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话说这边儿小毛孩子正和老学霸掐架，四周里里外外倒围了不少群众，可是看戏的多，丢花儿的少。花开二朵，各表一枝，咱们且由他们掐着，回头来看看这非欧几何究竟长什么模样。

其实早在一千多年前，人们就开始研究另一种几何学 ------ 球面几何学。球面上当然没有“直线”，取而代之的是“大圆” ------ 球面上以球心为圆心的的圆。“线段”则是大圆的圆弧。过球上任意不是对径点的两点，都有唯一的大圆把它们连起来。类似的，我们还可以定义两条大圆弧的夹角为相应切线的夹角。遗憾的是，由于任意两个大圆都有两个交点，球面几何并不在欧式几何的体系内（不符合前四个公理）。

球面几何是非常有用的几何，天上（天文），地上（地理）都用得着它。要是没有球面几何学，大航海时代恐怕很难到来，谁让地球是圆的呢？

人们没想到的是，只要稍作一点改动，球面几何就可以转化成另一种不同的非欧几何 ------ 椭圆几何。在这种几何中，过直线外一点的所有直线都与原来的直线相交。历史有时候真会和人开玩笑，我们千辛万苦寻找的东西，其实在很早就摆在我们身边，却不为人所知。这也许就是人们常说的“灯下黑”吧。

我们把球面几何和双曲几何放在一起看，有不少相似的“奇怪”性质。

球面几何里，（三条大圆弧构成的）三角形的内角和总大于180度。我们有

其中S是三角形面积，R是圆球半径，

而在双曲几何里，三角形的内角和总小于180度。我们有

其中S是三角形面积，c是某个正的常数，

从这些公式可以看出，三角形的面积越小，它越像欧氏几何。今天的我们知道，之所谓我们感觉自己生活在欧氏空间里，是因为我们生活的尺度和宇宙比起来太小太小了。（各位有没有想起狭义相对论？）

再比如说我们已经遗忘很久的勾股定理。前面提到过，勾股定理与第五公设是等价的。也就是说，勾股定理正是欧式几何的“基石”之一。非欧几何里不再成立勾股定理。但直角三角形的三边a,b,c（斜边）还是有些特殊的关系。

球面几何中：Cos(a/R)Cos(b/R) = Cos(c/R)

双曲几何中：Cosh(a)Cosh(b) = Cosh(c)

不过，这还不是勾股定理最后一次出现，后面的篇章中，我们会看到勾股定理更深刻的意义。

类似的古怪公式不少，我就不一一列举了。

科学史上每次出现新生事物总有个被误解然后慢慢被承认的过程。牛顿的无穷小量也好，虚数也好，都在很长的时间里被人们视为“幽灵”。罗巴切夫斯基发现了新的几何后，自己也觉得这个东西实在太古怪。他把这种几何称为“想象的几何”。要人们接受这种想象的几何实在不容易。罗巴切夫斯基试图将双曲几何和人们熟悉的球面几何联系起来，说服人们双曲几何只是球面几何的一个兄弟。他的想法是正确的，但他并未完全成功。

我们的主人公们虽然发现了好东西，可它实在古怪，令人难以相信。伟大的理论还需要优秀的推销员。爱因斯坦碰上了爱丁顿爵士（Sir Arthur Stanley Eddington），让广义相对论少受了几年委屈。若干年后，非欧几何终于迎来了一位好推销员 ------ 意大利数学家贝尔特拉米（Eugene Beltrami）。

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