过抽象代数这类东东，大概想了一下，不知道对不对？
第一题：
1、因为“且不存在实数a，使得g(x)≡ax”
总存在g(x0)/x0=alpha 使alpha不是0
存在一个点x1使得g(x1)=alpha*x1+beta （beta也不是0）
2、因为“g(x+y)=g(x)+g(y)”
所以g(x0)=2*g(x0/2)=4*g(x0/4)=...=2^n*g(x0*2^(-n))...
3、把x1写成x1=n0*x0+n1*x0*2^(-1)+...+ns*x0*2^(-s)+dx，其中ni都是整数。可知 g(x1)=alpha*(x1-dx)+g(dx)，推出g(dx)=beta+alpha*dx，定义为b
4、对于任意一点(xx,yy)，做一个半径为r的圆。xx可以写成xx=m0*x0+m1*x0*2^(-1)+...+mt*x0*2^(-t)+dxx，其中mi也都是整数，只要t足够大dxx就可以小于r/4。
5、如果yy-g(xx-dxx)=c的绝对值也小于r/2，那么这一点就找到了，否则在3中把s取足够大，可以同时做到以下两点:
因为beta是一个常数，总可以找到足够大的r，使c=L0*b+L1*b*2^(-1)+...+Lr*b*2^(-r)+d时，d的绝对值小于r/2（Li也是整数）
而且dx足够小，使L0*dx+L1*dx*2^(-1)+...+Lr*dx*2^(-r)的绝对值小于r/4
6、于是我们就在圆心为(xx,yy)，半径为r的圆内找到了点：
x=xx-dxx+L0*dx+L1*dx*2^(-1)+...+Lr*dx*2^(-r)
y=g(x)=yy-c+L0*b+L1*b*2^(-1)+...+Lr*b*2^(-r)
这里|x-xx|<r/2；|y-yy|<r/2，g(x)=y，得证
不过这个想法明显是学了微积分以后的思路，还不知道是不是严格，不知道有没有特别简明的做法...
家园 老兄这个离散数学的题拿到高考也太损了吧？ 那么多符号，学生一看就晕了，要出事故的
及时不需要特别的大学知识，也未免太抽象了，而且不能考察学生对高中知识的掌握情况
家园 抽象代数 如果我预先看过这些书，有基本的理解，做题就有很大优势。
这是在鼓励学生们预习大学教材么~~