主题：阿波罗尼奥斯问题-Prob. of Apollonius -- 理性网民

令给定点A的坐标为(xA, yA)，给定直线l、m分别经过点(xB, yB)、(xC, yC)且其法线与x轴正向夹角分别为θl、θm。假设所求圆圆心为(x, y)，半径为r。那么PLL问题等价于求解如下非线性方程组。其中xA、yA、xB、yB、xC、yC、θl、θm为已知量，x、y、r为未知量。

方程组（3.1）的第一式要求点A在所求圆上。第二式要求直线l与所求圆相切。第三式要求直线m与所求圆相切。同样，由于一个点到一条直线的距离可以是正值也可以是负值，第二式和第三式的右侧可以取正号也可以取负号。

方程组（3.1）的后两式可以看作关于x和y的二元二次方程组。令r可以取正值也可以取负值。方程组（3.1）的后两式等价于如下方程组。

其中的正负号代表两式对应的r值符号不同。pB、pC分别为坐标原点到直线l、m的法线长度。

将r当作已知，行列式det(A)可以用于判断方程是否有解。

当det(A)为零时，直线l、m互相平行，θm = θl或者θm= θl + π。由于l、m不重合，为使方程组有解，相应的r值为

得到r值以后，x和y值可以根据方程组（3.1）的前两式求出。

当det(A)不为零时，x和y可以表示成为r的函数。

其中E点(xE, yE)为直线l与直线m的交点，(kx, ky)为与角平分线a平行的向量。向量(kx, ky)的长度为

其中ϕ = (θm − θl)/2或者(θm − θl − π)/2，等于直线l与直线m之间夹角的一半。将式（3.5）代入方程组（3.1）的第一式，合并同类项后可以得到r需要满足的方程。

化简以后，可以得到式（3.7）的判别式为

其中ψ为线段AE和角平分线a的夹角。直线l与直线m将整个平面分成四个区域。当ψ > ϕ，点A与角平分线a位于不同的区域，此时Δ < 0，r无实数解。当ψ = ϕ，点A位于直线l或直线m上，此时Δ = 0，r有一个实数解。当ψ < ϕ，点A与角平分线位于同一区域，此时Δ > 0，r有两个相异的实数解。得到r值以后，x和y值可以根据方程组（3.5）求出。