主题：【文摘】弦论通俗演义（一） (作者：李淼） -- 不爱吱声
家园 【文摘】弦论通俗演义（一） (作者：李淼） 弦论通俗演义（一）
李淼
前言
作为科学院的研究员，似乎唯一的正业是写SCI论文。 当下正处于弦论研究的低潮平台期，所谓超弦第二次“革命”也已尘埃落定，反正闲着也是闲着，不妨写一点关于弦论的既是历史也
是通俗介绍的东西。当然希望这部“演义”对于一些已有一定物理基础的学生及物理爱好者对弦论的了解有一点帮助，至少也可作为茶余饭后打发时间的消遣。对于自己更重要的是，这可能起到宣传超弦的作用，从而对改变在中国研究弦论的生态环境作一点贡献。这也许比多写一两篇SCI 论文要来得划算得多。
我在不久前非常惊讶地发现，格林 (Brian Greene) 的纽约时报长期排名第一的畅销书《优美的宇宙》 (The Elegant Universe) 在中国还没有翻译本。这是一部很好的普及弦论的书，台湾不久前有人翻译，可惜翻译者的物理和中文都不够好，格林本人请一个既懂中文又懂弦论的人看了一下，自然不同意台湾的出版商出版。我也只好打消买它十几本送人的欲望。这样一来，更有了自己写一点东西的动机。
第一章 从弦论到M-理论
第一节
弦论的发现不同于过去任何物理理论的发现。 一个物理理论形成的经典过程是从实验到理论，在爱因斯坦广义相对论之前的所有理论无不如此。一个系统的理论的形成通常需要几十年甚
至更长的时间，牛顿的万有引力理论起源于伽利略的力学及第谷，开普勒的天文观测和经验公式。一个更为现代的例子是量子场论的建立。在量子力学建立(1925/26)之后仅仅两年就有人试图研
究量子场论，量子场论的研究以狄拉克将辐射量子化及写下电子的相对论方程为开端，到费曼 (Feynman)，薛温格(Schwinger) 和朝永振一郎 (Tomonaga) 的量子电动力学为高潮，而以威尔逊(K. Wilson)的量子场论重正化群及有效量子场论为终结， 其间经过了四十余年，数十甚至数百人的努力。 广义相对论的建立似乎是个例外，尽管爱因斯坦一开始已经知道水星近日点进动，
他却以惯性质量等于引力质量这个等效原理为基础，逐步以相当逻辑的方式建立了广义相对论。如果爱因斯坦一开始对水星近日点进动反常一无所知，他对牛顿万有引力与狭义相对论不相容的深刻洞察也会促使他走向广义相对论。尽管同时有其他人如阿伯拉汗(Max Abraham)，米(Gustav Mie)试图改正牛顿万有引力，爱因斯坦的从原理出发的原则使得他得到正确的理论。
弦论发现的过程又不同于广义相对论。弦论起源 于一九六零年代的粒子物理，当时的强相互作用一连串实验表明存在无穷多个强子，质量与自旋越来越大越来越高。这 些粒子绝大多数是不稳定粒子， 所以叫做共振态。当无穷多的粒子参与相互作用时，粒子与粒子散射振幅满足一种奇怪的性质，叫做对偶性。 1968年，一个在麻省理工学院工作的意大利物理学家威尼采亚诺 (Gabriele Veneziano) 翻了翻数学手册， 发现一个简单的函数满足对偶性，这就是著名的威尼采亚诺公式。 应当说当时还没有实验完全满足这个公式。很快人们发现这个简单的公式可以自
然地解释为弦与弦的散射振幅。 这样，弦理论起源于一个公式，而不是起源于一个或者一系列实验。伯克利大学的铃木 (H. Suzuki) 据说也同时发现了这个公式，遗憾的是他请教了一位资
深教授并相信了他，所以从来没有发表这个公式。所有弦论笃信者都应为威尼亚采诺没有做同样的事感到庆幸，尽管他在当时同样年轻。
弦论又可以说是起源于一种不恰当的物理和实验。后来的发展表明，强相互作用不能用弦论，至少不能用已知的简单的弦论来描述和解释。强相互作用的最好的理论还是场论，一种最完美的场论：量子色动力学。在后来的某一章内我们会发现，其实弦论与量子色动力学有一种非常微妙，甚至可以说是一种离奇的联系。作为一种强相互作用的理论，弦论的没落可以认为是弦论有可能后来被作为一种统一所有相互作用的理论运气，更可以说是加州理工学院史瓦兹 (John Schwarz) 的运气。想想吧，如果弦论顺理成章地成为强相互作用的理论，我们可能还在孜孜不倦地忙于将爱因斯坦的广义相对论量子化。不是说这种工作不能做，这种工作当然需要人做，正如现在还有相当多的人在做。如果弦论已经成为现实世界理论的一个部份，史瓦兹和他的合作者法国人舍尔克 Joel Scherk)也不会灵机一动地将一种无质量，自旋为2的弦解释为引力子，将类似威尼采亚诺散射振幅中含引力子的部份解释为爱因斯坦理论中的相应部份，从而使得弦论一变而为量子引力理论！正是因为弦论已失去作为强相互作用理论的可能， 日本的米谷明民 (Tamiaki Yoneya) 的大脑同时做了同样的转换， 建议将弦论作为量子引力理论来看待。他们同时还指出，弦论也含有自旋为1的粒子，弦的相互作用包括现在成为经典的规范相互作用， 从而弦论可能是统一所有相互作用的理论。这种在技术上看似简单的转变，却需要足够的想象力和勇气，一个好的物理学家一辈子能做一件这样的工作就足够了。
Gabriele Veneziano
我们说的史瓦兹的运气同时又是弦论的运气是因为史瓦兹本人的历史几乎可以看成弦的小历史。史瓦兹毫无疑问是现代弦论的创始人之一。自从在1972年离开普林斯顿大学助理教授位置到
加州理工学院任资深博士后研究员，他“十年如一日”，将弦论从只有几个人知道的理论做成如今有数千人研究的学问。他也因此得以摆脱三年延长一次的位置，终于成了加州理工学院的正教授。因为他早期与格林 (Michael Green) 的工作，他与现在已在剑桥大学的格林获得美国物理学会数学物理最高奖，2002年度的海因曼奖 (Heineman prize)。
按照流行的说法，弦本身经过两次“革命”。经过第一次“革命”，弦成为一种流行。一些弦论专家及一些亲和派走的很远，远在1985年即第一次“革命”后不久，他们认为终极理论就在眼前。有人说这就是一切事物的理论 (TOE=Theory of Everything)，欧州核子中心理论部主任爱利斯 (John Ellis) 是这一派的代表。显然，这些人在那时是过于乐观，或者是说对弦的理解还较浮于表面。为什么这么说呢？弦论在当时被理解成纯粹的弦的理论，即理论中基本对象是各种振动着的弦，又叫基本自由度。现在看来这种理解的确很肤浅，因为弦论中不可避免地含有其他自由度，如纯粹的点状粒子，两维的膜等等。15年前为数不多的人认识到弦论发展的过程是一个相当长的过程，著名的威顿 (Edward Witten) 与他的老师格罗斯 (David Gross) 相反，以他对弦的深刻理解，一直显得比较“悲观”。表明他的悲观是他的一句名言：“弦论是二十一世纪的物理偶然落在了二十世纪”。(这使我们想到 一些十九世纪的物理遗留到二十一世纪来完成，如湍流问题。) 第一次“革命”后一些人的盲目乐观给反对弦论的人留下口实，遗患至今犹在。现在回过头来看，第一次“革命”解决的主要问题是如何将粒子物理的标准理论在弦论中实现。这个问题并不象表面上看起来那么简单，我们在后面会回到这个问题上来。当然，另外一个基本问题至今还没有解决，这就是所谓宇宙学常数问题。15年前只有少数几个人包括威顿意识到这是阻碍弦论进一步发展的主要问题。
第二次“革命”远较第一次“革命”延伸得长 (1994-1998)， 影响也更大更广。有意思的是，主导第二次“革命”主要思想，不同理论之间的对偶性 (请注意这不是我们已提到的散射振幅的对偶性) 已出现于第一次“革命”之前。英国人奥立弗 (Olive) 和芬兰人曼通宁 (Montonen) 已在1977年就猜测在一种特别的场论中存在电和磁的对称性。熟悉麦克斯维电磁理论的人知道，电和磁是互为因果的。如果世界上只存在电磁波，没有人能将电和磁区别开来，所以此时电和磁完全对称。一旦有了电荷，电场由电荷产生，而磁场则由电流产生，因为不存在磁荷。而在奥立弗
及曼通宁所考虑的场论中，存在多种电荷和多种磁荷。奥立弗-曼通宁猜想是，这个理论对于电和磁完全是对称的。这个猜想很难被直接证明，原因是虽然磁荷存在，它们却以一种极其隐蔽的方式存在：它们是场论中的所谓孤子解。在经典场论中证明这个猜想已经很难，要在量子理论中证明这个猜想是难上加难。尽管如此，人们在1994年前后已收集到很多这个猜想成立的证据。狄
拉克早在1940年代就已证明，量子力学要求，电荷和磁荷的乘积是一个常数。如果电荷很小，则磁荷很大，反之亦然。在场论中，电荷决定了相互作用的强弱。如果电荷很小，那么场论是弱耦合
的，这种理论通常容易研究。此时磁荷很大，也就是说从磁理论的角度来看，场论是强偶合的。奥立弗-曼通宁猜想蕴涵着一个不可思议的结果，一个弱耦合的理论完全等价于一个强耦合的理
论。这种对偶性通常叫做强弱对偶。
有许多人对发展强弱对偶作出了贡献。值得特别提出的是印度人森(Ashoke Sen)。 1994年之前，当大多数人还忙于研究弦论的一种玩具模型，一种生活在两维时空中的弦，他已经在严肃
地检验15年前奥立弗和曼通宁提出的猜测，并将其大胆地推广到弦论中来。这种尝试在当时无疑是太大胆了，只有很少的几个人觉得有点希望，史瓦兹是这几个人之一。要了解这种想法是如何地大胆，看看威顿的反应。一个在芝加哥大学做博士后研究员的人在一个会议上遇到威顿。威顿在作了自我介绍后问他-这是威顿通常作法-你在做什么研究，此人告诉他在做强弱对偶的研究，
威顿思考一下之后说：“你在浪费时间”。
外链图片需谨慎，可能会被源头改Gabriele Veneziano
本帖一共被 4 帖 引用 (帖内工具实现)家园 这个有一个更通俗的视频，还是正牌的不是民科Brian G <iframe width="420" height="315" src="//www.youtube.com/embed/YtdE662eY_M" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
家园 看完了，啥也看不懂 此文远远称不上通俗。更远远不如《上帝会掷骰子吗--量子物理史话》来的好看。
家园 有这个意图啦。顶一下～
家园 【文摘】弦论通俗演义（十） 第四章 第一个十五年（第一节）
从1968年威尼采亚诺发表以他的名字命名的散射振幅公式到1984年的超弦第一次革命，弦论的初级阶段大概延续了15年。转眼之间，弦论的第二个15年也已过去。我们仅用一章来谈第一个15年，第二个15年将是本演义的主要话题，要看作者的能力、精力和时间，写到那儿就是那儿。
我们早在第一章就已提过，弦论起源于60年代的强相互作用的研究。60年代粒子物理主流是强相互作用，原因很简单，因为加速器的能量正好处在探测强相互作用的能区，即几个京电子伏(Gev)和几十京电子伏之间。建在加州大学柏克利分校的同步加速器所达到的能量是6.2京电子伏，在50年代末和60年代初提供了大量的关于强相互作用的数据，不断地产生新的强子。所以柏克利的丘(Geoffrey F. Chew)近水楼台先得月，成了60年代粒子物理领导潮流的人。由于新强子的不断产生，人们很快认识到场论无法用来描述强相互作用。由于高自旋强子共振态的存在，场论无法避免一些令人不快的性质，如不可重正性。朗道等人也早就证明即使是最成功的量子场论，量子电动力学，在根本上是不自恰的理论。量子电动力学是可重正的，但是它的耦合常数随着能量的提高而变大，且在一定的能量上达到无限大。这个能量叫朗道极点。朗道极点的来源是有限的电子质量和在这个能量上有限的耦合常数。如果我们希望将朗道极点推到无限大，那么低能的耦合常数只能是零，这就是有名的莫斯科之零。
由于以上所说的原因，整个60年代量子场论被看成是过时的玩意。丘等人强调场本来就是不可观察量，只有散射振幅是可观察的，所以散射矩阵理论成了60年代的时尚。坚持研究量子场论的人廖若晨星，我记得丘当年的一个学生谭崇义经常告诉我，就连盖尔曼(M. Gell-mann)都不得不跟随潮流，可见丘及其跟随者的影响力。谭崇义在提到这些往事时是得意的，因为丘不仅影响大，而且看问题有一定的哲学深度。维尔特曼后来的话很好地体现了研究场论的人少到的程度：他自己是恐龙时代少数的量子场论哺乳动物。公理化场论的创始人惠特曼(A. Wightman)在他的普林斯顿办公室的们上贴了张纸条，上书：本办公室应丘的指令已经关闭。
散射矩阵理论被看作唯一可以描述粒子物理的理论。散射矩阵理论拒绝讨论任何局域可观察量，虽然不排除适当的局域性。散射矩阵理论首先要求绝对稳定的粒子态存在，这些粒子态和相应的多粒子态形成渐进态集合。散射矩阵无非是从渐进态集合到渐进态集合的一个线性映射。散射矩阵满足数条公理：对称性，么正性和解析性。对称性无非是说散射矩阵元在一些对称变换之下不变，最一般的对称性就是彭加勒对称性，一些内部对称性也是允许的。么正性就是量子力学中的机率守恒。最后，解析性是散射矩阵理论中最有意思，也是最不容易理解的性质。所谓解析性是指一个散射矩阵元作为一些动力学量如质心能量、交换能量，角动量的函数是解析函数。对于一些简单的散射过程，人们可以证明解析性是相对论性因果律的推论，最早的色散关系就是这样导出的。事实上，离开局域量子场论，人们只能假定一般的解析性是宏观因果律的推论。 最常见的，也是分析得最透彻的是两个粒子到两个粒子的散射振幅。两个粒子当然可以通过散射变成许多不同的粒子，把所有这些过程都包括的结果叫全散射过程(inclusive process)，而仅考虑两个粒子散射成两个固定的粒子的过程叫排他过程(exclusive process)。解析性通常只是针对排他过程而言。这样一个过程，除了各个粒子本身的标记，可变动力学量只有两个，就是两个粒子在质心系的总能量和粒子散射过程中的能量转移。第二个量在质心系中又和粒子的散射角有关，这两个动力学量是更一般的叫做曼德斯塔姆变量(Mandelstam)的一种特殊情形。将粒子散射振幅看做曼德斯塔姆变量的函数，并将这个函数延拓到每个变量的复平面上，除了一些特殊的点之外，散射振幅是每个曼德斯塔姆变量的解析函数。这个重要特徵在很多情况下可以用来几乎完全决定整个散射振幅。
60年代的实验表明，很多两个粒子到两个粒子的散射振幅满足一种对偶性，这种对偶性叫s-t道对偶，也就是说散射振幅作为两个曼德斯塔姆变量s和t的函数是一个对称函数。物理上，这等于说散射振幅的s道贡献等于t道的贡献。我们现在解释一下何为s道贡献何为t道贡献。在粒子散射过程中，如果两个散射粒子先结合成第三个粒子，这第三个粒子再分裂成两个粒子，这个过程就叫s道过程。我们举两个s道过程的例子。第一个例子是，光子与电子的散射，也就是康普顿散射。在这个散射过程中，电子先吸收光子变成一个可能不在质壳上的电子，然后发射出一个光子再回到质壳上上去。另一个例子是，一个电子与一个正电子湮灭成一个光子，然后这个光子再分裂成一个电子和一个正电子。我们叫这种过程为s道过程的原因是中间过程中的第三个粒子的能量就是质心系中的总能量，也就是s。t道的物理过程的定义是，在两个粒子的散射过程中，这两个粒子并无直接接触，而是通过交换一个粒子进行相互作用。这个被交换的粒子的能量就等于交换能量，也就是t，所以这种过程叫t道过程。
通过以上的描述，我们看到s道贡献和t道贡献的贡献完全不同，直觉告诉我们这两个道对一个散射振幅的贡献不可能相等。如果我们用量子场论来计算，s道贡献和t道贡献的确不等，所以如果s-t道对偶在强相互作用中是严格的，那么强相互作用就不可能用量子场论来描述。当然我们可以推广量子场论使其包括无限多个场，这样每个道都有无限多个过程，虽然s道中的每一个过程不与t道中的某一个过程相等，这两个无限之和却有可能相等。
1968年，威尼采亚诺猜到了一个简单的但具有s-t道对偶性的散射振幅公式。这个公式的确可以拆成无限多个项，每一项对应一个s道过程，中间第三个粒子的自旋可以任意大，而质量也可以任意大。这个公式同样也可以拆成无限多个t道的贡献，每个被交换的粒子有自旋和质量。对于一个固定的自旋，粒子质量有一个谱，这个谱的下限与自旋有关。数学上，最小质量的平方正比于自旋，这个公式叫雷吉轨迹(Regge trajectory)，是雷吉在分析散射振幅作为角动量的解析函数时发现的。这个发现早于威尼采亚诺的发现。雷吉轨迹又和雷吉行为有关，雷吉行为是，当质心系中的总能量很大时，散射振幅作为质心系能量的函数是幂律的，这个幂与交换能量成正比。这种行为在t道中有简单的解释：每个t道的贡献与总能量的幂次成正比，幂次就是被交换粒子的自旋；而最大自旋又与该粒子的质量平方成正比，对整个振幅贡献最大的粒子的质量平方接近于交换能量的平方。
威尼采亚诺公式在当时来说仅适用于一种两个粒子到两个粒子的散射。这个公式在当年和第二年被许多人作了在不同方向上的推广，如巴顿和陈(J. E. Paton and H. Chen)将它推广到散射粒子带有同位旋量子数的情形，他们引进的同位旋因子在以后构造含有规范对称的开弦中起到不可或缺的作用。现为的里雅斯特国际理论物理中心主任的维拉所罗(M. Vorasoro)将威尼采亚诺公式推广到针对三个曼德斯塔姆变量完全对称的散射振幅，这个维拉所罗公式后来被证明是闭弦的散射振幅。不下于4组人独立地将威尼采亚诺公式推广到包括任意多个粒子参与散射的情形。富比尼(Fubini)和威尼采亚诺本人证明这些散射振幅可以分解为无限多个两个散射振幅的乘积，这两个散射振幅通过一个中间粒子联接起来，而这个中间粒子可以表达为谐振子的激发，这离发现弦的表述只有一步之遥。
家园 【文摘】弦论通俗演义（十一） 第四章 第一个十五年（第二节）
弦的一般散射振幅被发现满足因式分解的性质后，很清楚这些散射振幅实际上是一种树图散射振幅，因为联接两个因子的粒子通常被看做自由粒子。基于这样一种看法，很自然地人们应寻找作为中间态的无穷多个粒子的解释。
自从威尼采亚诺散射振幅发表之后，匆匆又过两年，所有推广的威尼采亚诺散射振幅同时被三个人证明是弦散射振幅，这三个人分别是，南部(Y. Nambu)，萨氏金(Leonard Susskind)和尼尔森(H. B. Nielsen)。不同寻常的是，这三个人都是有数的非常有原创性的人，我有幸在不同的时期和其中两个人有较长时间的接触，而仅在最近才和第三个人有过直接的交谈，我在解释弦的表示后再谈对这三个人的看法。
如同任何一个散射矩阵理论，当初态中的所有粒子的总能量和动量满足一个在壳关系，即总能量和动量可以看作一个理论中存在的一个粒子的能量和动量，这个散射矩阵元必须满足分解关系，分解成两个散射矩阵元的乘积，其中间态就是那个粒子。威尼采亚诺公式正满足这个分解关系，不但如此，它满足一组无数个分解关系，有无数个可能的中间粒子态。这些态的质量和自旋可以任意大。
最为不同寻常的是，有一个质量为零自旋为2的中间粒子，这和引力子相同。这个重要特徵在早期基本上为大家忽略。根据散射矩阵所满足的么正性，所有出现于中间态的粒子也应为可能的初态，也就是说，包含威尼采亚诺散射振幅的理论含有无穷多个粒子。这些粒子可以用一组谐振子简单的表达出来，上面提到的三位的工作说明，这组谐振子实际上就是在时空中运动的弦的量子化。当一根弦在时空中运动起来，如不发生相互作用，它划出的世界面是一个柱面。当然，不同于我们通常所看到的，这个柱面很不光滑，因为弦在运动的过程中，除了振动之外，还有量子涨落。当弦有相互作用时，弦在运动的过程中可能从中间断开，变成两根弦；也有可能与另一根弦结合成一根弦。从弦自身的角度来看，这种相互作用是局域的，就是说，相互作用总是发生在弦上的某一点，而不是在许多点同时发生作用。从时空的角度讲，这种相互作用有一定的非局域性：比如说，两根闭弦(closed strings)形成一根闭弦，在时空中，我们看到的是一个类似裤衩的图，其中两个裤腿是两根初态弦划出的世界面。裤衩交叉处应为相互作用点，如果我们拿刀来切，如果切出一个八字形，交叉处即为相互作用点。可以想象一下，不同的切法会得到不同的八字形，从而得到不同的相互作用点。这些不同的切法有物理对应，即不同惯性参照系中等时截面。既然相互作用点都不能完全确定，弦的相互作用的确有一定的非局域性。
以上描述的非局域性是弦论中相互作用最不同于点粒子相互作用的地方。这种非局域性是导致弦微绕计算没有通常的紫外发散的原因之一。在弦论的微扰论中，一个圈图在拓扑上是一个黎曼面，没有任何奇点。而点粒子相互作用的圈图，通常的费曼图，每一个相互作用点就是一个奇点。用数学的术语说，弦的圈图是流形，而粒子的圈图不是流形，是一个复形(complex)。
威尼采亚诺振幅是弦论中最简单的包含动力学信息的振幅，它对应一个树图，这是微扰论中的最低一级。所以中间态看起来都是稳定粒子态，这里所谓的粒子无非是弦的一个激发态。如果将圈图包括进来，绝大部份粒子态变成不稳定态。在散射矩阵理论中，不稳定粒子态对应于一个有着复质量的极点，其虚部与该粒子的寿命成反比。
可以证明，我们可以在弦的微扰论中引进一个常数，而保证不破坏散射矩阵的么正性。这个常数就是耦合常数，每个圈图都与这个常数的一个幂次成正比，幂正比于圈图的圈数。计算圈图是一种很特殊的工作，要用到黎曼面的很多数学理论。在弦论早期，计算高圈图的唯一的工具是曼德斯塔姆的光锥规范(light-cone gauge)下的技术，这也仅适用于纯玻色弦。
现在我们简单介绍一下发现弦论的三个人。南部这个人在物理界以非常有原创性著名，他的南部-哥德斯通(Goldstone)定理应为他的最为人熟知的工作，他也是最早提出夸克概念的人之一。有人说过这样的话：你如果想知道十年后物理中流行什么，你只要注意南部现在的工作。这说明南部工作的两个特点，一是他很少追逐流行的东西，二是他想得比很多人远而且深，没有足够的时间他的想法和工作不易为他人所了解。南部是很谦虚的人，如果你第一次见到他，很难相信他是一个对物理学作出那么大贡献的人。我在芝加哥待了三年，现在对他的印象和第一次见到他留下的印象完全一样。
当南部在一个会议上提出他的弦论的解释时，他的年纪已远不止四十岁。而同时提出弦的概念的萨氏金和尼尔森则不到三十，他们分别于最近两年度过六十。南部和尼尔森在早期涉足弦论后，虽也偶尔回到弦论上来，大部份都是关于强相互作用的弦的解释。萨氏金则不同，他除了在唯象上有一些重要工作外，他主要的精力是放在弦论和黑洞问题上。萨氏金的演讲表演才能是人所共知的，据说是继承了费曼的衣钵。他有一次自己开玩笑说，他是一个巡回演出的马戏团。关于他最著名的故事是一次他去康乃尔大学演讲，因脱光在一个湖中游泳被警察以有伤风化罪拘留。
现在来看，已有很大的把握说，萨氏金到目前为止最大的贡献是M理论的矩阵模型。这是他和另外三个人在1996年提出的。那时他也早已过了五十。他目前还是十分活跃，我想这种罕见的学术长寿与他的佻达个性不无关系。
尼尔森个性的特别大概还在萨氏金之上，他似乎只有一根神经，就是物理。起码在我看来，他与人讨论或聊天的方式奇怪之极，很不容易把握他说的是什么。我在玻尔研究所时，由于是一个人，往往在所里待到深夜。他当然比我大很多，有一个女友，南斯拉夫人。他不管这些，每天在所里待得比我还晚。有时喝咖啡在休息室遇到他，不免坐下聊天。虽然我只听懂他所讲物理的百分之二十到三十，出于礼貌，我频频点头。他的讨论物理，对人有催眠作用。
尼尔森的特点是绝不研究潮流问题，由于他的很多想法和见解非常独特，知道他的人都非常尊重他。多年来，他的一个主要想法是，在最微观的层次上，物理的定律是随机的。我们看到的规律是重正化群向一个不动点流动的结果。这当然与弦论背道而驰。
再回到弦论本身上来。在早期，虽然散射振幅的计算技术已发展得相当成熟，而一些重要的基本东西是相对晚些时候才被发现，如玻色弦只在26维才有可能是自洽的。在另外的任何维数中，洛伦兹对称总是被破坏。原因是，自旋为二的粒子及其同伴的质量不为零，但粒子数目要小于有质量的粒子应有的数目。只有在26维中，这些粒子是无质量的。
家园 【文摘】弦论通俗演义（十二） 第四章 第一个十五年
（第三节）
在弦论的早期，最令人困惑的问题是弦的基态和时空的维数。弦的基态质量由雷吉轨迹公式中的一个常数，即所谓的截矩(intercept) 来决定。在雷吉轨迹公式的左边是质量的平方，右边是对应这个质量的最大的自旋，再加上这个截矩。还有一个带质量平方量纲的常数，与弦的张力成正比。截矩是时空维度的涵数，通常是负的，所以玻色弦的基态的质量平方是负的，也就是快子，说明所谓的真空是不稳定的：真空的“激发态”中包括随时间成指数增长的模。
当时空维度恰为2时，所谓的快子变成零质量的粒子。在这个两维的玻色弦中，维一可被激发的粒子就是这个无质量的“快子”，所以这个弦理论很简单。在早期，由于有很多事情要做，并没有人来注意这个两维的弦理论。直到1989年，当其它的研究放慢时，人们才投入极大的精力来研究这个玩具模型，这是后话。
再说玻色弦为什么只在26维中是“自恰”的，这里自恰用引号原因是我们先忽略快子问题。首先，我们看弦的第一激发态，即自旋为2的粒子及其夥伴，我们在上一节末尾已提过，这些激发态只有在26维中才是无质量的，才可能成为洛伦兹群的一个表示，从而整个理论才可能有洛伦兹对称性。无质量这一问题在玻利雅可夫 (A. M. Polyakov) 的表示中并不明显，因为通过所谓顶点算子 (vertex operator) 决定出的质量在任意维中都为零。此时的问题是，由于弦世界面上的绝对标度是一个动力学量，顶点算子本身的定义就成问题：因为顶点算子要在世界面上做积分，故世界面上的度量要有好的定义。弦世界面上的绝对标度只有在26维才可以“合法”地认为可以扔掉，也就是脱耦，我们后面再仔细谈这件事。
如同任何含有高于0的整数自旋的理论一样，弦论也有一个如何脱耦鬼场的问题。这些鬼场的能量可以是负的，在一个量子理论中同样带来稳定性问题。一个“初等”的例子是量子电动力学，其中矢量场的时间分量对应的量子就是鬼场，这里人们利用规范对称性来消除鬼粒子。同样，弦论中有很多鬼场，人们可以用光锥规范 (lightcone gauge)，这样鬼场自然消失，但洛伦兹不变性就不能直接看到。如改用协变规范――明显洛伦兹不变的规范，我们就要证明，所有鬼场在物理量中，即散射振幅中不出现。这被哥德斯通等人于1973年证明 ( P. Goddard, J. Goldstone, C. Rebbi, Charles B. Thorn)，证明中的关键要用到维拉所罗 (M. Vorasoro) 代数的限制。维拉所罗代数的来源很类似量子电动力学中去掉纵向自由度的限制，起源于在简化南部作用量 (非线性的) 过程中 (从而得到线性作用量) 的限制。在后来，这些限制联系到弦的世界面上的共形不变性，同样我们在将来再解释。
以上说的是微扰弦论最重要的特点，这些是与通常量子场论的不同之处，可惜这些重要结果不能用更通俗的方法来解释清楚。这大概可以被拿来说明为什么弦论目前还处在一个初级阶段。
经常有人将超弦的微扰论的有限性质归结于超对称，在场论中，这种说法自然是正确的，见我们在第三章中的介绍。在弦论中这样说是错误的，超对称只是有限性的一个部份原因。真正重要的原因是弦本身的延展性，就是我们前面早就提过的高能区自由度少于场论中的自由度。表面上看来，这样说正好与弦的一次量子化所得结果相反，因为随着质量的增加，不同粒子的个数与质量是一个指数关系。弦的美妙之处在于，虽然粒子个数无限制地增加，弦的相互作用的方式使得散射振幅在高能区变得越来越小于任何场论中的结果。
这种反直觉的结果有一个非常直观的物理解释。在场论中，当我们提高能量时，我们所用的“探针”如对撞的粒子能探测到越来越小的空间。这样在小空间的量子涨落会越来越多地影响粒子间的相互作用，从而引起紫外发散，我们在第三章中已谈过。弦的不同之处是，当我们提高能量，能量的一部份自然用来加速弦的质心，而更多的能量实际是耗费在加大弦的尺度，所以能量越高我们并不能将能量集中在一个小区域。相反，能量越高我们可能在探测一个更大的空间。这就是近来大家谈得很多的紫外－红外对应。
举一个例子，最简单的量子贡献是单圈图。这个图就象一个面包圈，有两个半径。当能量很高时，两个圆之一的半径越来越小，这类似于粒子的费曼图，那个粒子传播的圈越来越小。由于世界面上的共形不变性，将这个面包圈放大，则小圆变大，而大圆就更大。将变得更大的大圆看作是弦的传播轨迹，这是红外的单圈图。所以，如果有任何紫外发散，这个紫外发散就应对应于一个红外发散。在量子场论中，通常的红外发散说明我们取的场论“基态”不是真正的基态，应该修正无质量场的真空取值。当然，如果理论中含有快子场，也有红外发散。
很快我们就要说到超弦，在超弦中不存在快子，唯一可能的是与无质量粒子相关的红外发散。如果有足够多的超对称，就不会有任何红外发散，从而紫外发散也就可以避免了。
谈谈后话，1988年，格罗斯 (David Gross) 和他的学生门笛 (P. Mende)比较系统地研究了弦的散射振幅在高能极限下的行为，发现随着能量的增大，振幅成指数衰减 (当散射角固定时)，比场论中常见的幂次衰减要快得多。其原因与我们上面说的散射振幅有限的原因一样，散射振幅与弦世界面的面积成指数衰减的关系，能量越大，世界面的面积越大。他们由此得出一个新的测不准关系，即测量的距离不但有一项于能量成反比，还有一项于能量成正比。无疑，这个关系在弦的微扰论中是正确的。
与此几乎同时，日本的米谷民明 (Tamiaki Yoneya) 论证，出于类似的理由，特别是世界面上的共形不变性，应存在一个时空测不准关系。该测不准关系说，测量的纵向距离和测量过程的时间成反比。这是一个很有预见性的工作，在当时并没有受到足够的重视，在弦论的第二次革命中，我和他证明了这个关系实际上在非微扰的层次上也是正确的。我们相信，这个测不准原理应是弦论甚至是M理论中最重要的原理之一。当然，弦论目前的发展还没有很好地体现这一原理。
这个原理也应和目前流行的量子引力的全息原理有深刻的联系，我本人一直很关注这个问题，希望时常能在研究中回到这个问题上来。当然在这个谈超弦的第一个十五年的章节中提这件事不是为了顺便吹嘘一下自己，而是想让读者留下对我钟爱的话题一个较深的印象。
本节基本无八卦，一是因为最近小事多，无心去细想，还有就是我不太了解这一段文献背后的真实历史。大家有兴趣的话可以将最近史瓦兹的一些回忆文章看一看，我喜望在下一节中能有机会八卦一下。
家园 【文摘】弦论通俗演义（十三） 第四章 第一个十五年
（第四节）
超弦的引进我们在第三章第四节已讲过，这里作一下简单的回顾。法国人雷芒，其时在费米实验室工作，首先在弦上引入费米场，这相当于狄拉克矩阵的推广，所以时空中也就有了费米子。纳吾－史瓦兹也引入弦上费米场，但满足反周期条件，这样就有了时空中的玻色子。1976年，格舍奥 三人引入格舍奥 投射，去掉雷芒分支以及纳吾－史瓦兹 分支中一些态，这样时空中就有了超对称，特别是原来的快子也被 投射出去，也就没有了真空稳定性问题。
同样基于洛伦兹不变性的要求，超弦所在的时空必须是十维的。十维对于粒子物理学家来说是太大了，对于数学来说不算什么，但也有点特别。对于研究卡鲁查 (Kaluza) 克来茵 (Klein) 理论的人来说不算特别大，正好比最高维的超引力低一维，从由紧化而得唯象模型来说也许正好，这是后话，是第二次超弦革命的重要话题之一。
对于开弦来说，格舍奥投射只有一种可能，因为法则是唯一的，开弦中雷芒分支和纳吾－史瓦兹分支每样只有一个。在威尼采亚诺公式提出后不久，张 (译音) (Hong-Mo Chan ) 和巴顿 (J.E. Paton)于1969年指出如何对每个弦态引入内秉自由度，他们称作同位旋。用现在的眼光来看，无非在开弦的两个端点引进电荷。这是一个关键的概念，这样规范场才有可能在弦论中出现。我们知道，非阿贝耳规范场所带的“电荷”是一个连续群的伴随 (adjoint) 表示，也就是说，每一个内秉对称性都有一个规范场与之对应。现在，如果开弦的每个端点带一个电荷，那么整个弦的电荷是端点电荷的“直积”。有意思的是，理论上的自洽要求这个直积就是一个群的伴随表示。
理论上的自洽要求对称群是三个系列的一种，这个要求就是散射振幅的因子化，因子化的概念我们也在前面提到过。三个系列的群分别是酉群，辛群和正交群。前两者对应的开弦是可定向开弦，即在时空中运动的一个位形对应于两个不同的弦，在弦上有一个箭头。这从端点的电荷，张－巴顿 电荷来看很容易理解。对于酉群和辛群来说，有两个最基本的表示，电荷“相反”，开弦的一端带“正电荷”，另一端带“负电荷”，所以弦有一个明显的指向，即从“负电荷”到“正电荷”。正交群则不同，只有一个基本的表示，类似空间中的矢量。在这种情况下弦的两端点带类似的电荷，弦也就是不可定向的。
开弦的另一个重要特点是，一个自洽的理论不可避免地要含有闭弦，如果有相互作用的话。这是因为开弦的相互作用发生在端点，例如，两个开弦通过端点的连接成为一个开弦。如果这样，一个开弦本身的两个端点也可以连接起来成为一个闭弦，这是比较直观的解释。数学上，当我们计算开弦的单圈散射振幅时，我们遇到弦的世界面为环面的情形，如果数个弦态进入环面的一个边界，而另外几个弦态由环面的另一个边界出来，其中间态是一个闭弦。散射矩阵的么正性要求，任何一个中间态也应成为初始态或末态。由于闭弦态含有引力子，这样一个开弦理论也应包括引力子。而在开弦中，由于规范不变性，有规范粒子，这样在这个理论中自旋为1的粒子和自旋为2的粒子就统一了起来。 纯粹闭弦的理论理论中的弦必须是可定向的。这是因为，在闭弦理论中总存在伴随于引力子一种反对称张量粒子，这些粒子可以认为是对应于弦的规范场，在某种意义上整个弦带有这个规范场的荷，而只有可定向的闭弦能与反对称张量场耦合。闭弦还有一个特点，就是当弦振动时，在弦上向两个方向运动的模完全独立，我们称之为左手模和右手模。对于超对称闭弦来说，就有了两个独立的雷芒分支和两个独立的纳吾－史瓦兹 分支，而任一个闭弦态是左手一个分支中的态和右手一个分支中的态的直积。这样就有了4个闭弦分支：雷芒－雷芒分支，纳吾－史瓦兹－纳吾－史瓦兹分支，雷芒－纳吾－史瓦兹 分支，纳吾－史瓦兹－雷芒分支。前两个分支中的态都是玻色子，后两个分支中的态都是费米子。
我们在作格舍奥投射时，左手模和右手模可以独立地做。这样就有了两种可能，一种方法得到的理论叫IIA 型理论，另一个叫IIB型理论，前者从时空的角度看没有手征性，也就是说存在一个弦态就存在其镜象反演态，而后者有手征性。
超弦的低能理论是超引力理论，所谓低能，是指能量低于弦的张力所确定的能标。这样的理论只包括无质量的弦态。有趣的是，几乎所有超引力的发现都在对应的弦论发现之前，型IIB例外，IIB超引力理论是史瓦兹通过弦论的导引发现的，它的构超不同一般，这里你只能写下超引力的运动方程，传统的东西如作用量和哈密顿量至今还没有人能够写出。
1974年，日本北海道大学的米谷民明 (北海道是他的家乡)，加州理工学院的史瓦兹 以及在那里访问的法国人舍尔克独立发现弦论的低能极限是规范理论和爱因斯坦的引力理论。今天看来这也许一点也不奇怪，因为有这样的定理：包含自旋为1粒子的相互作用理论一定是规范理论，而包含自旋为2粒子相互作用理论一定是广义相对论。在当时并没有这个定理，即便有这个定理，人们也希望通过弦的相互作用直接看到规范理论和引力理论。米谷民明 ，舍尔克－史瓦兹所做的恰恰是这些。理论计算已经很复杂，但比计算更令人佩服的是，他们同时建议重新解释弦论，将弦论作为一种量子引力理论，也作为一种统一引力和其它相互作用的理论。在此之前，弦论一直作为一个强相互作用的理论来研究，所以弦的能标是100个兆电子伏 (100 Mev)，如果“自然”地将弦的能标等同于普朗克能标，这样一下子将能标提高了20个量级。这是相当大胆的一步。
米谷民明当时还非常年轻，应当比他的西方竞争者都年轻。我当然认识他，从第一次在布朗大学见到他到今天也近十年了。这十年中几乎没有变，个子当然还是比较矮小，说话轻声，态度谦虚。虽然他是日本人这一行里思考最深刻的人，从他的谈话中根本感觉不到这一点。这也许是几乎所有日本人的特点，起码在学界中的日本人是这样，表面上不是很自信，但如你想改变他们的一个想法通常很难很难。
史瓦兹是在弦论第一次革命之前自始至终研究弦论唯一的人，在前期，他的主要合作者是舍尔克；后期，他的主要合作者是格林(M. Green)。当史瓦兹还在普林斯顿做助教授时，舍尔克和纳吾由法国到普林斯顿作类似博士后的研究，我说类似的原因是法国的学位不是美国的博士学位，虽然类似。那时当然是舍尔克物理研究的开始。实际上，纳吾和舍尔克首先发现开弦的低能极限包含规范理论，这种低能极限叫作零斜率极限 (zero slope limit)，原因是当弦的张力取为无限大时，雷吉轨迹公式中的斜率，弦的长度标度的平方，趋于零。这个极限是舍尔克第一个研究的。在舍尔克诸多贡献中，有上面提到的他与史瓦兹的工作，他与史瓦兹和布林克在不同时空维中构造了超对称规范理论，当然还有格舍奥 投射，和史瓦兹研究了一种超对称破缺方法，等等。贯穿于他所有工作是他的物理想法，他是早期弦论中最强调物理直觉的人。可惜他没有活到弦论的第一次革命从而看到他多年的信念被很多人所接受，他在1979年底去世，应是不堪忍受病痛。在他去世前，他在强调一种反引力，其实就是弦论中反对称张量场和伸缩子(dilaton) 引起的反引力，这在弦论的第二次革命中起了重要作用。我们很难想象，如果舍尔克能活到今天，他会对弦论做出多大的贡献。
史瓦兹在结束和舍尔克的合作后，和格林开始了第一次合作。他们的第一次合作的结果是证实了格舍奥等人关于弦论中超对称的猜想。在他们后来的合作中，他们主要是围绕超弦的相互作用、超弦的低能极限开展工作。主要的结果包括超对称的证实，超弦世界面上的直接实现时空超对称，超弦的各种相互作用，超引力作为超弦的低能极限。当然，最为重要的工作是发现弦论中的反常抵消，从而大大减少了可能的弦理论的数目，把弦论与粒子物理的关系推进了一步，也因此引起弦论的第一次革命。
家园 【文摘】弦论通俗演义（六） 第三章 超对称和超引力
（第一节）
场论与量子力学的结合产物是量子场论。量子场论早期遇到的困难是紫外发散。发散对物理学家来说并不陌生，洛伦兹和彭加勒在古典电子论中已经遇到了发散，就是电子的无限大自能。他们假定电子的半径不为零，这样就得到了有限的结果。非常令人惊奇的是，如果假定电子的能量完全来自自能，他们的结果与爱因斯坦的著名的质能关系几乎一样。而洛伦兹的结果出现在1904年，比爱因斯坦发现狭义相对论早了一年。另外一种发散导致普朗克早几年引进量子的概念，这就是黑体辐射的紫外灾难。
紫外灾难与电子的无限大自能不同之处在于，后者是由于电荷集中在无限小的区域，而前者的原因是一个固定的相空间区域有无限多个态。普朗克引进量子使得每一个态占据一定的相空间，因此黑体幅射作为一种自由理论变成了有限的。量子论并没有解决相互作用的发散问题，因为这种发散的根源是，在一个固定的空间区域有无穷多个自由度。换言之，对应一个有限的空间区域，其相空间为无限大，我们必须计及无限大的动量空间。所以，普朗克的量子“正规化”了相空间，并没有将空间“正规化”。
一种人为的正规化办法是在动量空间引进截断，也就是说我们在做计算的时候假定有一鲎畲蟮亩?量。通过测不准原理，这样做等价于在空间上作一个小距离截断。从场论的观点讲，这等于我们假定所有的场在小于一定的距离上没有变化。这样做既排除了经典上的发散如电子的无限大自能，也排除了新的量子发散。新的量子发散来自小距离上的量子涨落，如正负电子对的产生和湮灭。当截断被去除后，通常我们还是得到无限大的结果，这就迫使人们引进“重正化”。重正化的办法是引进所谓裸参数，如电子的质量和电荷，这些裸参数是截断的涵数。而物理参数仅是物理过程涉及到的能量的涵数，其来源分成两部份，一部份是裸参数，另一部份来自介于截断和物理能量之间的量子涨落。如果所有的无限大都能用重正化来消除，我们则称该量子场论是可重正的】
以上的重正化观念是老的观念，也就是费曼、薛温格和朝永振一郎所采用的办法，现在又叫粒子物理的重正化观念。现代有效量子场论并不要求可重正性。在有效量子场论中，如果我们仅仅对一定能量以下的物理现象感兴趣，我们可以将高能的模“积掉”，也就是说高能的模对低能模的效应可以由低能模的有效哈密顿量 (Hamiltonian) 或者拉氏量 (Lagrangian) 完全体现出来。不同的高能拉氏量可能产生相同的低能拉氏量，如果我们仅对一定能量以下的物理感兴趣，高能理论
的行为就无关紧要了。一个不可重正的理论在高能区需要越来越多的参数，所以，用现代量子场论的观点来看，可重正性等价于高能区有一个不动点，这就是可重正性的可预言性的全部含义。
所以，我们并没有理由要求我们的粒子模型一定是可重正的。粒子物理的标准模型恰恰是可重正的，严格来说，这并不意味着标准模型有一个紫外（高能）不动点，但肯定意味着标准模型可以被放进一个更大的、有紫外不动点的理论。这个事实本身，从有效量子场论的角度来看，已经耐人寻味。如果把引力包括进来，我们有理由要求整个理论是可重正的，因为引力本身已经蕴涵着一个能量极限，也就是普朗克能量。当然我们也可以假定在普朗克能量之上还不断地有新的物理，这种哲学和统一观点背道而驰。也许，标准模型的可重正性以及弦论作为可重正的（其实是有限的）引力 理论的存在是对持统一观点的人的极大支持。
有两种方式判定一个理论是否是可重正的。通常用的办法是微扰展开，就是从一个自由理论即没有相互作用的理论出发，加上一些相互作用项，每一项有一个对应的参数，通常叫做耦合常数。如果某个参数带有长度量纲或长度量纲的正幂次，我们称该项为无关项（irrelevant term）；如果对应的参数带有长度量纲的负幂次，则称该项为相关项 （relevant term）。一个无关项，通过量纲分析，在低能区变得不重要（无关因此得名）而在高能区变得重要，原因是其影响可通过一个无量纲参数，即耦合常数乘以能量的正幂次来确定。如果某一无关项在一能区存在，那么它在更高的能区会引出更多的不同的无关项，所以无关项又是不可重正的。
引力所对应的耦合常数是牛顿引力常数的平方根，所以引力是不可重正的。这个事实可以用以下的简单方法看出。爱因斯坦理论是非线性的，它的第一个相互作用项是度规场的立方项，其对应的耦合常数是牛顿引力常数的平方根。在四维中，如同任何一个玻色场，引力场带有质量量纲，即长度量纲的倒数。立方耦合项一定含有两次微分，这同样可以通过量纲分析来看出，因为耦合常数有长度的量纲。一个相互作用项所含的微分次数越高，它对量子涨落的发散的贡献越大，因为该项在高能区变得越来越大――每增一次微商，就多了一个能量因子。为了消除这些发散，我们就不得不引进越来越多的无关项，这样引力没有一个在高能区有好的定义的理论。
顺便提一下，我们前面说引力的最简单的相互作用项含有两次微商，这与引力子是自旋为２的粒子有关。一般的规范场所对应的量子自旋为１，其简单的相互作用项含有一次微商。更为一般的结论是，自旋为几的粒子所对应的相互作用必定含有几次微商。所以，一个含有自旋为３粒子的理论一定是不可重正的。在四维中，可以证明，可重正的量子场论最多只含自旋为１的粒子――这是70年代初量子场论的重要结果。 人们实际上得到更强的结论，所有可重正的，含有自旋为１的粒子的量子场论必为规范理论，即杨－米尔斯理论。
我们上面提到，以威尔逊的现代场论观点来看，我们没有理由要求引力是可重正的。也许真实的图象是，当我们不断地提高能量，物理理论变得越来越复杂，而爱因斯坦的理论只不过是一个低能有效理论。虽然我们不能完全排除这种可能，我们提到的普朗克能标的存在暗示着在高能区存在一个简单的量子引力理论。黑洞的存在也支持这个可能性。设想我们用带有很高能量的粒子束来探测小距离上的时空结构，如果没有引力，海森堡测不准原理告诉我们能量越高，我们探测的距离越小。引力介入后，过去很多人，特别是惠勒(John A. Wheeler)，相信越高的能量会带来越大的时空涨落，如所谓的时空泡沫(spacetime foams)。时空泡沫指的是在普朗克距离上时空的拓扑不确定，有许多虫洞(wormholes)结构。黑洞的形成使得这些如时空泡沫的结构能否被观察到成为很大问题。能量越高，形成的黑洞就越大，其事件视界(event horizon)也就越大，所有可能的复杂的时空结构都被视界所掩盖。而视界之外的时空却非常光滑，能量越高，视界之外的曲率就越小，那么低能的有效理论也就越适用。如此，对于一个外部观察者来说，高能的量子引力行为就不可能被复杂的拉氏量中的无关项所主导。我们这里所描述的可能性现在叫做紫外－红外对应，即量子引力中的紫外行为与红外物理相关。
如此，我们相信在一个有引力的量子理论中，高能理论不会象有效量子场论所指出的那样，在高能区存在许多不可预测的可能性。量子引力本身必定是有简单定义的理论，换言之，量子引力是一个更大的，可重正的甚至是有限的理论的一部份。这个理论不太可能是爱因斯坦理论的简单量子化，因为我们已知道爱因斯坦理论不可能被简单地量子化。这就迫使我们寻找一个更大的，至少是可重正的理论。我们将被历史地，在某种程度上也是逻辑地带到超对称。
（这一节写完，我发现要将这里所讲的一些道理让仅有大学物理背景的人看懂，我至少要再花上是这里几倍的篇幅。我希望大多读者没有被吓走。好消息是，如果你读完这一节后还没有被吓走，你以后大概再也不会被吓走。）
家园 【文摘】弦论通俗演义（七） 第三章 超对称和超引力
（第二节）
超对称作为一种理论上的可能的发现是一段饶有兴趣的科学史。在读完前面关于场论中的无限大之后，也许我们会想当然地猜测超对称的发明是为了消除无限大。70年代初超对称不同的发现者有不同的理由发明超对称，却没有一个理由是为了将无限大驱逐出量子场论。
前苏联物理学家尤里－高尔芳(Yuri Abramovich Golfand)远在60年代末就开始寻找介于玻色子与费米子之间的对称性，他的动机是解决弱相互作用！当时温伯格－萨拉姆(Weinberg-Salam)模型还没有建立，温伯格关于弱电统一的文章发表于1967年。根据高尔芳的学生、他后来的超对称合作者伊夫金－利特曼(Evgeny Likhtman)的回忆，高尔芳在68年春已得到4维的超彭加勒代数 (super-Poincarealgebra)，这比西方发现超对称早了三年，比西方发现4维的超对称早了6年。可惜高尔芳并没有立即发表这个结果，因为他虽然克服了所谓的柯尔曼－满杜拉止步定理(Coleman-Mandula no-go theorem)，他还没有构造好实现这一对称的场论。这与目前信息时代的物理学家的发表态度形成鲜明的对比，我们可以在前天看到同行在网上贴出的文章，昨天作了一点推广式的计算，今天草就一篇大作，明天网上见面。顺便提一下，当我和人聊起超对称的发明的时候，常常有人将之归功于数学家盖尔芳(Israel Gelfand)。盖尔芳比高尔芳有名得多，是第
一届沃尔夫数学奖得主，生于1913年，比高尔芳大9岁。盖尔芳还活着且仍在发表文章（网上能查到的最新文章出于去年9月），而高尔芳已于1994年辞世。
前段时间也是来自前苏联的、现今在明尼苏达大学的谢夫曼(M. Shifman) 组织人为高尔芳出了一本纪念文集。读了谢夫曼写的前言，我才知道高尔芳在1973年至1980年之间失了业。他与利特曼的第一篇关于4维超对称场论的文章发表于1971年，这比西方第一篇4维超对称场论的文章早了三年，是关于用现代的术语讲就是超对称量子电动力学的。那么，高尔芳为什么在发表了如此重要的文章后被列别捷夫物理研究所(Lebedev Physical Institute)解聘呢？谢夫曼提供了二个可能的原因。一是，朗道发现了所谓的朗道极点之后苏联很少有人相信场论（在整个60年代，西方的大多数粒子物理学家对场论也失去信心，原因是弱相互作用不可重正，而强相互作用更是一团乱麻），他们比西方人更为保守。二是，有人认为高尔芳根本不懂他研究的东西，尽管他早在50年代末就做过重要工作，所以高尔芳就成了苏联科学院“精简－创新”的牺牲品。我们在这里猜测，如果外斯、朱米诺 (Julius Wess，Bruno Zumino)1974年的文章早发表两年 ，如果西方早两年就重视超对称，也许高尔芳的运气要好一些。高尔芳1990年举家去了以色列。
在西方，超对称的发现顺着完全不同的思路，最早的超对称的发现竟源于弦论。皮埃尔－雷芒 (Pierre Ramond) 当时在费米实验室工作，1971年，弦论被正式确认只有一年，他考虑如何在弦论中引进带半整数自旋的激发态（即费米子）。作为狄拉克矩阵的推广，他在弦运动起来的世界面上引进了费米场，并满足周期条件。非常类似狄拉克，雷芒的理论中所有弦的激发态都是时空中的费米子。注意，这里我们有意将时空与世界面区别开来，前者是弦运动的舞台，而后者类似粒子的世界线。虽然雷芒的理论中只有时空中的费米子，而弦的世界面上既有费米场，也有玻色场，这些我们留到后来再详加解释。同年，吉尔维(Jean Gervais) 和崎田文二(Bunji Sakita)发现如果将雷芒的理论写成世界面上的作用量，则这个作用量具有两维的超对称，这是出现在西方的第一个超对称作用量，与苏联人几乎同时。雷芒的理论现在又叫雷芒分支(Ramond sector)，因为它
是两种可能的分支之一。
作为一个小插花，我们谈一点关于雷芒的掌故。雷芒并没有因为第一个研究费米弦而得以永久留在费米实验室，尽管他在弦论中第一次引入费米的名字。现在费米实验室理论部的有些人谈到这件往事时往往半自嘲、半开玩笑地说，我们费米实验室从来不做弦论，我们已将超弦的创始人之一给解聘了。雷芒是很有幽默感、很健谈的人，也很喜欢谈掌故。我记得有一年夏天在亚斯本遇到雷芒，在一次午饭聊天中，他向一些年青人讲我们上一节提到的威尔逊的故事。有人问他，如果威尔逊没有发现重正化群和临界现象的重正化群理论，谁会发现它？（在此之前雷芒已谈到一些量子场论中的大人物，为了不得罪人，我们姑将姓名隐去。）他说，坎(Ken，威尔逊的名字)；再问一次，他仍然说坎，可见他对威尔逊的佩服程度。当然，绝大部份真正懂威尔逊理论的人都很佩服他，不懂就无从佩服起了。我相信我的读者也都很佩服，看一看上一节贴出后的热烈讨论！雷芒也是少数自己的名字在一个专业名词中出现两次的人，这个名词就是超弦中雷芒－雷芒分支。有一次他访问芝加哥，参加一个超弦的学术演讲。当时他是听众之一，我也有幸在场。当演讲者提到雷芒－雷芒分支时，听众中的杰夫－哈维 (Jeff Harvey) 扭头问他：“皮埃尔，另外一个雷芒是谁？”全场绝倒。
写到这里，真想再一次遇到他，尤其在我写这个演义的时候，这样可以从他那里贩卖一些关于弦论的掌故。象现在这样写下去，迟早要抖尽肚皮里的一点点存货。
以上是大家爱听的八卦，现在是谈一谈到底什么是超对称的时候了。我们先从大家熟悉的对称性讲起。日常的对称性有分立的对称性和连续的对称性，前者如一个正四边形，将之转动90度，还是原来的正四边形；后者如一个球面，以球心为原点，无论怎么转，还是原来的球面。这是一个物理系统固有的对称性，或一个物理态的对称性。在一个物理理论中，还有一种动力学的对称性。例子是，假如一个态本身不是转动不变的，但我们将之转动后，同时还转动用以描述它的座标，这样这个态的一切动力学性质和转动之前完全一样，这表明空间本身的各向同性和物理系统本身与空间的方向无关联性。在一个物理理论中，一个转动操作对应于一个算子，它将一个态映射到另一个态。现在，我们前面例子中的两个性质可以翻译成数学语言。空间本身的各向同性等于真空本身作为一个特别的态在这个算子的作用下不变；物理系统本身与空间的方向无关联性等于这个算子与哈密顿量对易（量子力学）或它与哈密顿量的泊松括号为零（经典力学）。
量子力学的法则告诉我们，一个算子如与哈密顿量对易，则它所对应的物理量是守恒的。对应一个转动算子，我们还没有一个物理量，原因是，这个转动算子是保长的，即保持态的内积不变，如我们提到的真空态。这样的一个算子叫酉算子，而一个物理量算子是厄米特算子。连续群的定理保证我们可以用厄米特算子构造酉算子，对于转动来说，相应的厄米特算子就是角动量。如果真空在酉算子作用下不变，那么它在相应的厄米特算子的作用下为零，也就是说真空没有角动量。我们可以将不同的态分类成角动量的本征态，但是一个任意态未必是本征态。
在量子场论中，有一类算子永远没有物理的本征态，尽管它们可以是厄米特的，这一类算子就是费米算子。怎么理解一个费米算子？可以将所有物理态分成两类，一类是玻色态另一类是费米态。现在，定义一个费米算子，它将一个玻色态映射到一个费米态，将一个费米态映射到一个玻色态。这还不是全部定义，我们再加上一个条件，就是，任一个可实现的物理态不是玻色态就是费米态，而不能是一个玻色态和一个费米态的混合。这样，很明显，一个费米算子就没有物理的本征态。根据量子力学，一个费米算子就不是一个可观测量。
尽管如此，一个费米算子可能与哈密顿量对易，也就是说在它的作用下，动力学是不变的，这就是一个超对称。超对称之所以是超的，原因是它将一个“超选择分支”(super-selection sector)映射到另一个“超选择分支”。最简单的情形是，它将一个玻色子转动成一个费米子。这个性质与通常的对称性很不相同，通常的对称性是将两个态联系起来，这两个态完全可以通过动力学过程互相转变。如一个向上自旋的电子，通过转动变成相下自旋的电子，这个转动完全可以通过一个物理过程来实现。而一个超对称变换可以将一个电子变成一个标量粒子，但一个电子本身永远不会通过一个物理过程变成一个无自旋的粒子。我想，这种性质对一个初学超对称的人来讲是一个最大的困惑，因为我们太习惯于普通的对称了。我们可以想象转动一个正方形，但不能想象将一个正方形转成一个“超正方形”，如果后者果真存在的话，因为这种转动不是一个物理过程，因为该转动不是可观测量！
除了超对称之超外（没有对应的物理过程，也不是可观测量），它具有一切与对称相同的性质。例如，如果一个玻色系统，如两个玻色子或两个费米子或10个费米子，有一定的能量，在超对称变换后，我们得到一个费米系统，这个费米系统无论怎样与前面的玻色系统不同，它有着相同的能量。再如，如果我知道两个玻色子在一个束缚态中的相互作用能量，通过超对称变换，我就知道变换后的一个费米子和一个玻色子在一个束缚态中的相互作用能量。原因很简单，就是这个超对称保持动力学不变，它与哈密顿量对易。
家园 【文摘】弦论通俗演义（八） 第三章 超对称和超引力
（第三节）
通过上面的解释，我们看到超对称既有类似于一般对称性的地方，
也有很不相同的地方。这种不相同的地方往往引起初学者的迷惑，由
此可知对于发明超对称的人来说，非凡的想象力和大胆是不可或缺的。
那么，既然超对称原则上可以存在，什么样的超对称可以在相对
论量子场论中实现？对于一般对称性来说，我们要求有一个群结构或
李代数结构。一个转动后再做一个转动，我们还是得到一个对称转动，
这是群的结构。这个要求在无穷小的变换下翻译成李代数的要求。现
在，我们将这个要求加于一个对称元和一个超对称元，我们得到的结
论是，这个对称元和一个超对称元的对易子必是另一个超对称元。如
果我们想用超对称元来构造群，我们就得用一种新的数，相互间是反
对易的，叫格拉斯曼数(Grassman)，原因还是因为超对称不是通过物
理过程实现的对称，所以其对应的转动参数不是实数或复数，否则我
们可以问这个参数的物理含义是什么，就象通常转动的转动角一样。
以上所写，已经不很通俗了，我还没有更简单的办法，如有，就
得象费曼写QED一样，上面的一段话将被拉长几倍或几十倍。所以为
了节省大家的时间，特别是作者自己的时间，我们还是假定读者已有
一定物理背景，或是天才儿童。这样我写完一段话后还有一些时间看
真正的研究论文，挖空心思想一点怪招好凑一篇论文，用以对付上司
每年索要的年终总结。否则，我真的要改行写科普，好混一点稿费，
研究员就可以不当了。
回到原来的话题，什么样的超对称是允许的。我们已说到一个超
对称元和一个对称元的对易子必是一个新的超对称元，把所有这样的
对易子放到一起，我们发现超对称元的集合形成对称李代数的一个表
示。在相对论量子场论中，最重要的对称就是彭加勒对称，所以超对
称元形成彭加勒代数的一个表示。在四维中，最简单的费米子表示就
是旋量了。超对称中有几个这样的旋量，我们就说这是N等于几的超
对称。高尔芳和利特曼1971年发表的场论就是N等于1的超对称场论。
在西方，最早的超对称是在弦的世界面上发现的，这就是1971年
的吉尔维－崎田文二两维超对称场论。弦论中的时空超对称的发现是
很后来的事，我们等一会儿再谈。朱米诺似乎是注意弦论中时空超对
称的第一人，这也许启发他后来与外斯一道发现四维的超对称和超对
称场论。在1974年的外斯－朱米诺的工作中，他们构造了四维时空中
最简单的超对称场论，这个场论只含一个基本的旋量场（只有两个自
旋为1/2的粒子，形成一个旋量表示），两个标量场。之所以有两个
标量场也是因为有超对称，根据我们上一节说的道理，有多少费米态
就应当有多少玻色态。这个最简单的超对称场论一般称为外斯－朱米
诺模型，是两个外斯－朱米诺模型之一。
另外一个外斯－朱米诺模型完全与超对称无关。
朱米诺应是所有年纪稍大而在事业上无大成的人的榜样，他是一
个大器晚成的人。我经常以朱米诺的例子来期许自己和他人，也许我
最终也难成大器，但这仍不失是取法乎上得乎其中的办法。在1973年
底他和外斯完成4维超对称的理论，他已超过50岁，外斯也接近40了。
他与外斯的另一重要工作，即另一外斯－朱米诺模型也不过是1971年
的作品。毫无疑问，超对称是他一生最重要的工作。我还不知道在粒
子物理这一竞争激烈的领域（注１） 还有第二个人能在50开外作出他
一生最重要的工作。
朱米诺和外斯在同一年将他们的超对称场论的推广到含有自旋为
1即光子的情形，这也就是3年前高尔芳和利特曼构造的理论。朱米诺
和外斯还研究了这个理论的量子性质，发现超对称有助于使紫外发散
减弱，当然他们在第一篇文章中已讨论过量子行为。
接触过量子场论的人都知道，任何场论中都有发散的零点能。对
于一个自由场论来说，场的每个富里叶模是一个谐振子，根据量子力
学的测不准原理，谐振子不可能处于能量为零的状态，它的最低能不
为零，这就是零点能。当谐振子处于第一个激发态时，对应于一个基
本的量子，或粒子，其动量和能量与这个模相同，而零点能只有一个
粒子的一半，所以不能将它解释成一个可观察到的物理态。我们因此
将之归于真空的能量，将所有模加起来，这个能量是无限大，这个无
限大显然来自紫外的模，我们在本章第一节中一提到过，这对应于空
间在小尺度上没有截断。奇怪的是，来自一个玻色子的零点能是正的，
而来自一个费米子的零点能是负的。如果对应一个玻色子，存在一个
有相同质量的费米子，那么两者的零点能就完全抵消。超对称理论恰
恰有这种性质，所以超对称理论中，我们无须人为地扔掉自由场的零
点能。
对于每一个场，如果我们引进动量上的截断，零点能的密度则是
这个截断的4次方，这是4维场论中的最大的发散。考虑一个可重正的
场论，如果理论中没有标量场，除去零点能外，最严重的发散是对数
发散，如量子色动力学。标准模型含有标量场，就是黑格斯场(Higgs)，
标量场涉及的最严重的发散是二次发散。这种发散带来所谓的等级问
题(hierachy)。等级问题最简单的描述是这样的，标准模型中的最大能
标是弱电自发破缺能标，大致可以看成是黑格斯场的一个耦合参数，
数量级大约是100京电子伏 (100 Gev)。考虑在标准模型之上还存在一
个新能标，如普朗克能标。假定在弱电能标和这个新能标之间没有另
外能标，通过重正化流，这个新能标会在标准模型的各个参数中体现
出来，如弱电能标。由于标量场的二次发散性，弱电能标含有一个与
新能标的平方成正比的项，另一项是弱电能标这个耦合参数在新能标
上的“裸”参数。我们要求弱电能标是 100 Gev，我们就必须要求其
“裸”参数与新能标的平方几乎抵消，这就是所谓的微调问题 (fine
tuning)。有了超对称，与新能标的平方成正比的项不再存在，所以80
年代初很多人研究超对称大统一理论。这是超弦集团之外的唯象粒子
物理学家相信超对称存在的主要原因之一。
超对称的生成元越多，无限大的抵消就越成功，但人们为此付出
的代价是模型越来越不现实。当理论有8个超对称元，也就是N等于
2的超对称，极小理论中的费米子增加到4个，不再是具有唯一手征的
理论，但是标准模型中的弱相互作用破坏宇称，必须是带手征的。我
们可以暂时不管这个实际问题，一直增加超对称的数目，我们就会发
现当超对称元的个数超过16时，我们不得不引进自旋为2的粒子以构
造超对称多重态，这样就引进了引力。所以不包括引力的最大超对称
有16个元，也就是N等于4的超对称。实现这个超对称的场论一定包
含规范场，这类场论几乎是唯一的，只有两个参数可以改变，一个是
规范群，或即群的种类和阶数，另一个是耦合常数。这类极大超对称
场论在80年代初被三组不同的人证明是完全有限的。而实现N等于2
的超对称场论在微扰论中只有单圈发散。
N等于4的超对称规范理论的有限性在当时看来是唯一的，记得
有一位德高望重的人说（忘记是谁了），他当时相信这个理论一定有
很大的用处，上帝造出这么完美的理论而不加利用是不可能的。他等
了几年，人们并没有发现这些理论与粒子物理有什么关系，他从此再
也不相信超对称理论有什么用处了。N等于4的超对称规范理论的确
有许多与众不同的地方，后来它们在超弦发展中起了很大作用，如强
弱对偶，反德西特 (de Sitter) 空间上的量子引力与超对称场论的对偶。
也是在1974年，萨拉姆 (Abdus Salam) 和斯特拉思蒂 (J. Strathdee)
在看到外斯、朱米诺的工作后很快发现了超空间表示。发现这一点似
乎不需要太多的想象力，如果通常的对称性与可观察到的时空有关，
如空间的平移和空间中的转动，那么超对称就应和超空间有关。的确，
萨拉姆和斯特拉思蒂证明超对称变换可以被看成是超空间中的平移，
这些超空间座标是格拉斯曼数，从而是不可观察到的，这正类似于超
对称变换不是实验室中可实现的变换。但是，如果人们将来发现超对
称粒子，就等于间接地发现了超空间。我为了写这段话查了一下萨拉
姆和斯特拉思蒂当年的文章，发现虽然预印本是1974年11月的，发表
该文的核物理一期也是1974年的。可见发表的速度实在与是否处在电
子信息时代无关。虽然我说发现超空间不需太多的想象力，并不意味
着对于一个新手来说超空间是很容易接受的。记得当年年轻气盛，考
研后问我的老师什么是最时髦最有前途的研究方向，老师随手从书架
上拿了一本法叶(P. Fayet)和费拉拉 (S. Ferrara) 1976年写的超对称评述。
我拿回去之后发狂猛啃，很坐了一段飞机。现在回想，如在昨日，当
年对超对称的生吞活剥也许在日后起了一点作用。
注１：之所以讲粒子物理是一竞争激烈的领域并非因这一领域对人的
智力或体力或任何其它能力的要求与任何其它领域有何不同，凝聚态
物理中就有许多很难的问题需要特殊的智力才能解决。粒子物理与众
不同的地方在于问题比较集中，人力的投入也比较集中。其它领域如
凝聚态物理中问题比较分散，学派比较多，一个派别如同一个庄园，
有大庄主二庄主三庄主，有打长工的也有打短工的。当然每位庄主也
少不了有一帮弟子。所以这么一个派别可以自给自足，在江湖上扬名
立万。写这么长的注记以博大家一笑。
家园 【文摘】弦论通俗演义（九） 第三章 超对称和超引力
（第四节）
谈过超对称量子场论之后，我们回到弦论中的超对称这个话题。
毕竟超对称在西方的发现源于弦论，所以应当追溯一下历史以了解
超对称超引力在西方发展的脉络，这样做以达到孔夫子所说的温故
而知新。
在第二节中我们谈到雷芒在弦论中引入费米子，所有弦的模式
在时空中的体现都是费米子，因为他在弦的世界面上引入了类似狄
拉克矩阵的东西。世界面上也因此有了超对称，但时空中没有超对
称，因为只有费米子。从某种意义上来说，狄拉克1928年引入狄拉
克矩阵就等于在粒子的世界线上引进了超对称。狄拉克算子的平方
是达朗贝尔算子, 就如同超对称算子的平方等于哈密顿量。1974年，
法国人纳吾(A. Neveu)和我们在第一章就提到的史瓦兹希望能在雷
芒的模型中加入时空中的玻色子。为了避免狄拉克矩阵的出现，
他们要求雷芒的世界面上的费米场没有零模，这样所有的模的阶
就必须是半整数，换句话说，世界面上的费米场满足反周期条件。
这样构造出的弦的激发态都是时空中的玻色子。这个新的分支叫
纳吾－史瓦兹分支，独立于雷芒分支。注意，对于纳吾－史瓦兹
分支来说，世界面上仍有超对称，因为世界面上的超对称是局域
的。当然，1974年还没有人知道什么是局域超对称，在超引力发
现之后，1976年布林克(L. Brink)、蒂韦基亚 (P. Di Vecchia)、豪(P.
Howe) 等人才发现原来的两维世界面上的超对称其实是局域的。
后来我们更详细地谈超弦的时候，我们还要回过头来谈两维局域
超对称的重要性。
将费米弦的两个分支，雷芒分支和纳吾－史瓦兹分支，加起
来，似乎就有了时空超对称，事情并没有这么简单。超对称的一
个基本要求还没有被满足，就是给定一个质量，必须有相同多的
玻色子和费米子。要等到1976年，也就是外斯－朱米诺工作的两
年之后，一个意法英联军，格里奥日(F. Gliozzi)、舍尔克和奥立弗
（就是那位奥立弗－曼通宁对偶中的奥立弗）发现可以将两个分
支中的一些态扔掉而不破坏理论的自恰性，这样得到的理论有同
样多的玻色子和费米子。他们还不能立刻证明时空超对称，但他
们作了这样的猜想。要再等5年，这个经过所谓的格舍奥投射(GSO
projection)的雷芒－纳吾－史瓦兹理论才由格林 (Michael Green)和
史瓦兹证明具有完全的时空超对称，他们也同时证明，这些超弦
理论包含相应的时空超引力。
超对称被发现之后，对一部份人来说，超引力的存在就是显
而易见的事了。杨－米尔斯构造规范理论不久，内山菱友(Ryoyu
Utiyama)用规范对称重新解释了爱因斯坦的引力理论。对于内山
来说，引力场无非是对应于时空平移的规范场，也就是说，如果
我们要求时空平移不仅仅是整体对称性，同时也是局域对称性，
我们就要引进引力场来使平移“规范化”。超对称是时空对称性
的推广，特别是，两个超对称元的反对易子给出一个时空平移。
这样，如果我们将时空平移局域化，我们就不得不将超对称也局
域化，反之亦然。如此得到的理论就是超引力。在这个理论中，
对应于时空平移的引力场仍在，对应于超对称的规范场是自旋为
3/2的场，通常叫做引力微子，这是一个费米场。有一个简单的方
法来判断规范场的自旋，如果局域对称性是一种内部对称性，也
就是说对称元不带时空指标，那么相应的规范场比对称元多一个
时空的矢量指标，相应的粒子自旋为1；如果对称元带一个空间
矢量指标，则规范场带两个空间矢量的指标，这就是引力场；进
一步，如果对称元带一个旋量指标，如超对称，那么规范场就多
带一个空间的矢量指标，这个场就是引力微子场了。
首先在4维时空中构造超引力的三位中有两位当时在纽约州
立大学石溪分校。1976年以前，三位仁兄各做各的事情。范－纽
文豪生(P. van Nieuwenhuizen)基本做引力的微扰量子化，明显是受
了他的老师蒂尼－维尔特曼 (Martinus Veltman)的影响，佛里德曼
(Daniel Z. Freedman) 大约是个唯象学家，费拉拉(Sergio Ferrara)则
是唯一专心做超对称的。当然他们都有研究唯象学的底子。据范
－纽文豪生说，他们的第一个超引力模型，4维的N等于1超引力，
一半是靠手算，一半是靠计算机折腾出来的。记得我当年于生吞
活剥法叶－费拉拉之后，接着去找来范-纽文豪生的超引力综述。
这回更是云山雾绕，什么1次方式 (first order formalism)，2次方式，
最后又搞出1.5次方式。1次方式大约是说，你将度规场和联络场
都看成是独立的场，2次方式则将联络看成是度规的涵数，天知
道1.5次方式是什么，有兴趣参看范－纽文豪生的综述。
一个最简单的、经典的超引力已将人折腾得七荤八素，更不
用说复杂的超引力了。N 等于2以上都叫推广的超引力 (extended
SUGRA)，当然这种翻译有点勉强。我当时觉得还是泛超引力来
得简洁些，省了两个汉字，现在看来，乾脆就叫超引力算了。4
维中有很多不同的泛超引力，一直到 N 等于8。当 N 超过8时，
就必须引进自旋大于2的场了，这从场论的角度来看，似乎是危
险的，因为人们不知道如何构超自恰的场论。N越大，对称性越
高，场的数目就越多。广义相对论中只有10个场，就是度规的
份量，在 N 等于8的超引力中，仅仅标量场就有70个。场多了的
好处是，有可能将标准模型中所有的场都纳入一个超对称多重态
中，坏处是作用量越来越复杂，不是专家不可能写对作用量。从
统一的角度看，N 等于8的超引力还是不够大，因为规范群是O(8)，
还不能将标准模型的规范群放进去。
超引力除了可以在 N 的方向推广，也就是引进越来越多的超
对称，同时也可以在 D 的方向推广，就是引进越来越高的维数。
D最大的可能是11，再大就要引进高自旋场。这两个方向实际上是
相关的，低维的泛超引力可以由高维的简单一点的超引力通过维数
约化得到(dimensional reduction)，如4维的一些 N等于2的超引力可以
由6维的N 等于1超引力得到。而4维的N 等于8的一些超引力可以由
11维超引力通过维数约化或紧化(compactification)得到。所以一时之
间，很多人认为11维超引力就是终极理论了。霍金说，基于谨慎乐
观的态度，有理由相信，一个完备的理论已经逐渐成型，理论物理
快到头了。
超引力与超对称场论一样，紫外发散比没有超对称来得轻得多。
超对称的数目越多，紫外行为越好。 在任何一个4维超引力中，单
圈和双圈图都是有限的，这个性质在超引力出现一年之后就被发现。
虽然紫外发散要在三圈才出现，在超引力时代还没有人敢计算三圈
图（想一想，经典作用量已经那么复杂！），直到最近才有人计算
三圈图，而用到的技巧居然是弦论中的技巧。最新的结果表明，极
大超引力的两圈图直到6维都是有限的。也就是说，11维超引力仅
仅在单圈才是有限的，所以从重正化的角度看，11维超引力比爱因
斯坦的理论好不了多少。最新的结果又表明，4维的极大超引力可
能在四圈上也是有限的，这比老结果要好。
无论超引力的紫外行为多么好，或迟或早人们要遇到发散。这
使得人们渐渐对超引力失去信心，当然终结超引力的8年疯狂时代
的是第一次超弦革命。
我念研究生时恰逢超引力时代的尾巴，已经强烈感受到热力，
把研究生仅有的一点经费都用来复印超引力的文章，后来装订成厚
厚的几大本，成天把脑袋埋在超引力的张量计算中。我甚至在科大
的研究生杂志上写过一篇介绍超引力的文章，开头用了“上帝说要
有光，于是就有了光”，可见信心十足，不过当时校对的人太懒，
文章错字连篇。
超引力造就了一代不畏冗长计算的人。超引力的三位创始人都
是天然计算机。以范－纽文豪生为例，当时他是领导潮流的人。 美
国超弦的公众人物之一贺来道夫(Michio Kaku) 在他的科普作品《超
空间》(Hyperspace) 中有一段描写，不妨转述如下（不是字字照抄，
这一节还请打假诸兄注意）。范－纽文豪生生得高大威猛，最适合
做防晒油的广告明星。研究超引力需要非凡的耐心，而范－纽文豪
生是最非凡的一个。温伯格 (Steven Weinberg) 说，“看一看超引力，
在过去的10年中研究超引力的人个个杰出，有些人比我年轻时认识
的任何人更为杰出。” 范－纽文豪生用一个硕大无朋的夹纸板，每
次演算，从左上角开始用蝇头小草一直写到右下角，写满后翻过一
页接着写。他可以一直这样演算下去，中间唯一的间隙用来将铅笔
放进电动削笔刀中削尖，接着继续演算，直到数小时后大功告成。
有一段时间，石溪分校物理系的研究生竞相仿效，每人夹着一个大
夹纸板在校园中走来走去，不可一世。
超引力风流一时，而超引力中的领袖人物也领导潮流于一时。
超引力在我们的演义中还会出现，还在起很大的作用，尽管如此，
过去的风流人物大多不再活跃，不免使人生出许多感慨：江山代有
才人出，各领风骚三五年。
家园 【文摘】弦论通俗演义（五） 弦论通俗演义（五）
李淼
中国科学院理论物理研究所
第二章 经典的极致
（第三节）
当贝肯斯坦 ( Jacob D. Bekenstein ) 于1972年发表黑洞与热力学关系的时候，他还是普林斯顿大学的研究生。在1973年发表于物理评论 ( Physical Reviews D ) 的文章中，他明确指出，黑洞的熵应与它的视界面积成正比，这个正比系数是普朗克长度平方的倒数。普朗克长度平方又与牛顿引力常数和普朗克常数成正比，所以黑洞熵的起源既与引力有关，又与量子有关。在贝肯斯坦之前，所有与黑洞有关的研究都是经典的，贝肯斯坦改变了一切。
贝肯斯坦现在在以色列的希伯来大学 (Hebrew University) 工作。他是那种所谓的单篇工作物理学家，在1973年的工作之后，一直在做与黑洞的量子物理有关的工作。除了黑洞熵之外，他另一个有名的工作是熵与能量的关系，叫贝肯斯坦上限，我们这里不打算介绍它。有人想出一种说法来贬低那种一生只在一个方向上做研究的人，叫做：他还在改进和抛光他的博士论文。贝肯斯坦的工作决不能作如是观，他是那种不断有新的物理想法的人。他的所有工作中最困难的数学是积分，这并不说明他的文章易读――他的物理思想要求你有足够的直觉。前段时期有人在这个论坛（编者注：即超弦学友论坛，见文末链接）上说泡耳钦斯基的文章难以理解，这说明了一个问题，那就是我们要训练自己的物理直观，而不能满足于理解那些有明确数学定义的东西。
黑洞可能的存在是很容易理解的，拉普拉斯早就作过这样的猜测。在牛顿引力中，如果一个物体的动能不足以用来克服引力场中的势能，这个物体就无法逃逸出去。如果光也不能逃逸出去，对一个远处的观察者来说，产生这个引力场的物体就是黑的。以拉普拉斯时代对光的理解，光的动能正比于光速的平方，而光的势能由牛顿引力给出，这样，如果径向距离小于 2GM/c2，势能的绝对值就大于光的动能，光就无法逃逸。如果一个引力系统的半径小这个值，这个系统就成为黑洞。这个特别的，与质量和牛顿引力常数成正比的长度叫做史瓦兹希尔德半径，史瓦兹希尔德在他去世前三个月在他的第二篇关于广义相对论的文章中讨论了这个半径。
外链图片需谨慎，可能会被源头改一个最简单的黑洞模型
虽然拉普拉斯得到正确的结果，他的方法不正确。正确的方法要用到爱因斯坦的光子的能量公式，光子的能量不能认为是正比于光速的平方。光子的有效质量则为能量除以光速的平方，这样，这个现代的拉普拉斯计算用到两个爱因斯坦最为著名的结果。普朗克常数最终消掉，虽然我们在中间过程中用到它。另一个等价的方法是用引力红移的公式，史瓦兹希尔德半径是引力红移成为无限大的地方。有趣的是，爱因斯坦当初讨论引力红移时有意避开用他的光量子公式。爱因斯坦竭力避免把他的一个大胆想法和另一个一个大胆想法搅在一起。
牛顿理论中的黑洞和爱因斯坦理论中的黑洞除了都有视界外，其它并无共同之处。在牛顿的黑洞中，原点是一个奇点，但这个奇点与经典电子的原点作为库伦势的奇点在本质上并无不同。在爱因斯坦理论的黑洞中，径向座标在视界上发生本质的变化。在视界之外，径向座标是类空的；在视界之内，径向座标是类时的，所以光锥在视界上才可能变为向内。“座标原点”的奇点是在时间上的一个奇点，经过塌缩的物质都撞到之这个奇点上，对于它们来说，时间完全终结了。所以人们说，黑洞的奇点是类空的，很像大暴炸宇宙中的奇点，只不过在黑洞中这个奇点是时间的终结，而大暴炸宇宙中的奇点是时间的开始。
外链图片需谨慎，可能会被源头改黑洞的艺术想象图
虽然黑洞的存在在理想实验中很容易实现，要证明它们在现实世界中存在不是一件很容易的事。钱德拉塞卡(Subramanyan Chandrasekhar)1934年的计算表明，当一个引力系统有足够大的质量时，自然界不存在其它相互作用能阻止引力塌缩。这个结果要经过许多年才能被大家接受，部份原因是爱丁顿 (Sir Arthur Eddington) 从一开始就非常反对这个结论。对于白矮星来说，当质量大于某个质量，不稳定性就会发生，这个质量极限叫做钱德拉塞卡极限。中子星相应的极限
叫做奥本海默－沃尔可夫极限 (Oppenheimer-Volkoff)。这些极限都与太阳的质量相差不远。钱德拉塞卡的物理生涯起始于黑洞也终结于黑洞，他去世前的最后一本研究著作是关于黑洞的，主要研究黑洞周围的扰动。他于1982年完成这本书，时年71岁。
外链图片需谨慎，可能会被源头改钱德拉X射线望远镜拍到的银心照片。据认为那里有一个黑洞。
黑洞的存在是无庸置疑的，我们的银河系的中间就有一个巨大的黑洞。可以肯定，有十分之一的星系和活动星系核的中心都是黑洞，这些黑洞的起源还是一个谜。
我们前面说过，贝肯斯坦发现黑洞有一个不为零的熵，根据统计物理，这说明给定一个黑洞，应该有很多不同的物理态，态数的对数等于熵。这些态不能用经典物理来解释。事实上，在广义相对论中可以证明一个所谓的无毛定理，黑洞的状态由少数几个守恒量完全决定，如质量，角动量和电荷，每一个守恒量对应一个局域对称性。整体对称性所对应的守恒量，如重子数，在引力塌缩过程中是不守恒的。贝肯斯坦的熵的起源必须在量子物理中寻找，因为他的熵公式含有普朗克常数。但这个熵对于普朗克常数来说是非微扰的，当普朗克常数为零时，黑洞熵是无限大，而不是经典物理中的零。由此可见，我们不能指望用微扰量子引力来解释黑洞的熵。
在1973年，贝肯斯坦并无量子引力理论可以利用，他是如何得到他的熵公式的呢？他用的是非常简单的物理直觉。首先，那时有大量的证据证明在任何物理过程中，如黑洞吸收物质，黑洞和黑洞碰撞，黑洞视界的面积都不会减小。这个定律很像热力学第二定律，该定律断言一个封闭系统的熵在任何过程中都不会减少。贝肯斯坦于是把黑洞视界的面积类比于熵，他并说明为什么熵应正比于面积，而不是黑洞视界的半径或半径的三次方等等。为了决定熵与面积的正比系数，他用了非常简单的物理直观。设想我们将黑洞的熵增加一（这里我们的熵的单位没有量纲，与传统单位相差一个波尔兹曼常数），这可以通过增加黑洞的质量来达到目的。如果熵与面积成正比，则熵与质量的平方成正比，因为史瓦兹希尔德半径与质量成正比。这样，如要将熵增加一，则质量的增加与黑洞的原有质量成反比，也就是与史瓦兹希尔德半径成反比。现在，如何增加黑洞的熵呢？我们希望在增加黑洞熵的情形下尽量少地增加黑洞的质量。光子是最“轻”的粒子，同时由于自旋的存在具有量级为一的熵。这样，我们可以用向黑洞投入光子的方法来增加黑洞的熵。我们尽量用带有小能量的光子，但这个能量不可能为零，因为光子如能为黑洞所吸收它的波长不能大于史瓦兹希尔德半径。所以，当黑洞吸收光子后，它的质量的增加反比于史瓦兹希尔德半径，这正满足将黑洞熵增加一的要求。对比两个公式的系数，我们不难得出结论：黑洞熵与视界面积成正比，正比系数是普朗克长度平方的倒数。
贝肯斯坦的方法不能用来决定黑洞熵公式中的无量纲系数，尽管贝肯斯坦本人给出一个后来证明是错误的系数。当霍金听到关于贝肯斯坦的工作的消息时，他表示很大的怀疑。他在此之前做了大量的关于黑洞的工作，都是在经典广义相对论的框架中，所以有很多经验或不妨说是成见。类似我们在第一章中提到的威顿之于对偶，他的怀疑导致他研究黑洞的热力学性质，从而最终导致他发现霍金蒸发并证明了贝肯斯坦的结果。应当说，1973年当他与巴丁 (James M. Bardeen) 卡特 (B. Carter) 合写那篇关于黑洞热力学的四定律的文章时，他是不相信贝肯斯坦的。
不久，他发现了黑洞的量子蒸发，从而证明黑洞是有温度的。简单地应用热力学第一定律，就可以导出贝肯斯坦的熵公式，并可以定出公式中的无量纲系数。由于霍金的贡献，人们把黑洞的熵又叫成贝肯斯坦－霍金熵。霍金的最早结果发表在英国的《自然》杂志上，数学上更完备的结果后来发表在《数学物理通迅》。在简单解释霍金蒸发之前，我们不妨提一下关于中文中熵这个字的巧合。在热力学第一定律的表述中，有一项是能量与温度之比，也就是商，所以早期翻译者将entropy翻译成熵。黑洞的熵恰恰也是两个量的商，即视界面积和普朗克长度的平方。
外链图片需谨慎，可能会被源头改霍金辐射示意图
霍金蒸发很像电场中正负电子对的产生，而比后者多了一点绕弯 (twist)。在真空中，不停地有虚粒子对产生和湮灭，由于能量守恒，这些虚粒子对永远不会成为实粒子。如果加上电场，而虚粒子对带有电荷，正电荷就会沿着电场方向运动，负电荷就会沿着电场相反的方向运动，虚粒子对逐渐被拉开成为实粒子对。电场越强电子对的产生几率就越大。现在，引力场对虚粒子对产生同样的作用，在一对虚粒子对中，一个粒子带有正能量，另一个粒子带有负能量。在黑洞周围，我们可能得出一个怪异的结论：由于正能被吸引所以带有正能的粒子掉入黑洞，而带有负能的粒子逃离黑洞，黑洞的质量变大了。事实是，在视界附近由于引力的作用正能粒子变成负能粒子，从而可能逃离黑洞，而负能粒子变成正能粒子，从而掉进黑洞。对于远离黑洞的人来说，黑洞的质量变小了；对于视界内的观察者来说，掉进黑洞的粒子具有正能量也就是实粒子。黑洞物理就是这么离奇和不可思义。
霍金蒸发是黑体谱，其温度与史瓦兹希尔德半径成反比，黑洞越大温度就越小，所以辐射出的粒子的波长大多与史瓦兹希尔德半径接近（这很像我们上面推导贝肯斯坦熵时用的光子）。当辐射出的粒子变成实粒子后，它们要克服引力作用到达无限远处，所以黑体谱被引力场变形成为灰体谱。霍金在《时间简史》中坦承，当他发现黑洞辐射时，他害怕贝肯斯坦知道后拿来支持他的黑洞熵的想法。
黑洞的量子性质无疑是广义相对论与量子论结合后给量子引力提出的最大的挑战。我们虽然可以用霍金蒸发和热力学第一定律推导出黑洞熵，这并不表明我们已理解了黑洞熵的起源。最近弦论的发展对理解一些黑洞熵起了很大的作用，但我们还没有能够理解史瓦兹希尔德黑洞的熵。另外，黑洞蒸发后遗留下来的是一个量子纯态还是一个混合态，就象黑体谱一样？如果是后者，那我们就不得不修改量子力学。弦论家们大都认为量子力学不必修改，最近霍金也改变了他过去的看法加入弦论家的行列。黑洞的量子物理在过去对弦论的发展起到很大的作用，在将来注定对弦论的发展起到也许更大的作用。
家园 【文摘】弦论通俗演义（四） 弦论通俗演义（四）
李淼
中国科学院理论物理研究所
第二章 经典的极致
（第二节）
广义相对论应用最成功的领域是宇宙学。历史上断断续续地有人考虑过用牛顿理论研究包括整个宇宙的力学体系，但从无一个比较完备的理论，原因之一是很难用牛顿理论得到一个与观测相吻合的宇宙模型。如果假定在一定尺度之上宇宙中的物质分布大致是均匀的，从牛顿理论导出的泊松方程没有一个有限的解。如果我们被迫假定物质的质量密度只在一个有限的空间不为零，我们则回到宇宙中心论。即便如此，这个有限的引力体系也是不稳定的，终将不断地塌缩。
独立于牛顿理论的另外一个困难是奥尔伯斯 (Olbers) 佯谬。如果物质的主要成份是发光的星体，那么天空的亮度将是无穷大。每颗星对亮度的贡献与它距地球的距离平方成反比，而在径向上恒星的线密度与距离平方成正比，所以总亮度以线性的方式发散。假如恒星分布在一个有限区域，尽管亮度有限，但白昼黑夜的存在说明这个亮度远小于太阳的亮度，所以这个有限区域不能太大。
现代宇宙学开始于爱因斯坦。他的1917年 2 月份的宇宙学虽然不完全正确，却一举解决了上面的两个问题。爱因斯坦当然知道用牛顿理论建立宇宙论的困难，他的出发点却全然不同。爱因斯坦在许多重要工作中，往往从一个很深的原理，或者从一个在他人看来只是一种不切实际的信仰出发，虽然他常常达到解决实际问题的目的。这一次他的出发点是马赫原理。马赫原理大致是说，一个质点的惯性质量在一定程度上取决于其周围的物质分布，换言之，所谓惯性系实际上就是那些相对于宇宙平均物质分布匀速运动的系统。对于爱因斯坦来说，这意味着度规完全取决于物质的密度分布，而不是密度先决定曲率，然后再决定度规。
为了实现马赫原理，爱因斯坦首先引入宇宙学原理――宇宙是均匀和各向同性的。要得到物质密度分布决定度规的结果，他发现必须修改他的场方程，这样他引进了宇宙学常数。宇宙学常数项是一个正比于度规的项，在大尺度上如果忽略曲率项，则能动张量完全决定度规。在小尺度上，宇宙学常数项可以被忽略，这样广义相对论原来的结果还成立。宇宙学常数项在牛顿理论中有一个简单的对应。可以在泊松方程中加一个正比于引力势的项，相当于给这个标量场一个质量。如果物质密度是一个常数，则引力势也是一个常数，正比于物质密度，正比系数是牛顿引力中的宇宙学常数的倒数。爱因斯坦就是从这个改正的牛顿理论出发从而避免了无穷大的困难。
爱因斯坦1917年的宇宙模型是一个封闭的，静态的模型。他错误地认为在没有宇宙学常数项的情形下场方程没有满足宇宙学原理的解。他也许相信在没有物质只有宇宙学常数的情形下也没有解。这些后来都被证明是错误的。德西特 (de Sitter) 在爱因斯坦的文章发表后很快就发现只有宇宙学常数情形下的解，这就是德西特空间。
弗里德曼 (Friedmann) 于1922年发现了没有宇宙学常数的解，这是一个膨胀宇宙模型。哈伯 (Hubble) 于 1929年发现宇宙学红移，从而证实膨胀宇宙模型。哈伯是观测宇宙学鼻祖，他在1924年首先证实一些星云存在于银河系之外，从而大大扩大了宇宙的尺度。爱因斯坦后来很后悔当初引进宇宙学常数从而没能预言宇宙的膨胀，后来他终于放弃了马赫原理。爱因斯坦没能预见到宇宙学常数是非常可能存在的，所以这个他那时认为是他一生中所犯的最大错误也许会成为他的
最大成就之一――他的最大成就也太多了，最近刚获得诺贝尔的实验也与他的名字有关。我们将来在讨论弦论如何对待宇宙学常数问题时再介绍最近的宇宙学常数的天文观测。
宇宙学在60年代之前是一门高雅的学问，文章不多，但质量很高。60年代末彭齐亚斯 (A. Penzias) 和威尔逊 (R. Wilson) 偶然发现了宇宙微波背景辐射，宇宙学遂成为一门大众学问，也就是说它成为一门主流学问，大学物理系和天文系开始有了专门研究宇宙学的教授。早在40年代伽莫夫等人已经将广义相对论与粒子物理和统计物理结合起来，预言了核合成与微波背景辐射。标准宇宙模型开始形成，大爆炸宇宙无论从什么角度看都是唤起公众想象力的最好的东西，它却是爱因斯坦理论的一个应用，一个并不是最深刻的应用。
狄基 (R. Dicke) 在我看来是一个很了不起的人。他对广义相对论的实验和理论都作出很有原创力的贡献。实验如等效原理的精确检验。当人们满足于宇宙学原理是一种第一原理时（爱因斯坦早期认为是马赫原理的一个推论），他开始怀疑均匀各向同性应是早期宇宙动力学过程的结果。宇宙学原理只是他问的标准宇宙模型不能解答的三个问题之一。另外两个问题是，为什么宇宙在早期的空间曲率与物质密度相比非常非常小，为什么早期相变的遗迹几乎不可观察到，如磁单极。正是他在康乃尔大学的演讲促使顾思 (A. Guth)提出暴涨宇宙论 (Inflation)，从而一举解决了宇宙论中的三个“自然性”问题。
记得1982年考到中国科学技术大学做硕士研究生，那时暴涨宇宙论提出仅一年。我的老师从杨振宁的石溪理论物理研究所访问回来，刚刚写了一篇这方面的文章，他的文章与相变有关。他在很多场合宣传暴涨宇宙论，大弟子从剑桥回来也谈相变时的泡泡碰撞。这对一个刚刚接触理论物理的研究生来说是非常新鲜的话题，不过我心里也有点嘀咕，这个利用最新的粒子物理进展的宇宙模型要解决的问题也太哲学了，有可能被观测所证实吗？过了近十年，暴涨宇宙论的第一个间接的，有点模糊的证据才出现，这就是轰动一时的柯比 (COBE) 实验。该实验发现宇宙背景辐射有非常小的大约为万分之一的涨落，暴涨宇宙论的大尺度结构形成理论需要这么大的涨落。霍金曾说柯比实验是上世纪最重要的发现，这不免有些夸大。令人兴奋的是，最近的宇宙背景辐射的功率谱的测量说明宇宙是平坦的，即宇宙目前的空间曲率几乎为零，这是暴涨宇宙论的预言之一。功率谱曲线的形状也与暴涨宇宙论的预言一致，暴涨宇宙论是否正确有望在今后几年敲死。
外链图片需谨慎，可能会被源头改COBE卫星测绘的微波背景辐射分布图
做类似宇宙背景辐射的功率谱的测量要花很多钱，与如今的高能物理实验相比，却又少得多。在台湾，台湾大学物理系与中研院天文研究所合作，正在积极建造微波天文望远镜，斥资数亿台币。如果成功，将对测量宇宙学参数作出贡献。我常想，为何中国大陆不做类似的实验？这类实验需要的投资要小于其它很多大型国家计划，如一些863计划。
暴涨宇宙论中大尺度结构的形成起因于量子涨落。由于在暴涨期每个量子涨落模的波长随着共动尺度一起迅速增长，波长会很快超出当时的视界。这样由于涨落的两端失去联系，涨落被固定下来。大部份暴涨宇宙模型预言涨落在波长上的分布是幂律型的。很多人喜欢谈宏观量子效应，宇宙的大尺度结构如银河系，星系团是最大的宏观量子效应。一个不容忽视的问题是，暴涨宇宙论中的涨落可能起源于非常小的尺度，这些可能比普朗克尺度还要小。进一步研究涨落的谱可能会揭示量子引力的效应，这也包括弦论中的量子效应。
暴涨宇宙论对研究弯曲空间中的量子场论起到了一个推动作用，对此研究起到推动作用的另一重要发现是霍金的黑洞量子蒸发理论。从70年代中期直到80年代，弯曲空间中的量子场论是广义相对论界的一个很活跃的领域。这个领域的进展对理解量子引力并没有带来多大的好处，原因是广义相对论和量子场论在这里的结合多少有点生硬，在很多情形下，该领域的专家也没有解决一些概念问题，如什么是可观测量等等。即便如此，这里获得的一些计算结果可以用到暴涨宇宙论中去，而一些诸如共形反常的计算在弦论的发展过程中也起过一定的作用，在将来的弦论发展中还会起一定的作用。我们把这个话题留到后面再谈，我们现在先谈谈广义相对论中的一个最吸引人的话题：黑洞。
家园 【文摘】弦论通俗演义（三） 弦论通俗演义（三）
李淼
中国科学院理论物理研究所
第二章 经典的极致
（第一节）
如果说现代物理开始于量子物理，经典物理则终结于爱因斯坦的广义相对论。广义相对论的时空观无疑彻底改革了牛顿的时空观，但牛顿本人很清楚他的时空观的局限。爱因斯坦用相对论的因果律代替了牛顿的绝对时与空中的因果律，所以说爱因斯坦的时空概念与因果概念仍然是经典的，广义相对论是经典物理的极致。
这个经典物理中的最高成就一直拒绝被量子物理所改造。所有相信弦论的人都认为引力已被成功地量子化，至少在微扰论的层次上。一些执著于几何是一切的人则认为还不存在一个成功的量子引力理论，他们在一定程度上承认弦论的成功，霍金(S. Hawking)以及特霍夫特(G. 't Hooft) 可以被看成这方面的代表，虽然前者较之后者更极积地支持弦论。我们希望在本章的结尾时看到，弦论家的观点和弦论同情者的观点都有一定道理。而第三派则采取鸵鸟政策，认为引力还是原来的引力，星星还是那颗星星，这样有助于他们继续发表各色各样的理论。
我们假定读者已学过狭义相对论，甚至一点广义相对论，这样我们就可以相对自由地从不同角度来看广义相对论。
广义相对论的基本原理是等效原理：在引力场中，在时空的任何一点都可以找到一个局部惯性系，物理定律在这个局部惯性系中与没有引力场时完全相同。爱因斯坦本人更喜欢将局域引力譬喻成局部加速所引起的结果。这样，局部惯性系类似于黎曼流形中一点的切向空间，加速则可以用一个二次的座标变换来消除。引力可以用黎曼几何中的度规来描述，在一个局域惯性系中，度规变成狭义相对论中的闵氏度规。爱因斯坦进一步说，如果引力效应可以用一般的座标变换来消除，则该引力场完全等价于无引力场。如此则一个非平庸的引力场必须具有曲率。爱因斯坦的引力理论是标准的场论，而他相信物理的基本要素就是场，这是他高度评价麦克斯韦工作的原因。
一个试验粒子在引力场中的运动轨迹是测地线，而运动方程可以由变分原理得到。这个变分原理说，连结时空两点的粒子轨迹使得总的粒子的固有时成为极大――粒子的固有时是欧氏空间中测地线长度在闵氏空间中的推广。这种几何变分原理早就用在光学中，光的轨道使光程取极小值，这是费马原理。当地球环绕太阳运动时，人们可以想象，太阳产生的引力场使得太阳周围的时空发生一点点弯曲，从而使得地球的测地线发生弯曲。在时空中，这个测地线并非是闭合的。一般说来，它在空间中的投影也不是闭合的，这样就有了水星近日点进动――这里，时空同时弯曲起了关健作用。同样，一个无质量的粒子如光子在引力场中的测地线也是弯曲的，尽管光的固有时总是为零，测地线的变分原理稍稍有点复杂。爱因斯坦在广义相对论完成之前就预言了光线在引力场中的弯曲，他仅用了等效原理，这等价于仅仅用了度规的时间份量，这样算出的弯曲角度是正确结果的一半。同样，要算出正确的结果，必须计及空间的弯曲。
决定时空曲率的是物质的能量和动量分布，这就是爱因斯坦著名的引力场方程。在方程的左边是一种特殊的曲率，现在叫做爱因斯坦张量。在方程的右边是能量－动量张量。爱因斯坦经过断断续续八年的努力，在 1915年年尾才最终写下正确的场方程。(从1907到1911 有三年半的时间，他发表了关于经典辐射理论的文章，关于狭义相对论，关于临界弥散，甚至尝试修改麦克斯韦方程以期得到光量子，就是没有发表关于广义相对论的文章。)
1915年11月25日，爱因斯坦在普鲁士科学院物理－数学部（那时的科学没有今天专业化得利害，今天的一些物理学家往往以不能与数学家沟通为自豪）宣读了一篇题为《引力的场方程》的文章。他说：“相对论的一般理论作为一个逻辑体系终于完成”。
1915年11月，爱因斯坦每一个礼拜完成一篇文章。11月4日，在一篇文章中他写下不完全正确的一种场方程，该方程线性化后成为牛顿－泊松方程。11月11日，他写下另一个场方程，方程的左边是里奇 (Ricci) 张量，方程的右边是能量-动量张量，他还要求度规的行列式等于一。11月18日，爱因斯坦仍然相信度规的行列式必须等于一。在这篇文章中他发现两个重要效应，爱因斯坦非常运气的是太阳的中心力场对应的度规的行列式的确等于一――瓦兹希尔德于次年一月发现了严格解，五月即死于在俄罗斯前线得的一场病。爱因斯坦发现的第一个效应是水星近日点进动。勒
维利埃(Jean Joseph Le Verrier) 1859年观察到的水星每百年45秒的进动完全可以用爱因斯坦的新的理论来解释。这个发现是如此令人激动，爱因斯坦此后一连几天不能平心静气地回到物理上来。第二个发现是，他以前计算的光线弯曲比正确的结果小一半，这时他计及了度规的空间部份。11月25日，爱因斯坦写下了一直沿用至今的引力场方程。爱因斯坦放弃了度规行列式等于一的物理要求，但将它作为对座标选取的一种条件。爱因斯坦当时还不知道场方程的左边满足比安基等式，从而方程右边自动满足能动量守恒定律。能动量守恒定律被爱因斯坦看成一个条件。
水星近日点进动
外链图片需谨慎，可能会被源头改由于引力常数很小，引力往往在一个很大的系统中才有可观测效应。相互作用的大小通常可以用动能与势能之比来定，对于处于束缚态的系统，这个比例大约是1，所以我们常常说束缚态是非微扰的。不需要计算，我们知道地球在太阳引力场中的势能大约等于它的动能。同样，电子在氢原子中的电势能大约等于它的动能。可是电子与氢原子的原子核――质子――之间的引力相互作用就非常非常小了，它与电子的动能之比大约是10的负40次方！所以我们常常说引力是自然界中最弱的相互作用。用广义相对论的语言说，时空非常难以弯曲。看一看爱因斯坦的场方程，它的左边是曲率，右边是牛顿引力常数乘以能－动张量。能－动张量引起时空弯曲，而牛顿引力常数则很小，可以说时空的强度则很大――比任何金属要大得多。
在谈到广义相对论的实验验证时，人们常提到的是三大经典验证：引力红移，光线弯曲和水星近日点进动。时至今日，广义相对论通过了远远不止这些验证。即使当验证还很少时，人们已经认为广义相对论是有史以来最完美和最成功物理理论。恐怕即使今天人们还可以这样说。广义相对论的最完美之处在于它是一种原理理论，即整个理论建立在一些简单的原理之上，尽管它是一个物理理论，它的逻辑结构几乎可以媲美于欧几里得几何。它也是有史以来最成功的理论之一，它解释了所有己知的宏观的包含引力的系统，这包括整个可观测宇宙在内。其精度经常在万分之一，在等效原理情形，精度已达10的负13次方！
广义相对论的完美主要来源于它所用的基本语言：几何。可以说爱因斯坦的直接继承人，今天仍然活跃的即那些在gr-qc电子档案馆贴文章的人，仍然坚持用这种语言。这种语言似乎与量子
力学有着本质的冲突，从而与粒子物理学家所惯用的语言有着本质的冲突。这里我们不想强调这种冲突，但了解这种冲突的存在是有好处的。60年代之前在相对论界和粒子物理界之间存在着很少的对话，这在费曼的故事中很好地体现出来。费曼有一次参加在北卡州 (North Carolina) 召开的相对论界的会议。他出发之前忘记了带详细地址，所以他下了飞机后向人打听有无看到一些相对
论专家去了何处。人家问他相对论专家是一些什么样的人，他说， 就是一些嘴里不停地念叨Gmunu 的人，这人很快知到他指的是谁。
广义相对论与粒子物理的语言冲突在温伯格 (Steven Weinberg)的名著《引力论与宇宙论－广义相对论的原理与应用》中也显示出来。温伯格尝试着用粒子物理的方法重新表达广义相对论，仅取得部份成功。记住温伯格与费曼最早试图由自旋为2的无质量粒子及相互作用推出广义相对论，今天我们知道，人们的确可以证明广义相对论是唯一的自旋为2的无质量粒子的自洽相互作用理论。但这个证明是一级一级的证明，很难看出其中的几何原理。
广义相对论与粒子物理本质的不同还可以从引力波的效应的计算看出。早在1916年爱因斯坦就指出在他的理论中存在引力波。到1918年，他给出引力辐射与引力系统的四极矩关系的公式。不同于电磁系统，自旋为2的粒子的辐射与偶极矩无关。不同于电磁系统，那里的辐射公式从来就没有人怀疑，而引力系统的引力波辐射是否完全由四极矩公式给出长期引起争论。争论的原因是
引力是一个高度非线性理论，引力势能本身也会影响引力波辐射。爱因斯坦本人在1937年曾短暂地怀疑过引力波的存在。有趣的是，关于 引力波辐射的第一级效应的争论直到1982年才完全得到解决：爱因斯坦的四极矩公式是正确的。当然，引力波辐射的效应已在脉冲双星系统中被间接地观察到，这个工作也已获得诺贝尔奖。今年或今后几年，引力波可能被引力干涉仪直接观测到，这将成为继最近的宇宙学中激动人心的观测又一令人激动的天文观测。这也将极大推动相对论界与粒子物理界之间的对话。