主题：我们都是机器人 -- 给我打钱87405
最近读了一本书，《人是如何学习的》。这本书实际上是美国教委的一个研究项目的总结报告，该研究项目会同了几位心理学家、人类学、教育学……等等一大串XX家，共同对人类学习的科学知识基础及其在教育中的应用进行评估。尽管书中提到的许多观点及方法和我闭门造车出来的东西有不谋而合之处，但我仍然怀疑书中的一些结论是否靠得住。这其中我最为怀疑的是，所谓的启发式教学和中国流行的填鸭灌输式教学真的有质的不同吗？
为了把我的困惑说得更清楚，我想有必要先对一些名词下个定义：所谓知识（学习阶段），乃是为大多数人所接受的关于事物的定义，比如数学中定义了数，定义了运算法则等等；所谓方法，就是指从“已学的知识和技能中提取所需要的部分来解决问题”之路径；所谓技能，就是基于已学知识和技能，运用最佳方法来解决一类问题的能力。显然，在我的这个定义中，技能是知识和方法的结晶。
那么，我的困惑到底是什么呢？回到第四章中的那个教学流程，我后来发现，要想寻找到20*3分解成2*3*10这个路径，对于小学生来说是一件极其困难的事，我的意思是说，这需要对十进位制有深入的理解，同时还需要很强的洞察力，才能“凭空”想出来把几十分成十组之后再做运算（这是非常巧妙的构思，分和合都非常简易）。实际上，对于大多数学生而言，这一技能的习得，仍然是一种灌输的结果，尽管表面上看起来很像是启发式教学。
这并不是一个孤证。鸡兔同笼问题想必接触过奥数的人都不陌生，但如果给这些人提一个问题：17枚硬币共计1元，请问需要几种面值的硬币，各多少枚？许多人（我的测试对象为成年人）就答不上来了。这两个问题实际上是一个类型的问题，但为什么许多人学会了鸡兔同笼却不会分硬币呢？
这让我想起了笛卡尔的话，“方法完全在于对我们必须加以注意的事物给以适当的整理、分类，使之条理化。”可见，方法有多么的难学！我甚至开始怀疑，方法是无法教的。依我所见，一个人，只有当他对事物的本质有深刻的理解，并具有深远的洞察力和丰富的想象力，才能真正找到方法，在此之外，恐怕只剩下了模仿。
同时，还有一些方法也是无法真正教会的（能学会靠的是悟性），比如对勾股定理的许多证法，是典型的先有结果，再逆推出来的方法；还有许多结论，起初是偶然间发现现象，尔后经由归纳得出推论，最后再予以严谨的证明成为定理，好比上百年过去了，还是有许多人对天空划过的彗星和树上掉下的苹果熟视无睹；更有一些事情是我们现在无论如何也想不通的，如在我看来属于神级发明的弓箭——古人究竟是如何掌握这种蓄能方法的呢？
就此，我不得不重新去思考，既然方法是教不会的，而技能是可以记得住的，启发式教学真的有那么神奇吗？灌输式教学真的有那么低效吗？我们又如何才能摆脱机器人的宿命呢？
（很抱歉，我没有找到答案）
由“面是线的集合”推导出正方形和圆的面积
问题是：这样的推导意义有多大？
如果不纠缠于字面定义，我一般是这么理解的：
知识：人类对客观现象的主观理解。其主要载体是语言。
技能：现实中完成某种动作取得特定成果的能力。
方法：如何取得特定成果的知识。
我们拿“游泳”这个事情来打个比方。从游泳这个词，到与游泳的动作联系起来，到游泳的姿势，等等，这些都是知识的范畴。而方法，指的是游泳时手如何摆动，如何呼吸等，而技能，则是在现实中经过对方法的实践而达到预定成果的能力。
方法和技能的转换不是单项的。其实很多时候，方法是在技能的基础上总结出来了。
大致这样。表达得不是很好。汗
本质上还是模仿，但是在一个更高层次上的模仿。人的大脑天生具备打比方的能力，学习的越多，见多识广，这个能力越强。
归纳总结的能力也是模仿别人归纳总结的现象而学会的。
灌输还是启发都不重要，关键是跟对师傅。老师与年幼时身边的mentor很重要。
动物都有这个能力，植物有没有不清楚。
见多识广的确是个路径——学习的方法，所以我现在也开始反思，我之前反对灌输式教学是不是太过于偏激了。但是量变到底是如何形成质变的，这个机制现在还不清楚。
编号老兄,你写的这个帖子实在是太好太好了。我也一直在思考同样的问题。在这里我尝试着给出我自己的答案。
请您不吝赐教，谁是谁非不重要，我很希望越辩越明，咱们都是要教育孩子的人:)
启发式教学的极致就是，完全依赖孩子独立思考和理解。
怎么培养孩子独立理解的习惯呢？
其实波利亚在《如何解题》中已经给出了答案。波利亚整理了一系列的问题，告诉教师应该如何启发学生。
他通过反复举例，告诉教师什么是好问题，什么是坏问题。一个典型的坏问题是：“你要不要尝试一下勾股定理？”
孩子正在看这个问题呢，他对这个问题还什么概念都没有呢。说不定连图形中的直角都没有发现，你告诉他用勾股定理？！
你这和告诉他答案有什么区别？难道你要他以后做题的时候，不管题目是什么，都问自己这个问题：“我要不要尝试勾股定理？”
所以，波利亚提出的解决方案是，总结一系列通用的问题，孩子可以学会自己问自己这些问题，从而启发思考。
具体到您这个例子，假设您的孩子已经知道乘法是加法的简便运算，并背过乘法表。现在要教他怎么做多位数乘法。首先您先教孩子书上的标准做法。然后进行类似于下面的对话过程：
您：“你能理解这个运算吗？”
孩子：“不能”。
您：“你相信这个方法吗？”
孩子：“我不相信。我觉得这个方法怪怪的。”
您：“你做过类似的事情吗？”
孩子：“恩，我做过。我背过乘法表。”
您：“那我们新学的方法和乘法表有什么关系？”
孩子：“乘法表只有一位数字，这里有多位数字。”
您：“你能用乘法表来证明新方法的正确性吗？“
孩子会算一位数乘法，然后兴奋的抬头看着你：”我觉得新方法是正确的。我做的每一次计算中，乘法表和新方法都一样。“
这时候，孩子对新方法产生一点信心了，也有更强的动力去理解新方法了。
您：“太好了，我们有了一点进步。我们能不能用更复杂一点的例子来感觉一下乘法？“
孩子：”刚才我算得都是个位数。现在我算个复杂一点的，两位数好了。12*9 =108。嗯，我能算出来，但是不知道它对不对啊。“
您：”我们能不能简化一下，这样你就可以验证了？“
孩子：”哈哈，我知道了。12*3= 36。你能给我一些珠子吗，我想看看12 + 12 + 12是不是等于36。“
孩子：”啊哈，真的等于36。我喜欢新方法。“
到了这一步，孩子基本上有动力记住新方法了。但是他还没有理解新方法的本质。
同时，孩子有了一个新的进展，他把枯燥的算式变成了眼前的珠子。
所以你可以开始问：”咱们不管新方法，你能不能自己用乘法表来计算12*2?“
孩子：”我不知道怎么做。“
您：”为什么你不知道怎么做？“
孩子：”因为乘法表里都是个位数啊，我这里有一个两位数呢。“
您：”看着你眼前的珠子，你能找到一个个位数吗？“
孩子：”啊哈，我知道了。你看这里有12个珠子。但是我可以把他们分成两堆，一堆6个。这样，我就可以用6*3=18。然后18+18=36。“
孩子：“但是我鄙视这种新方法，我要做两次乘法一次加法。原来我只要做两次加法呢。“
您：”你能找到一个例子，用这种新方法比老方法要快吗？“
孩子：”让我想想。嗯，18*9怎么样？新方法的算法是9*9 + 9*9，还是两次乘法一次加法。但是只用加法需要8次呢。我非常非常喜欢新方法！“
您：”恭喜你！太了不起了。你的新方法和书上的方法有关系吗？“
孩子：”太棒了。我现在看懂了，书上的方法实际上是一种特殊的分堆法。把18分成10+8。这太简单了！“
这段令人兴奋的对话可以继续下去。我会倾向于把孩子引向应用，让孩子在生活中找到一些大数乘法，算个17582*3421之类的例子，让孩子感受到新方法的无穷威力。
我的基本观点是：增进理解的教学就是启发式教学。同样一样知识，我们可以简单的记住，这就是填鸭，也可以尽量把掌握更多的理解角度，这就是启发。最极端的启发式教学法如第一节所示范的，你基本上什么都不说，完全靠孩子自己想。但是，我认为提供了多角度理解的教学都可以算作启发式教学。
为什么要启发式教学？主要有两个原因。这两个原因都归结到同一个结果，就是效率。
第一个原因就是理解了的东西比较好记忆。
另一个原因更重要。因为任何一样知识都是广泛联系的。这个世界上从来没有孤立的知识。你辛辛苦苦的学会了一样知识，你就会解决一个问题，你亏不亏啊？再往前走一小步，花一点点时间，再多一点理解，你就能拥有整个世界。如果你就停在这里，你说亏不亏？
这一点河里的庄汀2在《理解式学习和题海式学习》http://www.talkcc.com/article/3887048一文中讲的极好。完全就是线性与指数的区别。
您举的例子很好。
鸡兔同笼问题想必接触过奥数的人都不陌生，但如果给这些人提一个问题：17枚硬币共计1元，请问需要几种面值的硬币，各多少枚？许多人（我的测试对象为成年人）就答不上来了。这两个问题实际上是一个类型的问题，但为什么许多人学会了鸡兔同笼却不会分硬币呢？
如果你不理解，那你就只会解鸡兔同笼问题。为什么呢？因为这项知识在你脑子里的印象太乱了，混合了鸡呀、兔子呀。一碰到硬币问题，你压根不会意识到它和鸡兔同笼有什么关系。这是人脑的工作原理决定的。但是，如果老师教鸡兔同笼问题的时候，用启发式的方法，把这个问题的本质掰开来讲清楚。也许成人就学会了解决硬币问题甚至其它问题的方法。这是不是很划算？
再更进一步，鸡兔同笼问题背后其实藏着的是整个线性代数的体系，如果一个老师有这种高度，学习的效率简直飞快。
所以，您不需要怀疑下面的方法到底是启发式还是灌输式。您越是帮助孩子理解，孩子学到的东西就越有价值。
我的意思是说，这需要对十进位制有深入的理解，同时还需要很强的洞察力，才能“凭空”想出来把几十分成十组之后再做运算（这是非常巧妙的构思，分和合都非常简易）。实际上，对于大多数学生而言，这一技能的习得，仍然是一种灌输的结果，尽管表面上看起来很像是启发式教学
同样都是启发式学习，也有高效和低效的区分。您自己也感到困惑，我当然可以教我的孩子如何由“面是线的集合”推导出正方形和圆的面积，可是这有什么用呢？
说的好，同样一个知识点，就说正方形和圆的面积公式，有很多种理解方法。您自己想出来的理解方法在未来的工作和生活中多半是用不上的。这样效率是不是太低了。
那么，怎么提高效率呢？其实我在第一节中已经举了一个例子。沿着鸡兔同笼问题往后走是线性代数。鸡兔同笼问题自身对生活没什么用。线性代数单独学起来也很枯燥。但是把两个东西串起来，线性代数是鸡兔同笼
的本质，鸡兔同笼是线性代数的例子。我们对两项知识的理解都加深了。
这个例子背后的原理，厚积薄发老兄在河里已经发过很多文章。这里我引用几段话：
这是一个很好诠释数学家们口耳相传的一个常识的例子：“一开始，我们只是发现了一个技巧；然后技巧演化成了一个方法；最终方法变成了一个理论”。
中国现在科学教育的一个弊端，是把科学放到了一个“术”的层次上来讲解，也就是作为一种聪明人才能玩的“奇技淫巧”，把科学看作一个个 trick 的集合，似乎那些科学问题的解决方案，都是聪明人凭空想出来的。
这种“得其形而不得其神”的做法，具体就体现在大学高等数学的教学，例如数学物理方法的教学，满足于各种解题方法和技巧的罗列，而忽视用一些基本的数学思想加以简化统一的重要性。又比如中国现在流行的奥
赛培训，就是集中向学生灌输一些技巧，学生只需要把这些技巧学会、用熟，就能在奥赛里取得高分。
依此道理，《吉米多维奇》固然能帮助学生巩固知识，但是过于重视它的作用，就是只学到了老毛子做学问的皮毛。关键是要在基础已经巩固的情况下，及时地学习更为高级的理论，用更高级的理论来简化我们对技巧
的理解。举一个例子作为说明。
所以，反正我们要理解式学习。怎么保证我们的理解在未来生活和工作中能用上？最简单的方法就是走前人走过的路。一门学科可以帮助理解另一门学科，每一门学科都是另一门学科的应用。
在以上讨论过程中，我们顺便得到了一个有趣的小结论。就是今天的奥赛训练，培养的就是典型的无用的理解。奥赛培养的技巧对你的未来没有帮助。
在第三节中，我已经介绍了怎么进行高效的理解。我甚至还小小的鄙视了一下奥赛。
但是，在这一节中，我要反其道而行之，谈谈为什么奥赛天才往往挺成功，而且思维方法又有可观之处。这是因为，奥赛训练了这些人独立思考的习惯,这和我在第一节中想要表达的含义是一样的.
人必须用自己的脑子思考问题。在第三节中，我介绍的方法会带来极高的学习效率。但是它有两个缺陷：
a. 知识有用，但不如方法和习惯有用。人生很复杂，你从小相当医生，长大了突然发现自己的人生理想是艺术家。这过去几十年的知识至少废了一半。
b. 生活不是做题。你总要面对一些问题，这些问题是没有成型的知识可以套用的。
这就是为什么，人需要尝试低效的、独立的理解。就是靠自己的苦苦思索,把眼前的新知识、新现象与自己过去的知识与体验建立联系。
比如您说的十进制的例子，或者由“面是线的集合”推导出正方形和圆的面积的例子。如果这些理解，都是孩子自己想出来的，恭喜您，您的孩子在学习方法和学习习惯上又有了一次宝贵的体验。
您自己也说
“方法完全在于对我们必须加以注意的事物给以适当的整理、分类，使之条理化。”可见，方法有多么的难学！我甚至开始怀疑，方法是无法教的。依我所见，一个人，只有当他对事物的本质有深刻的理解，并具有深远的洞察力和丰富的想象力，才能真正找到方法，在此之外，恐怕只剩下了模仿。
怎么培养孩子的这种整理、条理化的习惯？就是让孩子什么事情都自己去理解。经常整理，经常想想事情，孩子在这个过程中会收获百折不挠的习惯，获得理解的快乐，同时发展一套理解事物的感觉和自己独特的看待事物的方法。
与此同时，你永远不知道哪片云彩会下雨。真正的创新，都来自于这种看似没有方向、个人化的理解与追求。在理解的过程中，没有任何事物可以指导你，唯一指导你的方向就是：我要用我自己独特的方式，理解它。我知道我能成功,因为我过去成功过无数次.
这里有两个例子，都来自《费曼的彩虹》这本书。费曼是诺贝尔物理学奖获得者。他有一段时间陷入研究的低潮期，想要做点正经的事情，但是不知道做什么好。后来他决定做自己想做的任何事情。有一次他在餐厅里看见服务员扔盘子。他惊讶的发现盘子的运动服从某些特殊的规律，于是他就做了一些计算，得出了一些漂亮的定理。这些定理在当时没有任何意义，但是却令人惊讶的导出了他最重要的一项工作。
费曼相信，你在大学时写出的有趣但没有任何意义的论文，你和别人扯淡的无聊话题，都构成了你独特的心灵和对世界的理解。所谓创造力，就是你与众不同的人生和你对这人生的思索。当你做出一个工作的时候，别人总会惊讶的问，你是怎么想到的？你可以笑着告诉他，因为我的人生和你不同。我总在思考，总把这些思考放在心里，这个问题，恰巧我知道怎么解决。
其实，独立思考的习惯，根本就不是为了成功或者别的什么东西。从成功的角度说，我思考了100个问题，也许只有一个能派上用场。可我并不觉得遗憾。我小心的收藏每一点成果，它们是没有人能看到的珍宝，是我心底的小美好。当我理解了一项知识或者一项现象时，那种感觉只能称为美好，有兴奋、有温馨，还有紧张工作后的放松,就像看见悠悠白云。在我想到它们的那一刻，我就已经得到了回报，是它们让我成为今天的我。
想必您能看出来，我现在充满了矛盾，尽管我也能意识到这根源来自是要当人还是要当机器，即理想与现实的对立，但时常深陷其中，不能自拔——为了当人而把自己变成了机器，“凝望深渊太久，深渊也会凝望你”。在这个时候，像您这样的回帖，对我有拨乱反正的功效。
另外解释一下贴中的一个观点（思想混乱，文字也跟着乱了）：我在后面所说的启发和灌输之别，其实二者并没有本质的区别，我所指的别，实际上指方法和技能的区别。启发式教学是对强行灌输的一种改良，主要表现为易懂易学，但是不是真的能理解，这还有待讨论。我隐隐中感觉，方法的习得，是非要走量变到质变这条路不可的，而量变究竟是如何质变的，现在用得最多的词是悟性，这多少透露出无奈之情，而我又不愿意屈服于这无奈，自然就生出了很多纠结。
我的基本观点就是:悟性没什么神秘的.
为什么一个人比另一个人看起来更聪明?纯粹就是因为脑子里的材料更多。
1. 知识更多。比如解决鸡兔同笼的问题。你过去做过，解起来就很快。不管你过去是自己想做还是别人灌的，都行。
2. 理解更多。比如解硬币问题。你过去做过鸡兔同笼，然后还理解了鸡兔同笼的本质。不管这个本质是别人灌给你的还是你自己想到的，都行。
3. 独立思考的习惯更多。比如费曼面临的量子力学问题。你可以有知识可以有理解，可是这个问题太难太难了，以至于你最后能够依赖的只有你独立思考的能力，你对解决问题的信心，和一些抽象的我甚至说不出来的能力，这些能力来自于你过去无数次独立思考的经验。
为什么我们主张启发式教学。因为启发式教学能够快速、快乐的帮助孩子获得前两类材料（线性和指数的区别），同时还鼓励孩子时时刻刻随时随地的获得前两类材料（一分耕耘一分收获）。最后也是唯一获得最后一类材料的唯一方法。
当然，对于某些类型的知识，启发式真的很难。你想想，过去是天才发明的这个概念，我们今天怎么能指望那么简单的自己想到呢。
所以，首先不要对自己要求太高。我的第二节和第三节就是为你写的，你的乘法和面积的例子已经是第一层次的启发式了。你说这些例子是灌输也行，是一种更加聪明的灌输。
其次，我想说更极端的启发式是可以做到的。如我的第一节和第四节。我相信这种方法已经彻底的摆脱了灌输，也更接近您把人培养成人而不是机器人的理想。
只要我们不断地在追求，就能找到更好的教育方法。人永远不是机器，我相信绝大部分知识都可以用各种层次的启发式方法传授。对于那个十进制乘法的例子，我一开始都不打算用极端启发式方法来传授，因为我觉得自己都没有信心。但是我写着写着就发现，简直是水到渠成的事情，太容易了。
所以，永远不要放弃信心！
有一个观点，是我多年以来一直坚持的，那就是个体与整体之间有着不可调和的矛盾，当然，正因为有这样的矛盾才推动了整体向前进。就学习而言，每个人对学习的方法和态度观点是不一致的，好比有人认为，人类早就知道了周长相等时，圆的面积最大，为什么还要花那么多精力用理论去证明它呢？但另一部分人认为，数学之所以被发明，就是因为人渴望能够完整的描述世界，形成客观与主观的统一，数学中的任何一点瑕疵和漏洞，都是不可容忍，难以接受的。实际上，纵观数学或者说任何一门学科的历史发展，有很大一部分动力来自于自我完善，并且非常苛刻。由于有着这样的不同，人们在考察学习方法的优劣时，就难以形成统一的评定标准，以最简单的例子来说，一个学生的学习效果，考察周期到底多长才算合理？
尽管如此，我还是打算把我的一些“结论”当作砖抛出来，希望能引出更多的玉。
一、（原点）知识是需要强塞的，比如汉字的基本笔画，横竖撇捺，没道理可讲，讲也是白讲。技能的传授也多为灌输（或者说不可强求孩子理解），但要注意方式方法，也就是生动、易懂。而方法，需要量的积累，原始积累不够很难出现质变。但是不是有量就一定会出现质变呢？答案是不确定的。所谓的开窍，以人类目前的认知来说，多少有些可遇不可求。可是用求生存的观点来看，有量总比没量好，有余粮可吃，也是一种活法。
二、家庭教育的优势是可以根据孩子的具体情况来及时调整，比如我给孩子讲乘法时，我发现孩子在后来的练习中把分类的方法用错了。最初我有些郁闷，后来想明白，孩子已经知道了把不能解的大问题切割成若干个能解的小问题来解决，而这正是我想要的结果。课堂教育的优势是互动性强，一个问题有多种解决方案，大课堂的学生多，更容易做到“全面覆盖”（当然，中国目前的课堂现状不容乐观）。二者是很好的互补，强调其中一个，而忽略另一个，恐怕都不是好主意。
三、人的能力当中，和方法的习得有关的，我以为，其中非常重要的两条是：分类和对比；知识的迁移。分类和对比是人与生俱来的能力，但随着年龄的增长，接受信息的增多，对分类和对比能力就提出了更高的要求，而分类和对比能力越高的人，就越容易通过现象看到本质，而抓到了本质，就抓住了解决问题的关键。知识的迁移同样是一项重要能力，每个人的天赋不同，同一条路，有的人走得很轻松，有的人却走得很艰难，但换一条路，情况可能刚好相反，因此，如果具备很强的知识迁移能力，那么就可以选择一条路当中最好走的部分，达到一定层次后换到另一条路，从而避开不利的段落。举例而言，我们经常会发现有些人深研某个学科之后，对于哲学也居然能够无师自通。当然，如果有科学的方法，能够给每个人指明适合他的知识迁移路径，那么人类的学习效率一定会得到一个很大的提高。因此，这两个能力是我特别看中的能力，需要给予“政策性倾斜”。
还需要补充一条，我以为中国的学生需要恶补的是社会实践，在实践中发现问题和解决问题的能力，譬如最经典的锻炼方法：撰写调查报告（窃以为从三年级就可以开始着手锻炼了）。
有奇效，但不可多服