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主题:【原创】他/她不适合你---- 案例之三 你的选择还会不 -- 柚子

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    • 家园 这是一个概率问题

      就这个问题而言:

      有人给我说了一个问题,“如果你参加一个电视有奖节目, 游戏规则很简单, 一共3扇门,一扇门的背后是1千万美刀的支票, 还有两扇门后面是两只山羊。 你选择一扇门。门后的东西就归你了。 现在游戏中, 你选择了, 然后主持人打开剩下两扇门中的一扇, 门后是一只山羊, 现在主持人问你, 你的选择会不会变。你会怎么选呢?”我的答案是我不改变我的选择。

      如果你换选择,中奖概率大一倍

      • 家园 都被绕迷糊了阿

        剩下两扇门,随便哪一个的概率都是50%,换不换有区别么?

        • 家园 水风兄请进。

          一下为文摘,比我说的清楚。

          十多年前的玛丽莲问题由概率的角度来解决:

          美国的“玛利亚幸运抢答”电台一日公布了这样一道题:在三扇门的背后(比如说1号、2号及3号)藏了两只羊与一辆小汽车,如果你猜对了藏汽车的门,则汽车就是你的。现在先让你选择,比方说你选择了1号门。然后主持人打开了一扇门,让你看清楚这扇门背后是只羊,接着问你是否应该重新选择,以增大猜对汽车的概率?

          谁能给出回答呢?一号门背后是汽车的概率变了吗?

          “玛丽莲问题”中最著名的是“Behind Monty Hall’s Doors“,简称“The Monty Hall Problem”。玛丽莲的答案是应该换,在当时很多人都不同意。玛丽莲在下一期专栏给出一个事件列 表说明她的道理,但反对声更多更大了。在几千封读者来信中,反对者达九成。其中有全 国健康机构的统计学家,国防情报中心的副主任,甚至著名的美籍匈牙利数学家保罗?埃 尔笛希(Paul Erdos,他的姓氏和“鄂尔多斯”的英文一样)也是反对者之一。

          后来,在1991年2月17日,玛丽莲为此题目作了第三期专栏。她最后是这样说服大家的:假如当主持人打开那个有山羊的门后,有外星人忽然来到台上选。他在能选的两个门中任选 一个,有车的概率确实都是50%。但你不是刚到,你有优势,因为主持人帮助过你了,他为你在其余两个门中作了预选。你换了后,概率就由三分之一提高到三分之二了。   

          在当时,虽然玛丽莲给出答案,但事情并没有结束。

          经过前人艰苦的研究,现在我们可以得出结论:

          条件概率、全概率、贝叶斯公式解

          游戏开始,设P(X)为A、B、C三道门后面有车的概率,则P(A)=P(B)=P(C)=1/3

          假定:游戏者任选了一道门A,而主持人(HOST)打开一道后面是羊的门,事实上有两种情况

          1、主持人了解所有门后面的东西,他一定要打开一扇“羊”门

          如果车在A门后面,主持人有B、C两种选择,打开C门(“羊”门)的概率为

          P(Host opens C|A) = 1/2

          如果车在B门后面,主持人没有选择,只能打开C门

          P(Host opens C|B) = 1

          如果车在C门后面,主持人一样没得选择,绝对不能开C门

          P(Host opens C|C) = 0

          所以,主持人打开C门的概率为

          P(Host opens C) = P(A)*P(H.o. C|A) + P(B)*P(H.o. C|B) + P(C)*P(H.o. C|C)

          = 1/6 + 1/3+ 0 = 1/2

          根据贝叶斯公式,在主持人打开C门的条件下,A、B两门后面是车的概率分别为

          P(A|Host opens C) = P(A)*P(Host opens C|A) / P(Host opens C)

          = (1/6) / (1/2)

          = 1/3

          P(B|Host opens C) = P(B)*P(Host opens C|B) / P(Host opens C)

          = (1/3) / (1/2)

          = 2/3

          这就是为什么要换二号门的原因。

          2.主持人和游戏者一样蒙在鼓里,他是碰巧打开一扇“羊”门,那么

          如果车在A门后面,主持人有B、C两种选择,打开C门的概率为

          P(Host opens C|A) = 1/2

          如果车在B门后面,主持人一样有B、C两种选择,打开C门的概率还是

          P(Host opens C|B) = 1/2

          如果车在C门后面,主持人还是有B、C两种选择,只是打开C门不可能看到羊

          P(Host opens C|C) = 0

          所以,主持人打开C门见到羊的概率为

          P(Host opens C) = P(A)*P(H.o. C|A) + P(B)*P(H.o. C|B) + P(C)*P(H.o. C|C)

          = 1/6 + 1/6+ 0 = 1/3

          根据贝叶斯公式,在主持人打开C门见到羊的条件下,A、B两门后面是车的概率分别为

          P(A|Host opens C) = P(A)*P(Host opens C|A) / P(Host opens C)

          = (1/6) / (1/3)

          = 1/2

          P(B|Host opens C) = P(B)*P(Host opens C|B) / P(Host opens C)

          = (1/6) / (1/3)

          = 1/2

          在这种情况下,用一个简单的条件概率式P(A|C.sheep)一样可以得出1/2的结果。这就是“不换”的原因。遗憾的是,从游戏的设置来看,主持人不知情的可能性很小。

          当时的争议很多,大多都是由概率来解答的,下面的解法我认为更简洁:

          开始拿一个,1/N 的机会,剩下总共有 (1-1/N)的机会,主持人拿掉必然为空的X个盒子后,剩下的总几率不变,每个盒子上升到{(1-1/N)}/(N-X)大于 1/N


          本帖一共被 1 帖 引用 (帖内工具实现)
        • 家园 这个这个... 概率还真不是50%

          如果对方给您三扇门,他先打开一扇,里面是山羊,然后您在剩下的两扇里做选择,这种情况才是50%的概率。而现在的setup是不同的,是您先选了,然后对方再从剩下的两扇中打开一扇,示意您是山羊。

          这种情况下,如果您不改变选择,继续守着您已经选定的这扇,则您的中奖概率就是1/3,因为这扇门是您在三个里面选择的。

          如果您改变选择,中奖概率是2/3。这个可以这样理解:如果给您三扇门让您选,同时允许您有两个options,option1:只选一扇,option2:可以选两扇,您会选择哪个option?显然是option2嘛~

          而你改变选择,实际上就等于你选择了option2 (稍有变形而已)。

          • 家园 这是真的被绕迷糊了

            先问一个问题,以下两者,有区别么?

            如果对方给您三扇门,他先打开一扇,里面是山羊,然后您在剩下的两扇里做选择,

            如果对方给您三扇门,你先选择一个,他先打开另外一扇,里面是山羊,然后您在剩下的两扇里做选择

            都是二选一的问题,怎么就会这么复杂了呢?

            是您先选了,然后对方再从剩下的两扇中打开一扇,示意您是山羊。这种情况下,就已经是二选一了。中奖概率,已经从1/3,变到了1/2。因为这扇门第一次是在三个里面选择的, 而这一次是在两个里面选择的。

            我们实在不行,用穷举法,最笨得法子来一步步地看。

            第一次选择,有车的几率是 1/3, 没车的几率是 2/3。 这个清晰明了,大家都没有意见是吧。我们只捡得到车的可能性算。

            选择了有车的以后,不换的可能是1/2,就是说有1/6的可能性是,一开始就选对了,最终不换保住了。

            没车的几率是2/3。换的可能也是1/2,就是说有1/3的可能性是,一开始选错了,后来换对了。

            加起来,一共是1/6 + 1/3= 1/2的可能性得到车。

            换过来算,如果最终得不到车,情况如下。

            一开始选了车,第二次换了。1/6的概率。

            一开始没得到车, 第二次没换。1/3的概率。

            加起来,一共是1/6 + 1/3= 1/2 的概率得不到。

            这个跟第一次还是第二次选绝对的没有任何的关系。

            但是,

            但是,换还是有道理的,

            因为,

            第二次换的时候,有1/3的可能性是把车子给换没了, 而有2/3的可能性是把车子换回来。

            而如果不换,有1/3的可能性是把车子给保住了, 而有2/3的可能性是把车子丢了。所以,还是要换。这样说大家就真得明白了吧?

            嘘,看着说的一脑门子汗,妖道俗人没文化就是不行啊。

            • 家园 这有个前提。

                就是主持人知不知道底细。

                如果不知道,主持人也有三分之一的可能性打开有宝的门。

                一般来说主持人是知道的,所以他打开门时就把三分之一的无宝可能性排除了。

            • 家园 倒.. 妖道要没文化西河一大半都得是文盲了

              我觉得您这里的推演是有问题的 --- “选择了有车的以后,不换的可能是1/2,就

              是说有1/6的可能性是,一开始就选对了,最终不换保住了。”

              您用1/3(三选一的有车概率) * 1/2(换还是不换),得到了1/6。但在统计学上,只

              有当两个事件绝对无关的情况下(mutually exclusive),才可以将两个事件的概率

              相乘。现在您三选一的范围与您在换还是不换之间做决策的范围都是那三个门,所

              以不能相乘啊~

              我前文的解释与山寺兄这贴(http://www.talkcc.org/article/834839) 最末尾的解

              释是一样的,基本上就是:如果您做出某个选择的有车概率是1/3的话,那么您选择

              其反面的有车概率必然是2/3。这一点没有问题吧?

              这个游戏的trick就在于,当主持人打开一个门并示意无车后,您重选 在效果上 就

              等同于 您选择1/3的反面 --- 等于您选择2/3了。(当然,我们全部的推演都基于

              “主持人知道哪个门后有车”这个预设前提。)

              这个问题... 汗... 实在是难以解释... 我对自己的解释也不满意,因为当初给太

              太解释时,一向认为我解说很friendly的她也不满意,最后我们只好亲自动手做实

              验,我当主持人... 做了三十次...

          • 家园 俺好像还是有点迷糊

            三扇门,排除一扇剩了两扇。

            现在如果给你重新选择,应该任何一个都是50%

            用两扇门的50%和三扇的66%比较是不合适的

          • 家园 俺好像还是有点迷糊

            三扇门,排除一扇剩了两扇。

            现在如果给你重新选择,应该任何一个都是50%

            用两扇门的50%和三扇的66%比较是不合适的

      • 家园 不换,中奖概率是1/3, 换了是2/3
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