主题：要是我来出高考题，我会出这类的 -- 大洋芋

不说这些，是因为下面两个例子很多人都知道了，不适合当考题。

1. 定义在实数上的函数g满足对所有的实数x，y都有g(x+y)=g(x)+g(y)，且不存在实数a，使得g(x)≡ax，证明g(x)的图像在平面上稠密，即，平面上任何一个半径不为零的园内都可以找到一个点(x,g(x))。

2. 称定义了内积的实向量空间为欧氏空间（下面大写的英文字母代表向量，小写希腊字母代表实数，|U|代表向量U的长度，*代表实数乘法），在欧式空间上定义一个二元函数g，我们称之为乘法：g(U,V)≡U×V=W，满足以下条件：

1. 结合律：(U×V)×W≡U×(V×W)

2. 线性，分配律：(αU+βV)×W≡α(U×W)+β(V×W)；W×(αU+βV)≡α(W×U)+β(W×V)

3. 连续性：|U×V|≤|U|*|V|。（这条表示我们不希望两个一般大小的向量可以乘出很大的向量）

4. 存在乘法单位E，满足E×U≡U×E≡U，且|E|=1

证明仅在三种情况下这种定义才是可能的，而且确实是可以定义的：

a). 一维空间，乘法等同于实数乘法：(αE)×(βE)=(α*β)E

b). 二维空间，乘法等同于复数乘法：即可以找到单位向量I垂直于E，I×I=-E，一般地，(αE+βI)×(γE+δI)=(α*γ-β*δ)E+(α*δ+β*γ)I

c). 四维空间，乘法等同于四元数乘法：即可以找到单位向量I，J，K，使得E，I，J，K两两垂直，且I×I=J×J=K×K=-E；I×J=-J×I=K；J×K=-K×J=I；K×I=-I×K=J

特别地，证明这种乘法必定满足|U×V|≡|U|*|V|而不仅是|U×V|≤|U|*|V|

上面这两题都没有超纲，但是要做出来需要真功夫，第二题属于现在流行的给材料，给信息题。

• 关于复数，我个人很喜欢这种导出方式