主题：【原创】千奇百怪话分形 -- 安德的游戏

其实分形的维数计算有很多种方法，除了豪斯多夫维数和记盒维数以外，还有信息维数和相关维数。不过我们现在给一个最简单的。虽然可以计算的对象限制在严格自相似（就是局部和整体完全一样）的分形图形，不过这样算出来的维数和其他方法的结果是一样的。

假设我们把分形图形分成N个相等的部分，每一部分在尺度上都是原来图形的m分之一，那么这个图形的维数就是log(N)/log(m)。现在我们来算一下科赫曲线的维数：

从我们构造科赫曲线的方法看起来，我们把科赫曲线可以分成四个部分，而每一部分都是原来的三分之一大，所以N=4，m=3，那么科赫曲线的维数就是log(4)/log(3)=1.26。而科赫曲线是一条没有宽度的线，其拓扑维数是一维。所以符合分形的定义。

现在我们再来看几个经典的分形图形。

我们从先最低的维数说起，这就是康托三分集。我们可以用同样的方法，把康托三分集分成两部分，而每一部分还是原来的三分之一，所以有N=2，m=3，所以计算出来的维数是log(2)/log(3)=0.63。这个维数介于点和线之间，而康托三分集是由点构成的，拓扑维数是零维。

现在把视线放到更一层的维数上，我们就得到了谢尔宾斯基地毯。

构造的方法是，把一个正方形分成相等的九份，去掉中间的一份。然后对剩下的八个小正方形照此办理，一直到无穷。这样得到的图形的维数是1.89。要注意的是，在这里虽然每一个小正方形的面积是原来的九分之一，但是在线性尺度上，只缩小了三分之一，所以m=3。如果我们穿过正方形的中心用一条水平的直线来截这块地毯，就可以发现截出来的“断面”正好是康托三分集。

再把维数提高一层，就可以得到谢尔宾斯基海绵，也是我们在开头贴过的一张图。

从图上可以看出来海绵的构造方法：把一个立方体分成二十七个相同的小立方体，去掉每一个面上中间的小立方体和大立方体正中间的小立方体。如果我们看谢尔宾斯基海绵的每一个面，就可以发现它都是谢尔宾斯基地毯。这个海绵的分形维数是2.73。

闲话两句，这个叫谢尔宾斯基的，跟豪斯多夫生活在差不多同一个时代，是个波兰人。波兰似乎在欧洲的历史上总是处于弱小的地位，在列强的环绕下，多次惨遭被瓜分的命运。从来没有过称霸欧洲的历史。不过波兰也是个出人才的地方，哥白尼，肖邦还有居里夫人（入了法国籍），都是波兰人。

给出后面几章的题目预告，分形涉及到的东西零星繁杂，有遗漏的地方势肯定的。我想到的部分，我尽量把它们说清楚。欢迎大家提意见。

无穷小和无穷大

曼德尔布诺特集

分形与非线性系统

分形图形的构造

前面说了分形的维数计算。这样计算出来的分形的维数，一般都是一个小数而不是整数。于是，这样的分形图形就会在它下方的维度上呈现出无穷大的特征，而在其上方的维度上呈现出无穷小的特征。（多说一句，因为我们讨论的分形几何特征，比如面积，体积等没有负数，所以这里无穷小是指得无限趋近于零）

我们以科赫曲线作为例子。科赫曲线的维数是1.26。显然，一条没有宽度的线是没有面积的，所以在二维的度量上，科赫曲线没有面积。但是长度呢？我们假设以原来初始线段的长度为1，那经过第一次变换以后，我们得到的折线长度是4/3。经过第二次变换以后，每一小段的长度都变成原来的4/3，所以总长度是4/3x4/3=16/9。以此类推，经过n次变换以后，长度就变成了(4/3)^n。那么经过无穷多次变换，科赫曲线的总长度就是lim n→∞(4/3)^n=∞。（这个数学公式的功能还是很重要的，怎么打得就这么别扭呢）。所以，我们知道了，科赫曲线的长度是无穷的。

回到曼德尔布诺特的论文《英国的海岸线有多长》，他在论文里面就提出了这样一个观点，海岸线的长度，跟你用一把什么样的尺子去量是有关系的。量的时候，总是把海岸线近似成折线，以折线段的长度和来作为海岸线的总长度。如果用更短的折线段来近似，那么对于海岸线形状的逼近就越好，而这样量出来的长度也就越长。海岸线的形状是一个分形图形，如果量长度的这把尺子长度趋近于零，或者说用来逼近的折线的长度趋近于零，那么得到的海岸线的总长度是趋近于无穷大的。

所以我们总是在报刊书籍里面看到，说我国拥有漫长的海岸线，海岸线的长度有多少多少公里。这样的说法，既对又不对。因为从一方面来说，按照分形的观点，我们知道海岸线的总长度是趋向于无穷的。但是从另一方面说，我们可以认为这里给出的长度，是用一把特定长度的尺子量出来的，而结果就是一个有限值。用同一把尺子，去量中国的海岸线和去量英国的海岸线，中国的就要比英国的长。

那有人问，如果用在一公里的尺度上量出来中国的海岸线长度是英国的2.3倍（我只是随便给一个比方，真正的数字肯定不是这个），那么在一百米的尺度上量出来的倍数也是个吗？十米的尺度呢？要回答这个问题，就要看中国海岸线的分形维数和英国的是不是一样。维数越高，在减小同样的尺度测量的时候，长度增长越快。

好啦，我们再来看一个有趣的例子：谢尔宾斯基海绵。前面已经讲了如何构造谢尔宾斯基海绵。从三维的角度来说，谢尔宾斯基海绵的体积是多少呢？同样的计算方法。第一次变换，我们从二十七个小正方体里面去掉了七个，体积变成原来的20/27。第二次变换，剩下的每一个小立方体的体积又变成原来的20/27，所以经过n次变换，总体积就是原来的(20/27)^n，经过无穷次变换的最终体积就是lim n→∞(20/27)^n=0。现在题目来了：如何计算谢尔宾斯基海绵经过n次变换以后的总面积？无穷次变换以后的结论已经有了，就是无穷大。好了，现在我们得到了一个怪东西，它的体积没有，也就是说不管是什么材料做的，都没有重量，但是看起来泡泡的一大块。而且有无穷大的表面积。这个东西，它比活性炭还好呀，在冰箱里放一块除味的效果一定很好。不过这个东西既然体积是零，似乎考虑是什么材料做的也没有什么意义了。说到这里，我忽然想到，所谓的皇帝的新衣，用的材料大概多半是谢尔宾斯基地毯吧？

已经说了关于分形的这么多内容，我们要归纳一下分形的特点：

1. 分形有无限精细的结构。也就是说，无论我们把分形的图形放大任意多倍，还是有比当前尺度更小的细节存在。

2. 分形很难用传统的几何语言描述。举个例子，二次曲线和圆都可以用平面坐标的方程来描述，但是科赫曲线就没有办法找出相对应的方程式。

3. 分形有精确或近似的自相似形式。这个特性之前已经讲过了。

4. 分形的维数大于其拓扑维数。这个实际上是分形的定义。

5. 分形通常可以由简单的方式生成，比如说迭代。

现在，我们进入了分形的重头戏——曼德尔布诺特集。从名字上我们就可以看出它在分形中的重要地位：它是以分形之父曼德尔布诺特的名字命名的。

其实曼德尔布诺特集并不是曼德尔布诺特首先发现的，只不过他最开始比较有系统地对这个图形进行研究而已。我们先给出一张曼德尔布诺特集的全景照：

需要说明的是，这里有关曼德尔布诺特集的图片都是我自己写程序生成的，不过我总是调配不好颜色。不过好在需要涂颜色的部分都是曼德尔布诺特集的周边，曼德尔布诺特集本身习惯上是表示成黑色的。所以虽然颜色会有些怪，而且不够好看，但是对于讲解来说是够了。

我们把曼德尔布诺特集生成的方法放在最后面讲，先看看它的一些有趣的特性吧。

曼德尔布诺特集从整体上看，是由不规则的一大一小两个圆和周围的一些复杂结构构成的。严格地说，左侧小一点的图形的确是一个接近圆的东西（如果不考虑周围的毛刺的话），而右侧的大一点的图形应该叫做心脏线，因为看起来有点像一个躺下来的心形图案。如果你有两个大小相等的圆，其中一个不动，而另一个紧贴着不动的圆无滑动地旋转（就象两个齿轮），那么外侧的圆圆周上的一点就会画出一个心脏线的轨迹。

接下来，我们要看周围的那些“毛刺”了。首先为了方便起见，我们加一些数字标记。大的心形图案标记为1，小一点的圆形标记为2。先从最大的心形图案看起。最显眼的就是上下两个长“触角”的圆了。把它们标记为3。我们从上面这个圆往右边数，次大的标记为4，在往右数次大的依次标记为5，6，7等等。就像下面这样：

标记完了有什么用处呢？现在我们把3和4放大看看：

有趣，3上顶着一个三叉的触角，4上顶着一个四叉的触角。那么5，6和7是不是也一样呢？我们再把那里放大一下。这个是5

这个是6和7

看起来触角依次增多，到后来会很多很多。现在我们看一个二十四个触角的图

颜色上看起来比较杂乱，不过还是很象文章最开头贴过的一张

现在从标记为3的圆向左数，触角数目依次为5个，7个和9个，变成以二递增。

再单独看看标记为3的圆，周围又有一圈更小的圆围绕着，我们把它放大一些，再数数这些小圆的触角，奇怪的是，它们不增多，统一都是3个。

同样，五个触角的圆周围的小圆触角也都是5个，不过都已经卷成花儿了。

你问我说了半天触角，要这些触角有什么用？这个……拿回家做菜吧。我们又不研究数学，看这些图不就是看个热闹么。其他的热闹咱们以后再说。