主题：【原创】从凝聚态物理开始乱侃. (一)背景知识 -- 衲子

容小僧信马由缰, 胡吹乱侃.

先科普一些基本的量子力学结论.

我们知道, 在经典力学中,一个点粒子的运动状态可以用它的位置和动量(即速度乘质量)来描述. 这个位置和动量有确定的、随时间连续变化的取值. 而在量子力学中, 一个点粒子的运动状态由波函数描述. 这个波函数是满足薛定谔方程的解, 而后者是由势能函数(可以把层峦叠嶂的山区看作一种'势'的分布: 山顶势高,山谷势低)与边界条件(依具体情况而定,比如: 要求波函数在边界上为零)决定的.

通常, 有一个系列的函数可以满足前述的薛定谔方程, 也就是可以作为那个粒子的波函数. 我们可以用下标1,2,3,... 来标志各个波函数{φ}, 它们对应的能量分别是 E1, E2, E3, ...(从低到高). 也就是说, 这些波函数是可枚举的; 能级是离散的[a], 如下图所示. (对比经典情况, 粒子的速度可以取任何小于光速的连续的值, 故而它的能量值是连续的.)

能级 ∧ 波函数

| ....

E5,6 | ==== φ5,6 \

E4 | ---- φ4 \_ (激发态)

E3 | ____ φ3 /

| /

E2 | ____ φ2 /

|

|

E1 | ---- φ1 (基态)

[图一]

一个粒子,比如光子,还会有自旋(可以想成是一个小陀螺, 不过它的转动快慢, 即角动量, 也是量子化的, 即:只取离散值). 所以为了完全刻画该粒子的状态,还需要在其波函数中加入自旋. 如果薛定谔方程里所含的那个势能不依赖于自旋(即:哈密顿量不含自旋), 那么不同自旋的波函数有相同的能量值. 也即: 在同个能级上会有几个不同的态. 我们称这个能级是"简并"的. 另一种发生能级简并的例子是: 考虑一个限制在一定体积V内的自由粒子, 它的能量就是它的动能, 正比于动量的平方. 所以同样动量大小, 但不同动量方向的粒子(算作是不同的态,因为动量是矢量)具有相同的能量. 我们以后会回到这个例子继续讨论.

再说自旋, 所有粒子依它们的自旋可分成两类: 费米子或玻色子. 费米子, 如电子、质子、中子, 有半整数自旋; 而玻色子, 如光子和弱相互作用的W玻色子, 有整数自旋. 费米子遵循泡利不相容性原理, 就是说, 一个量子态最多只能被一个费米子所占据. 而玻色子没有这个限制. 如果把上面所说的能级想象成楼层, 每个能级上不同的态想象成不同的房间, 那么费米子是极端的"孤家寡人": 如果一个房间里早已有了一个费米子, 那么别人休想再挤进去.

下面再扯扯统计物理. 在一定温度下, 粒子们会在不同能级间形成一个分布. 温度越高, 粒子的平均能量就越大(越活跃), 于是越有可能跑到高的楼层. 温度越低, 则粒子的平均能量就越小(越懒惰), 于是更倾向于呆在低楼层(何况高处不胜寒啊). 比如在重力场中, 空气分子总是倾向于呆在低处, 海拔越高则空气越稀薄.

为做物理研究, 我们总希望能制造极端物理条件, 因为这样才能带来新的物理现象. 比如我们希望拥有高能加速器, 用以探索亚基本粒子的规律. 探索的尺度越小, 则需要的能量越高. 我们希望制造高温高压的环境, 用以做可控核聚变, 等等. 可是以上这些人造的极端物理条件远远比不上自然界的对应物(如, 太阳内部, 超新星爆发, 等等). 不过人类的智力终究不是徒劳的, 有一种人造的极端条件可以使大自然的鬼斧神工黯然失色.

(待续)

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脚注

[a] 如果一个集合的元素可以和自然数N={1,2,3,...}或其子集的元素建立一一对应的关系, 那么我们称它为"可枚举的". 例:

集合 S1={5, 8, 10} 是可枚举的. S2={2, 4, 6, 8, 10,...}(即:所有正偶数)也是可枚举的: 每个S2的元素除以2就是一个自然数(可验证此乃一一映射). 所有有理数也构成可枚举的集合(留作习题,呵呵); 但一段连续的实数, 如:在[0,1]之间的所有实数, 则为不可列的(它比自然数集合大).

• 【目录】3。天文物理

各位河友: 小僧离河一个月, 故没能尽快完成此系列, 也没能及时回答河友们的问题,十分抱歉. 有道是, 有坑不填非君子. 况且, 我开支票给淡淡微风在先, 以此恳求淡师兄开讲楞严经. 现在 楞严经已有十讲 http://www.cchere.com/article/374445,

拙作却没了下文, 真是罪过罪过.

在(一)背景知识 中 我们谈到, 温度越低, 粒子们越懒得动, 越喜欢往低的楼层(能级)钻. 我们现在只考虑玻色子.

"1924年，印度物理学家玻色（Satyendra Nath Bose）提出了有关光子统计的一项重要理论，并将这一结果寄给爱因斯坦。爱因斯坦将这一理论扩展到统计某一特定原子的领域中，他预测，如果这类原子气体被冷却到非常低的温度时，所有的原子都将突然以最低能量状态聚集在一起，因此，它被称为“凝聚”（condensation）。这就是玻色-爱因斯坦凝聚（Bose-Einstein condensate，简称BEC）名称的由来。" (抄自网上)

我们知道, 粒子在各楼层间的分布, 不但和温度、楼层高矮, 还和每个楼层的房间个数有关. 若某楼层的房间个数多, 粒子们自然更可能呆在这层楼. 那么，楼层的房间个数是怎么定的呢？

为此， 我们必须讲一下相空间的概念。相空间是指由位置和动量所组成的空间。比如在三维空间中的粒子，它的位置需要三个数决定（向东走x米， 向北走y米， 再向上爬z米）； 同样地， 它的动量也需3个数决定， 因为速度矢量可以有3个独立分量（vx, vy, vz)。 所以这个相空间总共有6维。由量子力学的结论， 相空间被划分为许多小单元，每个单元即是一个房间。 自由粒子的能量只是它的动能， 只取决于动量的大小。我们要问的问题是：对给定能量，即动量大小的一个楼层， 它含有多少的房间呢？ 设想固定大小的三维动量矢量所组成的集合： 这是一个篮球的球面。 中心为坐标原点（零动量），从中心到球面等距（此距离代表动量的大小）， 即半径。 对应于这个楼层的房间的个数即正比于该篮球球面的面积再乘以厚度（厚度并非常量哦）。最后的结论是： 楼层越高（球半径越大）， 房间的个数就越多。 房间的个数正比于楼层（能量）的平方根。 所以这个楼房是超现代建筑， 一楼只有一个房间， 二楼有1.4个, 四楼有两个, 九楼有三个房间, 如此类推. 大概楼层越高, view越好, 所以值得多造些房间. 不过这在日本肯定行不通的, 因地震故, 萨苏可以作证。

好, 我们回到玻色子在这个建筑内的分布。在不太低的温度下, 粒子倾向于呆在中间的某个楼层上下。 因为最低的能态只有一个房间, 在这个高耸入云的超现代建筑里完全可以忽略不计。非常小的几率(为0)下， 才会有粒子驻跸于此，而且没停多久就被别的粒子一撞之下弹出底楼。

但当温度逐渐降低， 粒子们大都涌入底部的楼层， 此时底楼之单间也经常有人光顾了， 这就是发生玻-爱凝聚的相变。 当温度非常底， 绝大多数粒子都会呆在底楼之单间。绝对零度时， 所有粒子均停留在这同一个量子态。 宏观量子效应已被实验观测到。

以上是简单的理论分析， 标准的统计力学教科书中都有。 那为什么实验验证BEC是such a big deal 呢？ 再说，液氦的超流不是早就发现了吗？ 这是我当初听到BEC的反应。有趣的是， 后来我跟一个学高能物理的哥们聊起来， 他也是这么认为的。 其实，液氦的超流并不算严格意义上的BEC，因为液氦是液体，意味着氦原子之间的相互作用还比较强。而理想的BEC应该在理想气体中发生， 就是说，原子之间应该只有弹性碰撞。液氦不符合这个条件。

说句题外话， 当年我给一个模糊逻辑的大拿（K）当概率论的TA。 K 上课不完全照教材， 所以要求TA也随课听讲，郁闷。 一日，K扯到最新科学进展，问底下学生， 有谁保持看Nature和Science，知不知道近来有什么新发现？ 可怜学生们都是低年级的工科研究生，谁会看Nature和Science？ 自然丈二金刚摸不着头脑。我见气氛沉闷，便道： 非玻－爱凝结乎？ 于是K印象十分深刻。（我已跳槽， 这不是物理系的课， 否则当然不算啥。） 后一夜， 小僧在办公室，房门撑开（因中央空调在晚上关了），K路过，见到我，便进屋聊， 云： 吾常见汝寅夜苦读，何也？无家眷乎？ 对曰：然。 问：何故？ 对曰：俗事繁杂， 无暇也， 非为gay尔。K抚掌曰：“若如此，吾有三锦囊妙计，汝可一试。其一：星期六晚上去健身房，若有女子，则可大胆勾搭，因为她必然没有男友（否则怎会此时还在gym， 不go out呢？）其二：常去学校旁边的Starbucks， 相机行事， 就看你自己的手段了。据吾所知， 有些junior faculty 也是为此目的而去， 非特喝咖啡也。 其三：携汝laptop 或书本，去大酒店门堂内，找个面朝主过道的沙发坐下、学习。因客流量大， 必有女性垂青于汝者，多为职业女性， 她们自会找理由与汝交谈。（小僧暗忖：此非现代版之守株待兔欤？）想当年，吾若汝少年时，已有女人无数。 汝切不可虚掷青春，白首穷经。” 小僧自然喏喏连声。但几年来一直没有照K的建议去试， 以后也不会了，我把它们贡献出来，为的是河里的单身弟兄们没准可以用上。

好， 闲话少说， 回到BEC的实验验证。“在物理学领域，向来知易行难。在玻色-爱因斯坦凝聚概念提出的近80年中，物理学家为实现它付出了不懈努力，但一直到90年代中后期，实验手段的进步才为它的实现提供了可能性。研究者们首先必须克服的一个困难是避免常规的凝聚出现，就像水蒸气冷却后凝结为水一样。为了实现这一目的，必须使气体非常之冷，从而使粒子移动极为缓慢。而且，气体还必须保持稀薄，从而使粒子可以彼此分开。使用激光可以有效地冷却气体，此外，可以设置“磁阱”（Trap），用光和磁的力量将冷原子聚集在一个微小的原子云团中。1990年左右，美国科罗拉多州立大学的物理学教授卡尔.E.魏曼曾提出，在激光冷却之后，应当停止光照并对磁阱中的粒子进行蒸发冷却。在实验中，充满冷原子的磁阱的边缘被降低，运动速度最快的那些粒子逃逸出去，这情景有些像是一杯滚烫的咖啡?D?D热气袅然散去后，留在杯子里的，便是精华的咖啡?D?D在这里，它们就是宝贵的冷原子。

尽管魏曼的设想使BEC朝向实现迈出了一大步，但直到就职于美国国家标准局（NIST）的埃里克.A.康奈尔加入他的实验小组，成为BEC项目的合作者，实质性的突破才真正到来。康奈尔用旋转磁阱磁场的方式，解决了一直困扰魏曼的原子从磁阱中心逸出的问题。1995年6月，他们使用铷（rubidium）原子气体在高于绝对零度0.00000002度的温度下实现了玻色-爱因斯坦凝聚。

成功接踵而来。4个月后，1990年才进入麻省理工学院（MIT）独立进行相关研究的德国物理学家沃尔夫冈.凯特勒使用钠（sodium）原子气体也实现了玻色-爱因斯坦凝聚。在他所获得的凝聚物中，包含的钠原子数目是先前魏曼和康奈尔取得的凝聚物中铷原子数目的几百倍。凯特勒的贡献还在于，他通过实验证明了BEC中的所有原子确实拥有同一波长。他的实验方式有些像孩子们的游戏:向平静的水面同时投入两颗石子，产生的波纹会彼此消长。当他将钠原子BEC等分为两部分，并观察二者的相互作用时，结果是同样的。这就证明，这些原子的振幅和频率是一致的。此外，凯特勒还从凝聚物中提取了一束谐振物质，从而获取了第一束原子激光束。” （摘抄自网上）

(待续)