主题：【原创】从凝聚态物理开始乱侃. (一)背景知识 -- 衲子

容小僧信马由缰, 胡吹乱侃.

先科普一些基本的量子力学结论.

我们知道, 在经典力学中,一个点粒子的运动状态可以用它的位置和动量(即速度乘质量)来描述. 这个位置和动量有确定的、随时间连续变化的取值. 而在量子力学中, 一个点粒子的运动状态由波函数描述. 这个波函数是满足薛定谔方程的解, 而后者是由势能函数(可以把层峦叠嶂的山区看作一种'势'的分布: 山顶势高,山谷势低)与边界条件(依具体情况而定,比如: 要求波函数在边界上为零)决定的.

通常, 有一个系列的函数可以满足前述的薛定谔方程, 也就是可以作为那个粒子的波函数. 我们可以用下标1,2,3,... 来标志各个波函数{φ}, 它们对应的能量分别是 E1, E2, E3, ...(从低到高). 也就是说, 这些波函数是可枚举的; 能级是离散的[a], 如下图所示. (对比经典情况, 粒子的速度可以取任何小于光速的连续的值, 故而它的能量值是连续的.)

能级 ∧ 波函数

| ....

E5,6 | ==== φ5,6 \

E4 | ---- φ4 \_ (激发态)

E3 | ____ φ3 /

| /

E2 | ____ φ2 /

|

|

E1 | ---- φ1 (基态)

[图一]

一个粒子,比如光子,还会有自旋(可以想成是一个小陀螺, 不过它的转动快慢, 即角动量, 也是量子化的, 即:只取离散值). 所以为了完全刻画该粒子的状态,还需要在其波函数中加入自旋. 如果薛定谔方程里所含的那个势能不依赖于自旋(即:哈密顿量不含自旋), 那么不同自旋的波函数有相同的能量值. 也即: 在同个能级上会有几个不同的态. 我们称这个能级是"简并"的. 另一种发生能级简并的例子是: 考虑一个限制在一定体积V内的自由粒子, 它的能量就是它的动能, 正比于动量的平方. 所以同样动量大小, 但不同动量方向的粒子(算作是不同的态,因为动量是矢量)具有相同的能量. 我们以后会回到这个例子继续讨论.

再说自旋, 所有粒子依它们的自旋可分成两类: 费米子或玻色子. 费米子, 如电子、质子、中子, 有半整数自旋; 而玻色子, 如光子和弱相互作用的W玻色子, 有整数自旋. 费米子遵循泡利不相容性原理, 就是说, 一个量子态最多只能被一个费米子所占据. 而玻色子没有这个限制. 如果把上面所说的能级想象成楼层, 每个能级上不同的态想象成不同的房间, 那么费米子是极端的"孤家寡人": 如果一个房间里早已有了一个费米子, 那么别人休想再挤进去.

下面再扯扯统计物理. 在一定温度下, 粒子们会在不同能级间形成一个分布. 温度越高, 粒子的平均能量就越大(越活跃), 于是越有可能跑到高的楼层. 温度越低, 则粒子的平均能量就越小(越懒惰), 于是更倾向于呆在低楼层(何况高处不胜寒啊). 比如在重力场中, 空气分子总是倾向于呆在低处, 海拔越高则空气越稀薄.

为做物理研究, 我们总希望能制造极端物理条件, 因为这样才能带来新的物理现象. 比如我们希望拥有高能加速器, 用以探索亚基本粒子的规律. 探索的尺度越小, 则需要的能量越高. 我们希望制造高温高压的环境, 用以做可控核聚变, 等等. 可是以上这些人造的极端物理条件远远比不上自然界的对应物(如, 太阳内部, 超新星爆发, 等等). 不过人类的智力终究不是徒劳的, 有一种人造的极端条件可以使大自然的鬼斧神工黯然失色.

(待续)

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脚注

[a] 如果一个集合的元素可以和自然数N={1,2,3,...}或其子集的元素建立一一对应的关系, 那么我们称它为"可枚举的". 例:

集合 S1={5, 8, 10} 是可枚举的. S2={2, 4, 6, 8, 10,...}(即:所有正偶数)也是可枚举的: 每个S2的元素除以2就是一个自然数(可验证此乃一一映射). 所有有理数也构成可枚举的集合(留作习题,呵呵); 但一段连续的实数, 如:在[0,1]之间的所有实数, 则为不可列的(它比自然数集合大).

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