主题：【概率课】蒙提霍尔问题 -- frnkl

蒙提霍尔问题（Monty Hall problem）：假设你正在参与一个游戏。有三扇关闭的门，其中一扇的后面有一辆汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。你需要选择一扇门。如果你选中的门后面有汽车则汽车归你。现在当你选定一扇门，但门未开启的时候，节目主持人（知道哪扇门后有汽车）打开剩下两扇门中的一扇，露出后面一只山羊。主持人问你要不要换另一扇仍然关上的门作为自己的最终选择。问题是：换另一扇门会否增加你赢得汽车的机会吗？

答案是换门增加你赢得汽车的机会。解释如下：主持人打开山羊门以后，汽车要么在你原来选的门后面要么在剩下的门后面。不换门赢得汽车当且仅当一开始就选中正确的门，而P（一开始就选中正确的门）=1/3。换门赢得汽车当且仅当一开始没有选中正确的门，而P（一开始没有选中正确的门）=2/3。所以换门赢得汽车的概率是不换门赢得汽车的概率的2倍。

还是不理解？那我们换个问题。三个囚犯，要处死一个，抽签决定。（1）请问第一个、第二个、第三个抽签的囚犯抽到的死签的概率相同吗？（2）现在负责此事的看守是第二个囚犯的朋友，他在死签上做了暗记并告诉了第二个囚犯，请问第一个、第二个、第三个抽签的囚犯抽到的死签的概率有变化吗？如果有变动，怎么变？

唉，我说，第二个问题与蒙提霍尔问题有什么关系？

【附：蒙提霍尔问题的经典条件概率解释】

如果节目主持人事先不知道哪扇门后有汽车，而只是碰巧打开的门后是山羊，则问题的答案是换不换们对赢得汽车的机会没有影响。解释如下： P(一开始就选中正确的门并且主持人选中山羊门）=（1/3)X1=1/3，P(一开始没有选中正确的门并且主持人选中山羊门）=（2/3)X(1/2)=1/3，所以给定主持人选中山羊门的前提下，你一开始就选中正确的门的概率P(一开始就选中正确的门 | 主持人选中山羊门） = (1/3)/(1/3+1/3) = 1/2，同样前提下你一开始没有选中正确的门的概率 P(一开始没有选中正确的门 | 主持人选中山羊门） = (1/3)/(1/3+1/3) = 1/2。

我们也可以用重新用条件概率的的方法考虑主持人事先知道哪个门后有车的情况。P(一开始就选中正确的门并且主持人选中山羊门）=（1/3)X1=1/3，P(一开始没有选中正确的门并且主持人选中山羊门）=（2/3)X1=2/3，所以给定主持人选中山羊门的前提下，你一开始就选中正确的门的概率P(一开始就选中正确的门 | 主持人选中山羊门） = (1/3)/(1/3+2/3) = 1/3。

注：这个问题河里也讨论多次了，例如柚子:【原创】他/她不适合你---- 案例之三 你的选择还会不,老马丁:【原创】老马丁胡侃统计之二： 生活中的几个概率统计问题，淡紫若兰:【原创】关于换不换门的问题，大家讨论。等。