主题：【文摘】弦论通俗演义（一） (作者：李淼） -- 不爱吱声

弦论通俗演义（三）

　　　　　 李淼

　　　中国科学院理论物理研究所

　　　　　　　　第二章 经典的极致

　　　　　　　　　　　（第一节）

　　如果说现代物理开始于量子物理，经典物理则终结于爱因斯坦的广义相对论。广义相对论的时空观无疑彻底改革了牛顿的时空观，但牛顿本人很清楚他的时空观的局限。爱因斯坦用相对论的因果律代替了牛顿的绝对时与空中的因果律，所以说爱因斯坦的时空概念与因果概念仍然是经典的，广义相对论是经典物理的极致。

　　这个经典物理中的最高成就一直拒绝被量子物理所改造。所有相信弦论的人都认为引力已被成功地量子化，至少在微扰论的层次上。一些执著于几何是一切的人则认为还不存在一个成功的量子引力理论，他们在一定程度上承认弦论的成功，霍金(S. Hawking)以及特霍夫特(G. 't Hooft) 可以被看成这方面的代表，虽然前者较之后者更极积地支持弦论。我们希望在本章的结尾时看到，弦论家的观点和弦论同情者的观点都有一定道理。而第三派则采取鸵鸟政策，认为引力还是原来的引力，星星还是那颗星星，这样有助于他们继续发表各色各样的理论。

　　我们假定读者已学过狭义相对论，甚至一点广义相对论，这样我们就可以相对自由地从不同角度来看广义相对论。

　　广义相对论的基本原理是等效原理：在引力场中，在时空的任何一点都可以找到一个局部惯性系，物理定律在这个局部惯性系中与没有引力场时完全相同。爱因斯坦本人更喜欢将局域引力譬喻成局部加速所引起的结果。这样，局部惯性系类似于黎曼流形中一点的切向空间，加速则可以用一个二次的座标变换来消除。引力可以用黎曼几何中的度规来描述，在一个局域惯性系中，度规变成狭义相对论中的闵氏度规。爱因斯坦进一步说，如果引力效应可以用一般的座标变换来消除，则该引力场完全等价于无引力场。如此则一个非平庸的引力场必须具有曲率。爱因斯坦的引力理论是标准的场论，而他相信物理的基本要素就是场，这是他高度评价麦克斯韦工作的原因。

　　一个试验粒子在引力场中的运动轨迹是测地线，而运动方程可以由变分原理得到。这个变分原理说，连结时空两点的粒子轨迹使得总的粒子的固有时成为极大――粒子的固有时是欧氏空间中测地线长度在闵氏空间中的推广。这种几何变分原理早就用在光学中，光的轨道使光程取极小值，这是费马原理。当地球环绕太阳运动时，人们可以想象，太阳产生的引力场使得太阳周围的时空发生一点点弯曲，从而使得地球的测地线发生弯曲。在时空中，这个测地线并非是闭合的。一般说来，它在空间中的投影也不是闭合的，这样就有了水星近日点进动――这里，时空同时弯曲起了关健作用。同样，一个无质量的粒子如光子在引力场中的测地线也是弯曲的，尽管光的固有时总是为零，测地线的变分原理稍稍有点复杂。爱因斯坦在广义相对论完成之前就预言了光线在引力场中的弯曲，他仅用了等效原理，这等价于仅仅用了度规的时间份量，这样算出的弯曲角度是正确结果的一半。同样，要算出正确的结果，必须计及空间的弯曲。

　　决定时空曲率的是物质的能量和动量分布，这就是爱因斯坦著名的引力场方程。在方程的左边是一种特殊的曲率，现在叫做爱因斯坦张量。在方程的右边是能量－动量张量。爱因斯坦经过断断续续八年的努力，在 1915年年尾才最终写下正确的场方程。(从1907到1911 有三年半的时间，他发表了关于经典辐射理论的文章，关于狭义相对论，关于临界弥散，甚至尝试修改麦克斯韦方程以期得到光量子，就是没有发表关于广义相对论的文章。)

　　1915年11月25日，爱因斯坦在普鲁士科学院物理－数学部（那时的科学没有今天专业化得利害，今天的一些物理学家往往以不能与数学家沟通为自豪）宣读了一篇题为《引力的场方程》的文章。他说：“相对论的一般理论作为一个逻辑体系终于完成”。

　　1915年11月，爱因斯坦每一个礼拜完成一篇文章。11月4日，在一篇文章中他写下不完全正确的一种场方程，该方程线性化后成为牛顿－泊松方程。11月11日，他写下另一个场方程，方程的左边是里奇 (Ricci) 张量，方程的右边是能量-动量张量，他还要求度规的行列式等于一。11月18日，爱因斯坦仍然相信度规的行列式必须等于一。在这篇文章中他发现两个重要效应，爱因斯坦非常运气的是太阳的中心力场对应的度规的行列式的确等于一――瓦兹希尔德于次年一月发现了严格解，五月即死于在俄罗斯前线得的一场病。爱因斯坦发现的第一个效应是水星近日点进动。勒

维利埃(Jean Joseph Le Verrier) 1859年观察到的水星每百年45秒的进动完全可以用爱因斯坦的新的理论来解释。这个发现是如此令人激动，爱因斯坦此后一连几天不能平心静气地回到物理上来。第二个发现是，他以前计算的光线弯曲比正确的结果小一半，这时他计及了度规的空间部份。11月25日，爱因斯坦写下了一直沿用至今的引力场方程。爱因斯坦放弃了度规行列式等于一的物理要求，但将它作为对座标选取的一种条件。爱因斯坦当时还不知道场方程的左边满足比安基等式，从而方程右边自动满足能动量守恒定律。能动量守恒定律被爱因斯坦看成一个条件。

水星近日点进动

　　由于引力常数很小，引力往往在一个很大的系统中才有可观测效应。相互作用的大小通常可以用动能与势能之比来定，对于处于束缚态的系统，这个比例大约是1，所以我们常常说束缚态是非微扰的。不需要计算，我们知道地球在太阳引力场中的势能大约等于它的动能。同样，电子在氢原子中的电势能大约等于它的动能。可是电子与氢原子的原子核――质子――之间的引力相互作用就非常非常小了，它与电子的动能之比大约是10的负40次方！所以我们常常说引力是自然界中最弱的相互作用。用广义相对论的语言说，时空非常难以弯曲。看一看爱因斯坦的场方程，它的左边是曲率，右边是牛顿引力常数乘以能－动张量。能－动张量引起时空弯曲，而牛顿引力常数则很小，可以说时空的强度则很大――比任何金属要大得多。

　　在谈到广义相对论的实验验证时，人们常提到的是三大经典验证：引力红移，光线弯曲和水星近日点进动。时至今日，广义相对论通过了远远不止这些验证。即使当验证还很少时，人们已经认为广义相对论是有史以来最完美和最成功物理理论。恐怕即使今天人们还可以这样说。广义相对论的最完美之处在于它是一种原理理论，即整个理论建立在一些简单的原理之上，尽管它是一个物理理论，它的逻辑结构几乎可以媲美于欧几里得几何。它也是有史以来最成功的理论之一，它解释了所有己知的宏观的包含引力的系统，这包括整个可观测宇宙在内。其精度经常在万分之一，在等效原理情形，精度已达10的负13次方！

　　广义相对论的完美主要来源于它所用的基本语言：几何。可以说爱因斯坦的直接继承人，今天仍然活跃的即那些在gr-qc电子档案馆贴文章的人，仍然坚持用这种语言。这种语言似乎与量子

力学有着本质的冲突，从而与粒子物理学家所惯用的语言有着本质的冲突。这里我们不想强调这种冲突，但了解这种冲突的存在是有好处的。60年代之前在相对论界和粒子物理界之间存在着很少的对话，这在费曼的故事中很好地体现出来。费曼有一次参加在北卡州 (North Carolina) 召开的相对论界的会议。他出发之前忘记了带详细地址，所以他下了飞机后向人打听有无看到一些相对

论专家去了何处。人家问他相对论专家是一些什么样的人，他说， 就是一些嘴里不停地念叨Gmunu 的人，这人很快知到他指的是谁。

　　广义相对论与粒子物理的语言冲突在温伯格 (Steven Weinberg)的名著《引力论与宇宙论－广义相对论的原理与应用》中也显示出来。温伯格尝试着用粒子物理的方法重新表达广义相对论，仅取得部份成功。记住温伯格与费曼最早试图由自旋为2的无质量粒子及相互作用推出广义相对论，今天我们知道，人们的确可以证明广义相对论是唯一的自旋为2的无质量粒子的自洽相互作用理论。但这个证明是一级一级的证明，很难看出其中的几何原理。

　　广义相对论与粒子物理本质的不同还可以从引力波的效应的计算看出。早在1916年爱因斯坦就指出在他的理论中存在引力波。到1918年，他给出引力辐射与引力系统的四极矩关系的公式。不同于电磁系统，自旋为2的粒子的辐射与偶极矩无关。不同于电磁系统，那里的辐射公式从来就没有人怀疑，而引力系统的引力波辐射是否完全由四极矩公式给出长期引起争论。争论的原因是

引力是一个高度非线性理论，引力势能本身也会影响引力波辐射。爱因斯坦本人在1937年曾短暂地怀疑过引力波的存在。有趣的是，关于 引力波辐射的第一级效应的争论直到1982年才完全得到解决：爱因斯坦的四极矩公式是正确的。当然，引力波辐射的效应已在脉冲双星系统中被间接地观察到，这个工作也已获得诺贝尔奖。今年或今后几年，引力波可能被引力干涉仪直接观测到，这将成为继最近的宇宙学中激动人心的观测又一令人激动的天文观测。这也将极大推动相对论界与粒子物理界之间的对话。