主题：【笔记】戴狄金分割（Dedekind Cut） -- frnkl

神秘的随机变量（为方便叙述，只讨论一维情形）

随机变量在一般的概率论教材里经常写为X（w）的形式（有时进一步简写为X），与一般函数的写法类似。由于符号使用的关系，初学者往往只关注这层函数映射的关系，而经常疑惑X的随机性怎么表现出来呢？这个其实不难解决。问题的关键是，假设S是w所有可能取的点构成的集合，上帝是在空间S里掷骰子（不是普通骰子啊）；骰子掷出来以后，点w的位置就决定了，然后通过函数X（w），X的值就决定了。

有较真的同学会问，上帝是怎么掷骰子的？OK，谁也不能确切知道。我们只知道w落在S的某些子集的可能性（或者说概率）必须满足某些规律，上帝之掷也不能违反这些规律。大家可以从测度论里找到这些规律的描述。

那么我们经常碰到的实随机变量，又怎么适用上面的解释呢？简单，例如正态变量X，我们只要取S=R（实数集），X（w）=w就可以了。当然，这只是一个可能的解释，S的取法不是唯一的，有很多很多。当只涉及一个随机变量时，上述解释最方便。当涉及两个或多个随机变量时，S只能取一个复杂得多的空间。一般如果有m个随机变量X_1,X_2,...,X_m，可取S为m-维的实空间。如果w=（w_1，w_2,...，w_m)，则取X_1(w)=w_1, X_2(w)=w_2, ..., X_m(w)=w_m即可。不论有多少随机变量，S当然可以取其它抽象的空间；这时X（w）的函数描述就不那么简单了，难得有显式表达。

注：上述S的取法，存在性可以证明。

学微积分的时候，和小学学习除法的感觉很像，就是“凑”。

Recently I had a chance to see the movie Enigma, a romance on top of a security encryption story from World War II. The main mathematician was asked whether he liked math. His answer: “I like numbers, because in numbers the truth and beauty emerge. You find out, you are walking in the right direction when everything becomes nicer. And then the numbers get you closer to the secret matter of all things.” I can hardly imagine better glorification of the Greeks’ ideal of truth, beauty, and elegance. How deeply inside of most of us the feeling that these three belong together has to be, when a sentence like this appears in a romantic movie for nonscientists.