主题：【原创】21点与黑天鹅 -- 淮夷

我最近读的一本有趣的书叫作《The Quants》，2010年新出的财经书籍。“quants”这个词是quantitative traders的简写，指的是用数学和计算机模型进行衍生品交易的投资者。

作者Scott是华尔街日报的记者，在书中他介绍了几位著名的数学怪才是如何扫荡美国金融业并且差点把华尔街搞垮的。

本书的主人公之一是数学家Thorp。Thorp在MIT和加州大学当过数学教授，此公天性顽劣，童年时在家自制化学爆炸品，还在泳池投放红色染料吓跑了一池子客人。成年后的Thorp玩性不改，他的兴趣转向了赌博业。他相信，依靠统计学和概率，配合一定金额的赌资，他可以大胜赌场。

Thorp研究的是一种很流行的赌牌游戏，叫作21点（blackjack）。这个游戏的规则是这样：2到10的牌按面值算点数，花牌（J,Q,K）算10点，A算11点。庄家(dealer)首先发你两张牌，如果你的点数相加达到或很接近21点，你就赢了。点数小可以继续要牌，但是相加不能超过21点，否则算爆牌(bust)，你就输了。

怎样才能打败赌场的庄家呢？Thorp应用了一种统计上的策略，称作card counting（计牌法）。简单来说，计牌法按三类分配分值：小牌（2-6）算1分，中间的（7-9）算0分，大牌（10，J，Q，K，A）算-1分。

每当桌上打出一张牌，Thorp根据它对应的分数，或加1，或减1，或为零。他不停的默记得分，如果累计分是一个大的正数，说明已经打出来的都是小牌。这时候牌池里剩下的大牌多，那么庄家下一张牌很可能出现爆牌，你赢牌的概率变大。

尽管Thorp不知道下一张牌到底是什么，但是统计学的基本定律之一是"the law of large numbers"，这个定律的意思是，当试验的次数增加时，事件发生的概率趋向于一个稳定的平均值。所以，下一张牌开出，Thorp也许会赢也许会输，但是只要他掌握了概率上的稍许优势，根据card counting的得分选择下注，多赌几场下来，最终肯定是赢的。

60年代，数学教授Thorp用他的计牌法在拉斯维加斯玩起了21点，屡战屡胜。赌场老板把Thorp列入重点关照名单，Thorp不得不乔装进入赌场。在电影《21点》中，MIT的几个学生飞到拉斯维加斯，利用类似的计牌法大赢赌场，乃至被赌场管理员追杀，这种险情也发生过Thorp身上。

书中记道，1964年，Thorp在拉斯维加斯一间赌场正在玩，有人递给他一杯咖啡。他喝了几口，然后就晕了。醒来后Thorp发现自己躺在急救室，原来咖啡是下了药的。

Thorp决定从此告别危险的赌城，他把注意力转向了全球最大的赌博事业----华尔街的金融交易。

玩转华尔街和玩转21点并没有实质区别，需要的都是同一种赌博能力：预测未来。如果你利用数学工具比其他投资者更准确的预测出市场波动的概率，你就可以打败市场，这就像你可以利用概率优势打败赌场庄家一样。

那么，股市的未来是可以预测吗？

在Thorp进入金融行业的60年代，经济学界开始流行一种叫做“有效市场假说”的理论，这个理论是芝加哥大学的Fama教授提出来的，他认为市场价格完全反映了所有可获得的信息。这句话有两层涵义：第一，市场的起伏是一种随机漫步现象，没有人可以预知市场的未来。第二，没有人可以持续性地打败市场，获得超额收益。

换言之，Fama告诫投资大众，与其相信分析师的预测，不如相信一只猴子随机抛掷的硬币。不要费力搞什么数学模型了，投资者是跑不赢市场的。

Fama的理论被载入教材，但其有效性一直争议不断。最强有力的质疑来自后世的behavioral finance (行为金融学) 。行为金融学认为，投资者存在情绪上和认知上的偏见，有时过度恐慌，有时信心膨胀，这些非理性行为造成市场的缺陷，某些资产存在持续性的高估或低估的现象。

尽管Thorp没学过behavioral finance，但是凭着一个数学赌徒的直觉，他相信可以构造出一种模型，捕捉这些高估或低估的现象，从而打败市场。

他研究的对象是warrant(认股权证)。认股权证类似期权中的call option，可在未来的某个时间用约定价格买入股票。很多因素比如时间、利率、股价的波动性，都会影响一份权证的真实价值，。

期权估值问题用Black-Scholes公式可以轻松解决，但是回到60年代，该公式还没有诞生，权证如何定价是一个难题。Thorp假设股价的走势是随机漫步的，这种波动现象的概率遵循统计中的正态分布，基于此，他研究出一个数学模型来量化权证定价。

Thorp用他的模型扫描了一下市场上交易的认股权证，他发现，大多数权证被高估了，也就是说，投资者对权证的真实价值存在盲目乐观的情绪。为此，Thorp采取了一个简单的交易模式：卖空被高估的权证，同时买入股票。这样，不论未来股票如何波动，Thorp都有机会赌赢。

他的模式叫做delta hedging，是目前对冲基金的常用策略之一。Thorp随后创办了自己的对冲基金。对冲基金从50年代兴起于美国，在这一行里Thorp算是真正的前辈。书中赋予他的称谓是，the godfather of hedge fund。

受Thorp的启发，很多数学怪才纷纷创办或加入对冲基金，成为交易员，也就是此书标题所说的quants。作者选取了几个著名的quants，把这些人物的成长轶事和各自的数学策略杂糅在一起。比如Citadel基金的创始人Griff, 还有DE Shaw基金的老板（当然，他的名字也叫DE Shaw）。

利用数学和计算机，这些quants研究出各种奇异的模型，进行股票、债券和衍生产品的投机。在某种程度上，quants的工作类似气象员，你也许通过观察卫星云图，也许你通过风湿性关节炎预感天气，也许你只是偷偷养着一只章鱼保罗，总之，不论你的工具是什么，当你每一次告诉大众“明天有雨”而那场雨如期而至的时候，你就是一个成功的预言家。

在此意义上，某些quants的定量模型就像是章鱼保罗，它们只在乎统计学上成功的关联性，而不在乎那些数字后面的经济意义。这样的实践有时候制造出看似巧妙实则脆弱的模型。这种模型就像南宋吴文英的词作，前人评价是“如七宝楼台，眩人眼目，碎拆下来，不成片段”。

我以前的统计学老师是一个韩裔美国人，老头讲过一个很有趣的例子，他说他注意到华尔街日报的标题似乎和第二天的股市起落有很好的相关性。于是他做了一个实验。他找了一些学生帮他翻阅过去十年的华尔街日报，将每一天报纸标题的关键字找到，按时间序列摘录下来。根据这些历史数据，他建立了一个统计模型。

这个实验的原理是这样：如果报纸标题对股市给予了正面的信号（例如标题中出现rally，rise，或up这种单词），分配一个数值比如1，如果是负面的信号（例如decline, fall,或down这种单词），分配一个数值比如-1，如果是中性的报道，分配0。把报纸标题数量化之后，再和次日真实的市场数据建立一个回归，老头据此可以得出一个统计模型。

这个模型的好处是，你读了今天的华尔街日报，可以用报纸标题来预测第二天的行情。假如模型很可靠，那么人们也许可以用买一份报纸的代价获得巨额回报。

标题党老师很满意他的标题模型，但是我对这种data mining的游戏始终在心里打一个问号。这种游戏的极端例子是用月亮的阴晴圆缺去预测市场，当截取某一段历史数据时，二者之间似乎存在很高的相关系数，这种看起来很强的模型也许能重现历史，却几乎不能很好的预测未来。

事实上，复杂的quants模型完全不能帮助对冲基金避免一次又一次的“黑天鹅事件”。不管是1987年的黑色星期一，还是让天才倒下的长期资本管理公司(LTCM)，抑或2007年次贷危机的黑色8月，每当黑天鹅从天而降，高杠杆的对冲基金被迫倾销各种资产换取流动性。面对这种系统性的风险，华尔街的数学家们无一幸免。

其实早在60年代，黑天鹅的警钟就被数学家Mandelbrot敲响了。Mandelbrot认为市场的波动（比如棉花价格）并不是严格的"随机漫步"，而更像是"莱维飞行"（Levy flight）。

莱维飞行出现于动物的觅食行为，比如鲨鱼。它们先小范围随机漫步一番，一旦发现此地无食，便突然加速转移到另一区域，重新开始随机漫步。这种策略可以让动物最有效的探索到食物。

如果一个市场的价格波动是遵循莱维飞行的，那么大部分时间，这个市场看起来像是随机漫步，但是偶然也会出现跃迁，这种跃迁即所谓的小概率事件，或曰黑天鹅事件。反映在股市上，就是一次次的无法预料却影响巨大的崩盘。

Mandelbrot给予这样的市场波动一个新的概率分布，叫做fat tail。fat tail反映的是莱维飞行，而正态分布反映的是随机漫步。顾名思义，fat tail比正态分布的尾部曲线更加肥了（概率更大），这意味着，极端事件的出现并没有那么人们想象的那么遥不可及。

反观quants扬名市场的那些模型，不论是Thorp早年的权证定价，抑或是后来得了诺奖的Black-Scholes公式，再或是著名的风险控制模型VaR，都以市场波动的正态分布作为假设，而对黑天鹅选择了视而不见。次贷黑色8月之后，quants人士下一次搞垮华尔街几乎也是必然会发生的，尽管我不知道何时。

黑天鹅就在我们的身边。这是Quants一书结尾给予读者的信息。这不算什么新颖的思想，但是时常提醒一下自己，不是坏事。是故，睡觉之前不妨默念六字真言：核武随时开打。

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