主题：【原创】也谈数学和自然科学的关系 -- qiaozi

不爱吱声在/article/414995中谈到了数学和自然科学的关系，又引出了许多有趣的跟贴，读来兴致盎然，于是自己也来班门弄斧一下。

1。数学作为一种公理体系，在本质上不需要与我们的客观世界发生任何联系，更不需要有任何实际用途，而仅依赖于最初建立的几条公理。今天数学之所以这么有用，关键是我们今天使用的数学所依赖的公理体系，所谓ZFC公理体系，以及其他分支的公理，都是与我们的直观感觉相符合的。换句话说，我们今天使用的数学所依赖的公理体系保证了数学与客观世界、与自然科学的联系。例如大家熟知非欧几何的故事，但是欧氏几何有五条公理，为什么大家只关注第五公设呢？究其根本，其他的公理只是涉及有限的东西，如过两点有且只有一条直线，我们可以直接验证，接受起来没有问题。只有第五公设需要用到无穷的概念（这来自于平行线的定义），是我们不能直接验证的，所以大家对于接受这条公理总是有些犹豫，尽管单纯从数学上看来第五公设和其它的公理没有什么区别。我们甚至可以把“过两点有且只有一条直线”这条公理改掉，一样可以发展出一套“非欧几何”，在数学上也许与我们熟知的非欧几何没有优劣之分，只是与我们的客观世界没有关系（至少现在看来）而已，所以没有人关心。

2。数学和物理始终是一个互相促进的关系。往远里说，微积分的引入主要是来自自然科学、尤其是物理学的要求；往近里说，Fields奖的工作曾经是发表在物理刊物而不是数学刊物上。某种意义上说，物理学为数学在自身的美学要求之外，又提供了一种途径来判断什么数学更有趣、更值得优先发展，当然也提供了很多新鲜的想法和看法。数学不是为了“有用”而存在和发展的，但是有用的数学会发展得更快、更完善一些（在从数学上看相同难度的条件下）。

3。数学在自然科学中的应用来自于数学建模。没有一个模型，数学就无法应用于客观世界。数学在物理学中的应用是经典的，但是它也依赖于模型的建立，或者是牛顿的经典力学，或者是爱因斯坦的相对论。在其他一些分支，如生物学，可以想见最终我们将建立起一套数学理论和数学模型来研究它，就像用数学研究物理一样，但是现在还远远不到那个阶段。少数成功的例子包括人们试图用偏微分方程组来刻画神经信号的传递--这是微积分教材的推销员给我说的，我不懂其中的东西。不过即使是物理学也还是有很大一块是纯物理学的试验，和数学没有什么关系，所以配试剂恐怕总有生物学家来做。

Ps. 和数学相比，我不能让自己信服物理学的一些假设，如光速不变，如热力学第二定律。毕竟都是试验归纳总结出来的，为什么就比例如经典时空的假设更有说服力呢？尤其是热力学第二定律，一幅神圣不可侵犯的样子。有博学者帮忙解释一下？多谢！

公理体系说的是如果公理正确，那么会有什么结论。我们信服那五条公理，是因为它和我们日常的经验相辅。在不那么"日常"的情况下，比如一些极端条件，小尺度或大尺度，就不一定相辅了。所以非欧几何用在了相对论上。

物理呢，是要解释现象的。观测水平越高，非"日常"的现象就越多,为了解释它们,可能就要选择不那么容易被人相信的假设了。

不过说到热力学第二定律,所谓定律应该还是经验的总结,就是说,到目前为止,没发现与它抵触的例子,一件也没有。所以呢，不由人们不信，当然原则上，只要能观测到和它相反的例子就可以推翻它了。

只要彼此不矛盾就可以了。至于有没有用，漂亮不漂亮就是另一说了。

就像鞋子一样，本身无所谓合不合适，只看你给谁穿。本来以为是9号的脚，鞋有一点紧也无所谓，后来发现其实应该穿9号半的鞋。这不是鞋的错，而是穿鞋人的错。物理亦是如此。本来以为空间是欧式的，有一点小问题也无所谓，后来发现其实应该是非欧的。这不是数学的错，而是物理学家的错（或者说，物理学家的物理模型的错）。至于2006号的鞋，如果有人做了出来也不是一双错鞋，只是可能没有人去穿而已。--哈哈，幸好今年不是公元10年，否则还要在年号之外另想数字了。