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阿罗不可能定理与中国

社会选择理论在上个世纪六、七十年代曾经是一门显学，森曾这样描述经济学期刊编辑所面临的处境：社会选择论文如雪片般飞来，将他们淹没。这种盛况对于中国学术界来说，就像是神话。耳目所及，除了几篇介绍阿罗不可能定理和阿马蒂亚•森的介绍性文章，在中文文献中基本看不到正儿八经研究社会选择的论文，甚至介绍森也更多倾向于他对贫困和发展的观点，少有研究其形式理论上的贡献。中国学术界有个风气，一有个什么热，文章便几十万篇地涌出来，大量转抄，弄不清谁是始作俑者，颇有些民歌创作的味道。相形之下，社会选择所遭受这种待遇，简直称得上是“被封杀”了。我只记得北大学报上曾发表过黄有光的一篇论文，就跟置身荒漠一般，没有人去理他。

这让我有些愤愤不平。以两名耳熟能详的诺贝尔奖得主作为标杆，尚且无法打动中国人，这只能怪中国人对形式理论太冷漠了些。我也不敏，希望能够为社会选择理论作些事情，引发一些人的兴趣。这里，不妨捡地球人都知道的阿罗不可能定理说事。

一、阿罗不可能定理概述

社会选择的基本问题是如何将众多社会成员的偏好转化成一个合理的社会偏好，也就是根据个人偏好来做出集体决策的问题。阿罗设想了这样一个讨论路径：找到一个集体决策的规则，它能够最大程度上为人们所接受。为人们所接受就意味着这种决策规则会满足一些条件，阿罗设想了他认为比较温和应该要做到的四个条件：集体理性，帕累托最优，非独裁，无关备选方案的独立性。

所谓集体理性，意味着在社会偏好中，诸被选择方案可以排序，从而可以选出最优方案，这就是说不存在着循环排序的结果。帕累托最优指的其结果的福利性质，指的是无法再改进的福利状况。非独裁的意思一看就知，它的严谨表述是：对任意社会状态的集合S，不存在这样一个个体i，他对该集合具有决定性。前面三个条件，都不难理解。

有必要对无关备选方案的独立性（independence of irrelevant alternatives）多说两句。阿罗曾直接以选择函数的形式将它定义为，如果个人对集合S的偏好仍然不变，那么从集合S的选择集合 也仍然不变（Arrow, 1951）。个体对无关备选方案的偏好改变不应影响对集合S的选择，从任何备选方案集体中的选择将只依赖于个人在那个集体合中对不同方案的偏好顺序。这看上去似乎有些费解，用一个例子就不难说明。选择者如果在集体（a, b, c）中选择a，那么他应该在集合（a, b）中选择a.。如果你在读书，工作，闲暇中选择读书，那么在读书和工作中你也应该选择读书，否则就违背了这一条件，这也意味着选择者是非理性的。

无关备选方案的独立性的要求算不上太严格，但是森曾证明，至少在某些情况下，人们完全有可能违反这一条件，而且我们不能说这种违反是非理性的。比如你去作客，有把椅子你很想去坐，但是若由你自由选择，你不去选择那把椅子，如果是由主人安排，你从心眼里希望他安排那把椅子给你。这里，选择结果受到选择者的影响。当饭后吃水果的时候，当果篮转到你手上的时候，里面只有一颗桃子，两颗苹果。虽然你从心里很想吃桃子，可是你还是选择了苹果。如果它里面有两颗桃子和两颗苹果，你早就取走桃子了。在这里，选择结果受到菜单的影响。森分别将这两种情形称之为是偏好的选择者依赖性和菜单依赖性。

不管怎么说，虽然也有诸多理论家像森一样，喜欢质疑阿罗所选择的四个条件，但总体上仍然无法构成对阿罗条件的否定。即使存在着反例，在多数情况下，人们有充分的理由要求决策规则满足这四项条件。然而阿罗可能定理的诡异之处就在这里，他证明：不存在这样的个选择规则，或者社会福利函数，能够在偏好的无限制域的情况下，同时满足这四个条件。通常人们会想当然地以为，多数规则应该是最优的选择，但阿罗不可能定理让他们失望了。最典型的就是投票悖论，有关投票悖论，在此不赘述。

二、自由民主制度的逻辑

当年阿罗提出不可能定理，这对于民主人士来说，几乎是当头一瓢冷水。有人声称，阿罗不可能定理对于投票制度的打击类似于能量守恒定律对于永动机的打击，是最根本和彻底的。在诺贝尔奖的授奖词上，瑞典皇家科学院本茨尔教授承认，“这个结论在完全民主的梦想方面是非常令人失望的”。

我们有时在中文文献中看到，有些作者根据阿罗不可能定理说上一番，然后就判定自由民主制度原来也怎么怎么不好，言下之意似乎全世界的各种政治制度，都不过尔尔。其实这是对阿罗不可能定理的极大误解。事实上，阿罗不可能定理只是证明，不存在十全十美的集体选择规则，但是在已有的选择规则中，还是存在着优劣之别的。在理论上通过放宽阿罗不可能定理从而为自由民主制度辩护的大有人在，其中最著名者的证明路径就是邓肯•布莱克单峰偏好定理与安东尼•唐斯的中间投票人定理。

布莱克认为，阿罗不可能定理其中有一个很强的假设，就是偏好的无限制域（unrestricted domain）。他认为，这在很大程度上不符合现实情况，现实情况是人们许多偏好构成了一个偏好单峰。所谓单峰偏好，就指多数人的偏好都倾向于其中一个备选方案。在这种情况下，多数规则就能够导致一个稳定性的结果，从而克服了投票悖论。布莱克的意义于，他并未否认阿罗不可能定理在逻辑上成立，但在现实中否定了它的可行性。戈登•塔洛克认为，在现实世界中，投票者的个数总是大大超过供投票选择的社会状态的个数的。这时，出现投票悖论的概率是如此之小，以至于在实际上可以不考虑它。

从单峰偏好就可以推导出中间投票人定理。唐斯指出，在一个多数决策的模型中，如果个人偏好都是单峰的，则反映中间投票人意愿的那种政策会最终获胜，因为选择该政策会使一个团体的福利损失最小（Downs, 1957）。中间投票人定理与一个有关社会阶层的假设相关，通常认为，中间投票人往往为拥有中间收入或财产的居民，也就是中间阶级或者中产阶级。在一个社会中的大多数为中产阶级的情况下，社会偏好将向中产阶级的意愿靠拢。这将可让多数规则发挥其作用，从而保证了社会的稳定。一个社会成员中产阶级居于多数地位，那么整个社会就越是不可能出现极端的选择，就越不可能出现革命或者反革命。政治就越稳定，社会经济生活也就越有条件理性化，而不是走向极端。中间投票人定理的另一个含义是：任何一个政党或政治家，要想获得极大量的选票，必须使自己的竞选方案与纲领符合中间投票人的意愿。就是说，他要赢得选举的胜利，必须保持中庸。从现实情况看，美国两党竞争便为中间投票人定理做出了绝好注脚。

现在，我们看到，通过对其中一个条件的修正，阿罗不可能定理不再对多数规则的否定，而构成了对多数规则的证明。1998年，阿马蒂亚•森在诺贝尔颁奖典礼上的演说中指出，阿罗不可能定理其实就是自由民主制度辩护的，这才是一语中的（Sen, 2002）。对于西方国家的自由民主制度的辩护士来说，理论已经不存在困惑了。现在的问题是，我们如何将阿罗不可能定理与中国——这个坚持自己的民主制度的国家——对证呢？

三、中国学人的使命

一个简单的直接推论就是中国的政治制度——社会主义民主制度——不是一种良好的决策规则。这一推论的逻辑极其简单，就跟许多人初看阿罗不可能定理时对西方自由民主制度的失望一样。不过，简单似乎总是影响最大。我们看网上许多言论，生活中周围许多党员的慷慨陈词，看得出这种逻辑在许多人的心目中扎下根来，难以驱除。就是公开期刊上，虽然难得见否定性的结论，但皮里阳秋的笔法，仍然或多或少透露出对中国政制的微词。

这种倾向，在普通人那里或许是一种未加以反思的情绪，而在多少读过一些书的知识分子那里，它构成了一种理论的逻辑和思想上的信念。我想，这是完全可以理解的，事实上，我应当承认，我自己曾经也有过类似的情绪。任何一个人，接触庞大的讨论政制的西文文献时，最初几乎无法抗拒，在那里，对西方的——尤其是美国的——政制的辩护已经发展到这个地步，几乎听不到另外的声音。就是那以批判著称的左翼思想家，比如哈贝马斯之流，即使对西方的政治现状有所不满，但也绝不会对第三世界的政制有任何颂扬。在他们眼里，中国之于他们的理想社会，就好像当年鲁迅在创造社同仁的眼中一样，是批判对象的批判对象：封建余孽。

然而经过了一些时间，经历了一些事情。我对这种系统地为西方辩护的倾向滋生一种深刻的怀疑。我现在还无法证明阿罗不可能定理及其相关扩展的学说的错误，它们的逻辑太强大了。我不得不信服。但我至少有理由为中国辩护。也许，在你们那里，自由民主制度是最好的，是“历史的终结”，但对我而言，中国的政制，即使还不那么完善，但基本上还是可取的，甚至很可能是在约束条件下最优的。

说到辩护，让我感到有些遗憾的是，中国学者还未发展出一种系统的为中国辩护的理论。尽管讨论“三个代表”的文章铺天盖地，但都不是严格的形式理论。它们甚至根本就没有考虑到要与西方的政治学者对话，而只是想如何党中央的方针政策传递给基层党员和民众。至于学者，仍旧有许多人被西方的逻辑所束缚。而我所接触的一些学者，虽然已经在意识到“北京共识”和“中国模式”等概念相对于西方道路的意义，但只涉及经验上的治理模式的描述与解释，而无意在纯理论上与阿罗、布莱克、唐斯等人直接交锋。网上的一些朋友，自承从一名叛逆者的批判转变到对中国政治的嘉许，其心虽然可嘉，但证明却相当幼稚。总而言之，阿罗不可能定理作为一种纯理论上的挑战，中国学人必须对此咄咄逼人的质疑作出回答。

下面，我试图提出一种辩护路径。虽然不是严格的学术规范论文，但我希望，能够为他人在该问题上的思考提供一些线索。我将指出，至少从三个方面而言，中国的政制能够在纯形式上回答阿罗不可能定理的挑战。它们分别是：偏好构成；交易成本以及社会目标，其中后两者是针对社会选择模型本身的批评，而第一个方面是在阿罗不可能定理的内部探讨。

（待续）

• 【原创】阿罗不可能定理与中国（2）

文章原先在天涯已经贴过，请勿嫌旧。自己也收入新浪博客（http://blog.sina.com.cn/u/1207589487），因为第一次在西西河发文，不敢造次，请河友们多多指教。

顺便说一下，在天涯才得知有西西河，赞誉颇多，故不揣浅陋而来。

是不是那个“绝对腐败。。。”的提出者？

我用一句话就可以概括:

投票民主其实根本就不能反映民意.推论就是其实帝制更好.或者换句话说,三个代表更好.

整天那么兴奋对身体不好。

投票民主倒是能反映民意，问题在于反映民意本身值得质疑。史上最反映民意的政制是雅典，当代最反映民意的政制在瑞士，您何不去鼓吹鼓吹？

以上不是反对民意，而是认为在民意只是诸多政制标准中的一个罢了。

同理,选举(差额制)能够选举出选民认可的候选人。但是这个候选人未必是最符合选民利益的候选人。

什么制度都不能被神话。

什么一神化就是堕落的开始。民主投票也不例外。

你等先让开，让我来。

（不过这个礼拜先等等，感恩节前回来，搞定他！）

政制就如衣服，合不合穿自己知道。我觉得中国应该闯一条新路，因为悠久的人文历史传统必须与政制结合，民主未必适合中国，甚至法制都未必适合中国。

政制最终的目的是为了让整个社会更好运作，而社会更好运作的最终目的是富国富民，所以跟西方沟通与否没什么关系，只要中国认为这条路走得对，符合自己的国情文化，最终会在经济、科技、社会上反映出来，用实力说话。当初美国几个乡巴佬写宪法的时候也不见得想过怎么跟欧洲沟通，最终还是靠自己的实力说话，不是靠“沟通”。

Borda 计数是法国科学家1770年发明的选举方法，是唯一无偏（Unbiased）选举方法。其方法是每张选票给所有候选人计点。假如一共有五个候选人，你给你最喜欢的计五点，最讨厌的计一点，其它三个按你的排序分别计四、三、二点。得点最多的当选。

但现在无论是国家选举还是体育比赛，其规则都是有偏的（biased）。即谁当选可能与选民偏好无关而仅仅与选举规则有关，如北京争2000年奥运会的投票程序，如果按得票最多算是北京，但规则是得票最多的两个再投票，所以北京落选。

http://en.wikipedia.org/wiki/Borda_count