主题：【原创】素数狂想2000年 -- lucase

看完上面的内容，我们可以得到下面这个不精确的结论：几乎所有的整数都不是素数。

俄国数学家，切比雪夫（俄文原名Пафну́тий Льво́вич Чебышёв，欧洲语言译名有Chebyshev, Chebychev, Chebyshov, Tchebycheff, Tschebyscheff等。 （1821年5月26日－1894年12月8日），俄罗斯数学家。）[URL=][/URL]证明了上面我们所提到的那个π(x) 和x/ln x的比，确定地在0.99和1.11之间。这个证明使用的依然是初等数学的方法，但是非常有效。

切比雪夫的画像

切比雪夫曾经长期的生活在圣彼得堡的俄国科学院。他除了在数论方面有研究外，对于逼近论也有研究。当然，他的切比雪夫不等式，也很有名。

但是很遗憾，切比雪夫的方法，依然是属于数手指头的方法。无法真正精确地证明素数定理。

一个伟大的联系

我们终于要开始讲到黎曼了。

黎曼的画像

格奥尔格·弗雷德里希·波恩哈德·黎曼 （Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826年9月17日 - 1866年7月20日）德国数学家，对数学分析和微分几何做出了重要贡献，其中一些为广义相对论的发展铺平了道路。他的名字出现在黎曼ζ函数，黎曼积分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼映照定理，黎曼-希尔伯特问题，黎曼思路回环矩阵和黎曼曲面中。外链出处

在此我们不得不提到德国哥廷根大学严格的教授评审制度。伟大的高斯曾经担任过哥廷根天文台的台长和哥廷根大学数学教授。高斯去世以后，狄利克雷(Dirichlet)接替了高斯的教授职务外链出处，八年后，狄利克雷去世，这次才终于轮到黎曼担任数学教授的职务。此前他只能以编外教授的身份待在哥廷根。（黎曼这个超牛在大牛去世前也只能担任编外教授，对比一下今天的情况，真是汗颜。）

在此我们一次次的提到哥廷根这个名字，是有原因的。哥廷根大学外链出处的数学曾经照亮了整个人类世界，从高斯和黎曼到克莱因和希尔伯特。可以说，二战以前的数学，很大程度上都是哥廷根的故事。而二战以后的数学，很大程度上都是普林斯顿的故事。

黎曼的一生只发表了十几篇论文。当然这些论文如果是在今天这个年代发表的话，被SCI……等等收录是肯定的了，影响因子肯定也要高的吓人。黎曼在晋升教授的时候，撰写的论文的题目是《论不超过一个大整数的素数的个数》。黎曼在这篇横空出世的文章中，首次建立了这样一个伟大的联系：把离散的素数分布的问题跟一个连续的函数联系起来，这个函数是一个复参量函数。当然这个函数在复平面的局部是由一个无穷级数定义的。这个无穷级数绝对一致收敛的时候，就会收敛到一个解析函数。用一个连续的函数去研究一个无穷级数的量，这里面有着非常深刻的洞察力。这是一件很不得了的事情。为什么有的学科看起来就怎么也用不上数学，为什么有的学科就怎么也深入不进去，就是缺少像黎曼这样的大数学家去研究那个学科。这种伟大的联系建立不起来，所以就总是停留在用数手指头的方式上来进行研究，自然也就没有进展可言。当然，这种伟大的联系在数学史上都是可遇而不可求的。黎曼，就是这种稍有的奇迹之一。

黎曼在他晋升教授的论文中，证明了黎曼ζ函数ζ(s)有无穷多个零点，而这无穷多个零点又都落在一个无穷的带型中间。

这无穷多的根，关于1/2这条线是对称的，而且这些根都落在(0,1)这个区域向y轴正反两方无限延展的带型中间。黎曼认为，如果在这个带型的两个边上没有根的话，就能证明出伟大的高斯和勒让德所猜测的素数定理来。多说一句，素数定理是整个数论的中心定理，也是整个数学的中心定理之一。黎曼进一步猜测，如果这些根能够全部落在1/2这条线上的话，那么就会出现最好的情况。如果果然如此，那么素数定理就会有一个非常美丽的形式，而且美到了最佳。既然上帝是算术学家，那么这个猜测就必然是正确的。

素数定理的证明

黎曼规划了素数定理证明的途径，但是在当时没有相应的可以使用的证明工具。黎曼在39岁就去世了，真是天妒英才。但是，我们的目标一定要达到，我们的目标一定能够达到！

证明素数定理的是一位法国的数学家，雅克·所罗门·阿达马（Jacques Solomon Hadamard，1865年12月8日—1963年10月17日）外链出处和比利时数学家Charles Jean de la Vallée-Poussin。阿达马除了证明素数定理之外，还做了很多有益的工作，在函数论上广有建树。实际上，从黎曼的论文提出这个猜想到阿达马论文的发表，中间经历了50年的时间。这50年间，阿达马和de la Vallée-Poussin都在不停地发展用于证明黎曼猜想，实现黎曼的伟大宏图的工具。

另外阿达马还是早期访问中国的外国数学家之一。他早年间曾到清华大学做演讲，当时华罗庚先生正在清华做图书管理员。华先生把论文拿给阿达马看，阿达马建议华先生如果想要研究数论的话，应该去找哈代，于是华老1937年到了剑桥，这才有了后来中国数论一系列的发展。

Jacques Solomon Hadamard和Charles Jean de la Vallée-Poussin两人各自独立地证明了黎曼猜想，两人的论文均在1896年发表。无论如何吧，素数定理被证明出来了，大家应该为之高兴。

后面我们再讲黎曼猜想……