主题：【sos】关于音色 -- 月色溶溶

我三月份被困在东京一个月，差一点就“当锏卖马”了。刚刚脱困回到美国，故而现在才看到月色mm这个帖子。随便说两句，迟复为歉。

我觉得关于“音色”的问题，曾经兄，减七和蒲将军的帖子讲得很清楚了。我没有什么可补充的。但是关于“音调”的问题，我觉得月色mm的说法：

还有可以商量的地方。

我们以手指敲击桌面这件事情作为例子来讨论。如同我们都知道的，声音是由物体的震动产生的，音调是由振动的频率决定的。然而，在这个例子中，仔细想想，却存在着两个“频率”。一个是手指敲击的频率，一个是敲击后桌面震动的频率。这就产生了两个问题：这两个频率一样吗？如果不一样，“音调”究竟是由哪个频率决定的？

在月色mm的论述中，我隐约感觉月色mm似乎倾向于认为这两个频率是一样的。（当然我可能会错义了）。事实上，在大多数情况下，这两个频率是不同的。手指敲击的频率，是由敲击者控制的，原则上可以取任意的值。而桌面震动的频率，则是由桌面的材料，弹性系数，几何形状以及尺寸等等决定的，通常来讲，只能取一系列特定的数值，称为“本征频率”。曾经等人的帖子中说道的频率，比如基频和泛频，都指的是这个本征频率。

说道本征频率，不妨多说几句。当年在中学学习波动学的时候，老师说波在介质中传播的速度（介质形状确定的时候正比于频率），只跟介质本身的性质有关，我曾经感觉非常不可思议，因为直观上我也觉得这个速度应该跟外界驱动的频率，比如手指敲击桌面的频率有关系的。后来大学的时候学习了波动方程的微观推导，才知道这件事情的来龙去脉，不禁感觉到物理学的神奇。

关于物体“本征频率”和形状的关系，在数学物理的历史上，曾经有一段著名的公案。前面说过，物体的本征频率跟物体的形状有关。比如一面鼓，方形的和圆形的鼓，发出声音的本征频率不同。给定了鼓的形状，就可以求出来这些频率。那么如果反过来，给定这些频率，能否反推出鼓的形状呢？这个问题称为“听鼓音辨鼓形”，在上个世纪初由著名的数学家希尔伯特提出，很快被另外一位大数学家外尔解决。

事实上，随着鼓的面积增大，鼓的频率对形状的依赖关系，会逐渐减弱，也就是说，相同面积不同形状的鼓，将对应差不多的频率。在量子物理中，这为我们研究固体物理提供了很大的方便。因为基于这个事实，我们可以采用与固体形状无关的频率和边界条件（比如周期性边界条件）。

我们回到月色mm的例子。前面说了，敲击桌子的频率，和桌面震动的频率往往不同。那么发出的声音究竟是由那个频率决定的呢？严格的说，由桌面震动发出的声音，其音调是由桌面震动的本征频率决定的。

事实上，我们很难以每秒十次或者更高的频率敲击桌面。也就是说，敲击桌面的频率就是在十赫兹或者更低。如果发出的声音也在这个频率的话，我们人的耳朵是听不到的。多亏了桌面和琴弦震动的本征频率远远大于这个数量级，才使我们能听到敲桌面的声音或者琴声。

最后多说一句，那么如果敲击的频率和桌子的本征频率一样，会出现什么情况呢？这种情况成为“共振”(resonance)。请允许我在这里对这个现象表示一下敬意。共振是普遍存在于这个世界各个层次的一种现象。从某种意义上说，我们这个世界之所以存在这么多可以认识的物理规律，之所以呈现出这么多在不同层次上的有秩序的行为，而不是乱糟糟的没有任何生命和秩序的一大片，很大程度上就是因为有“共振”这个现象存在。详细的讨论共振现象，超出了这篇帖子的范围，也超出了我的能力。在这里我们仅仅就机械震动说一句。如果敲击桌面的频率和桌面的本征频率相同，这个时候敲击桌面的能量将完全转移到桌面在这个频率上的震动中。这个时候桌面将以这个单一的频率剧烈的振荡，甚至有可能震坏。据说拿破仑入侵俄国的时候，有一次他的士兵列队走正步过桥，结果士兵的步伐跟桥的本征频率共振了，于是桥被震榻，士兵落水死伤甚重。现在世界各国大队人马过桥的时候，普遍采用散乱的步伐，就是为了避免一致的步调和桥面共振而引发意外。

我想说的基本就是这些，欢迎大家指正。