主题：【概率课】蒙提霍尔问题 -- frnkl
蒙提霍尔问题（Monty Hall problem）：假设你正在参与一个游戏。有三扇关闭的门，其中一扇的后面有一辆汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。你需要选择一扇门。如果你选中的门后面有汽车则汽车归你。现在当你选定一扇门，但门未开启的时候，节目主持人（知道哪扇门后有汽车）打开剩下两扇门中的一扇，露出后面一只山羊。主持人问你要不要换另一扇仍然关上的门作为自己的最终选择。问题是：换另一扇门会否增加你赢得汽车的机会吗？
答案是换门增加你赢得汽车的机会。解释如下：主持人打开山羊门以后，汽车要么在你原来选的门后面要么在剩下的门后面。不换门赢得汽车当且仅当一开始就选中正确的门，而P（一开始就选中正确的门）=1/3。换门赢得汽车当且仅当一开始没有选中正确的门，而P（一开始没有选中正确的门）=2/3。所以换门赢得汽车的概率是不换门赢得汽车的概率的2倍。
还是不理解？那我们换个问题。三个囚犯，要处死一个，抽签决定。（1）请问第一个、第二个、第三个抽签的囚犯抽到的死签的概率相同吗？（2）现在负责此事的看守是第二个囚犯的朋友，他在死签上做了暗记并告诉了第二个囚犯，请问第一个、第二个、第三个抽签的囚犯抽到的死签的概率有变化吗？如果有变动，怎么变？
唉，我说，第二个问题与蒙提霍尔问题有什么关系？
【附：蒙提霍尔问题的经典条件概率解释】
如果节目主持人事先不知道哪扇门后有汽车，而只是碰巧打开的门后是山羊，则问题的答案是换不换们对赢得汽车的机会没有影响。解释如下： P(一开始就选中正确的门并且主持人选中山羊门）=（1/3)X1=1/3，P(一开始没有选中正确的门并且主持人选中山羊门）=（2/3)X(1/2)=1/3，所以给定主持人选中山羊门的前提下，你一开始就选中正确的门的概率P(一开始就选中正确的门 | 主持人选中山羊门） = (1/3)/(1/3+1/3) = 1/2，同样前提下你一开始没有选中正确的门的概率 P(一开始没有选中正确的门 | 主持人选中山羊门） = (1/3)/(1/3+1/3) = 1/2。
我们也可以用重新用条件概率的的方法考虑主持人事先知道哪个门后有车的情况。P(一开始就选中正确的门并且主持人选中山羊门）=（1/3)X1=1/3，P(一开始没有选中正确的门并且主持人选中山羊门）=（2/3)X1=2/3，所以给定主持人选中山羊门的前提下，你一开始就选中正确的门的概率P(一开始就选中正确的门 | 主持人选中山羊门） = (1/3)/(1/3+2/3) = 1/3。
注：这个问题河里也讨论多次了，例如柚子:【原创】他/她不适合你---- 案例之三 你的选择还会不,老马丁:【原创】老马丁胡侃统计之二： 生活中的几个概率统计问题，淡紫若兰:【原创】关于换不换门的问题，大家讨论。等。
不然不换，这样做赢的概率变为1/2；相当于重新选择。如果不抛硬币，每次都选择换或者每次都选不换，概率还是1/3。关键是第二次选择的时候能不能做随机决定。这里并不存在一个2/3的问题。
一个游戏：有3扇关闭着的门，其中2扇门后面各有一只羊，另一扇门后面有一辆车。
参与者：一个游戏者和一个主持人。主持人事先知道各扇门后的物品，而游戏者不知道。
游戏目的：游戏者选择到车。
游戏过程：1、游戏者随机选定一扇门；2、在不打开此扇门的情况下，主持人打开另一扇有羊的门。3、此时面对剩下2扇门，游戏者有一次更改上次选择的机会。
问题是：游戏者是否应该改变上次的选择，以使选到车的概率较大？
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另外一个游戏， 有3扇关闭着的门，其中2扇门后面各有一只羊，另一扇门后面有一辆车。
参与者：10万个游戏者和一个主持人。主持人事先知道各扇门后的物品，而游戏者都不知道。
游戏目的：游戏者选择到车。
游戏过程： 有3个门，分别定义为1号门，2号门，3号门。 要求每个门都有至少一个游戏者参与者选择， 如果存在任何门没有参与者选择， 则游戏失败， 重新开始
选择1号门的人分别定义A1,A2,...,An,选择2号门的人分别定义B1,B2,...,Bn,选择3号门的人分别定义C1,C2,...,Cn.
从A1,A2,...,An中任意选择１个定义为A,从B1,B2,...,Bn中任意选择１个定义为B,从C1,C2,...,Cn中任意选择１个定义为C.
问题是： 假设主持人打开1号门, 请分别列出当门里面是汽车和绵羊时,A,B,C三人改变上次的选择后,得到汽车的概率是多少?