主题：阿波罗尼奥斯问题-Prob. of Apollonius -- 理性网民

令给定点A、B的坐标分别为(xA, yA)、(xB, yB)，给定圆圆心C的坐标为(xC, yC)，半径为rC。假设所求圆圆心为(x, y)，半径为r。那么PPC问题等价于求解如下非线性方程组。其中xA、yA、xB、yB、xC、yC、rC为已知量，x、y、r为未知量。

方程组（5.1）的第一式要求点A在所求圆上。第二式要求点B在所求圆上。第三式要求圆C与所求圆相切。由于两个圆可以外切也可以内切，第三式右侧可以取正号也可以取负号。

为了求解方程组（5.1），用第一式减去第二式。考虑到第三式的正负号问题，令r可以取正值也可以取负值。这样可以得到如下等价方程组

方程组（5.2）的第二式要求所求圆圆心在线段AB的中垂线上。第三式要求所求圆圆心位于与线段AC垂直的某条直线上。

方程组（5.2）的后两式可将x和y表示成为r的函数。将r当作已知，行列式det(A)可以用于判断方程是否有解。

当det(A)为零时，A、B、C三点共线。为使方程组有解，方程组后两式的系数必须成比例。相应的r值为

得到r值以后，x和y值可以根据方程组（5.2）的后两式求出。

当det(A)不为零时，令

x和y可以表示成为r的函数。

其中E点(xE, yE)在线段AB的中垂线上，(kx, ky)为与线段AB垂直的向量。向量(kx, ky)的长度为

其中h为圆心C到AB所在直线的距离。将式（5.6）代入方程组（5.2）的第一式，可以得到r需要满足的方程，其可以变换成如下一元二次方程形式。

当h = rC时，AB所在直线与圆C相切，式（2.9）二次项系数为零，r有一个实数解。当h ≠ rC时，式（5.8）判别式为

r的解的个数取决于Δ/4的大小。将式（5.6）xE、yE的表达式代入式（5.9）中，可以看出Δ/4为关于rC2的二次函数。该二次函数二次项（关于rC2的二次项，即rC4）系数为正，当rC2 = 0时取值为正。可以证明，当rC等于|AC|或者|BC|时，Δ/4 = 0。因此，当点A、B位于圆C同侧时，Δ > 0，r有两个相异的实数解；当点A、B中某点位于圆C上时，Δ = 0，r有一个实数解；当点A、B位于圆C异侧时，Δ < 0，r无实数解。得到r值以后，x和y值可以根据方程组（5.6）求出。

式（5.6）中引入的E点满足如下方程组

其中dEA表示线段EA的长度。式（5.10）中第一式分别与第二式和第三式相加，可以得到如下等价方程组。

这意味着E与点A、B等距离，且该距离等于E点到圆C的切线长度。当rC等于|AC|时，过A点做圆C的切线，该切线与AB的中垂线相交于E′点。E′到A、B两点的距离相等，且等于E′到圆C切点的长度。故E′点与E点重合。此时h/rC = sinCAB = cosEAB = sinAED = |DA|/|EA|。代入到式（5.9）中可以得到Δ/4 = 0。类似可以证明，当rC等于|BC|时，Δ/4 = 0。

当A、B两点的连线a与所做直线b相交于O点，在圆C上有两点与O点距离满足等式|OS|2 = |OA|×|OB|。这两点对应于问题的两个解。当a与b平行时，圆C的圆心与切点S都在线段AB的中垂线上。此时问题同样有两个解。当A、B中有一点位于圆C上时，过此点及圆C圆心做直线。如AB不与圆C相切，则所求圆圆心位于该直线与AB中垂线交点上。此时问题只有一个解。当A、B中有一点位于圆C上时且AB与圆C相切，或者A、B两点位于圆C异侧时，PPL问题无解。当A、B两点位于圆C上，唯一满足条件的圆为圆C本身。

解的数目总结如下。

1. A、B两点同时位于圆C内侧或者外侧：两个解；
2. A、B两点中有一点位于圆C上且AB不与圆C相切：一个解；
3. A、B两点中有一点位于圆C上且AB与圆C相切，或者A、B两点位于圆C上，或者A、B两点位于圆C异侧：无解。

令给定点A的坐标为(xA, yA)，给定圆圆心B、C的坐标分别为(xB, yB)、(xC, yC)，半径分别为rB、rC。假设所求圆圆心为(x, y)，半径为r。那么PCC问题等价于求解如下非线性方程组。其中xA、yA、xB、yB、xC、yC、rB、rC为已知量，x、y、r为未知量。

方程组（6.1）的第一式要求点A在所求圆上。第二式要求圆B与所求圆相切。第三式要求圆C与所求圆相切。由于两个圆可以外切也可以内切，第二式、第三式右侧可以取正号也可以取负号。

为了求解方程组（6.1），用第一式减去第二式，且用第一式减去第三式。考虑到第二式、第三式的正负号问题，令r可以取正值也可以取负值。这样可以得到如下等价方程组

方程组（6.2）的第二式要求所求圆圆心位于与线段AB垂直的某条直线上。第三式要求所求圆圆心位于与线段AC垂直的某条直线上。

方程组（6.2）的后两式可将x和y表示成为r的函数。将r当作已知，行列式det(A)可以用于判断方程是否有解。

当det(A)为零时，A、B、C三点共线。为使方程组有解，方程组（6.2）后两式的系数必须成比例。定义

相应的r值为

得到r值以后，x和y值可以根据方程组（6.2）的前两式求出。考虑到rB、rC的大小，当det(A)为零时，PCC问题可以有四个解、三个解、或者两个解。

当det(A)不为零时，令

x和y可以表示成为r的函数。

其中E点(xE, yE)满足如下方程

其中dAB为A、B两点的距离，而dAC为A、C两点之间的距离。向量(kx, ky)满足如下方程

将式（6.7）代入方程组（6.2）的第一式，可以得到r需要满足的方程，其可以变换成如下一元二次方程形式。

当点A在圆B与圆C的公切线上时，式（6.10）二次项系数为零（见【补充】），r有一个实数解。当点A不在圆B与圆C的公切线上时，式（6.10）判别式为

r的解的个数取决于Δ/4的符号。可以证明（见【补充】）式（6.11）判别式Δ的符号与Λ的符号相同，且

根据A点与圆B的相对位置，A点与圆C的相对位置，圆B与圆C的相对位置，r可以有两个解、一个解、或者没有解。考虑到rC的正负号的取法，PCC问题可以有四个解、三个解、两个解、一个解、或者没有解。

式（6.8）可以改写成为如下向量形式，并可以将其解表示成

其中字母上的箭头表示连接两点的向量，而lAB、lAC分别表示与向量AC、向量AB垂直的向量，且满足如下关系

式（6.13）可以通过将等式两边同时与向量AB、向量AC做点积来验证。进一步可以验证

其中ϕ = BAC为向量AC、向量AB的夹角。

类似的，式（6.9）可以改写成为如下向量形式。其中，向量k沿x轴与y轴的分量即为kx、ky。

kx与ky的平方和即为向量k长度的平方。利用（6.15）式，可以得到

式（6.17）可以用来判断式（6.10）中二次项的系数。定义θB = rB/dAB、θC = rC/dAC，分别表示圆B、圆C相对于点A的半视角。当ϕ = θB ∓ θC时

ϕ = θB ∓ θC意味着当从点A观察圆B、圆C时，两圆圆心的视距离等于两圆的半视角之和或之差。也就是说，可以找到一条经过点A的直线与圆B、圆C相切。这意味着点A在圆B与圆C的公切线上。

为了证明式（6.11）与式（6.12）等价，注意到式（6.11）中方括号内的项即为向量AE与向量k的叉积的模。为了将叉积的模转化为点积，令与向量AE垂直的向量为

式（6.11）可以转化为

这样Δ与如下定义的Λ同号，且

令给定圆圆心A、B、C的坐标分别为(xA, yA)、(xB, yB)、(xC, yC)，半径分别为rA、rB、rC。假设所求圆圆心为(x, y)，半径为r。那么CCC问题等价于求解如下非线性方程组。其中xA、yA、xB、yB、xC、yC、rA、rB、rC为已知量，x、y、r为未知量。

方程组（7.1）的第一式、第二式、第三式分别要求圆A、圆B、圆C与所求圆相切。由于两个圆可以外切也可以内切，等式右侧可以取正号也可以取负号。

令r可取正值也可取负值，可以消去第一式右侧的正负号。再引入新变量r′ = r + rA，方程组（7.1）等价于如下方程组。

方程组（7.2）用于求解某圆，其圆心与PCC问题所求圆相同，但是半径不同。第一式表示该圆经过圆A的圆心。第二式表示该圆与圆心在B点、半径为rB ± rA的圆相切。第三式表示该圆与圆心在C点、半径为rC ± rA的圆相切。这意味着CCC问题可以通过转换为PCC问题求解。