主题：【原创】今天的数学（系列） -- qiaozi

第一章　素数

第一节　什么是素数，为什么是素数？

上课了！请同学们坐好。请想睡觉的同学先给自己披上一件衣服，以免感冒。

数学的一个主要源头是数数（注意：这是个成人的动宾词组，而不是幼儿的叠字！），数数（again，动宾词组！）的结果就是产生了自然数1，2，3，4……和加法的概念。从加法出发，我们又可以引进其他三种四则运算

1． 减法：作为加法的逆运算。

2． 乘法：作为加法的一种简便算法

3． 除法：作为乘法的逆运算。

在四则运算里面，只有加法和乘法总可以把自然数变成自然数，而减法和除法作为它们的逆运算则是有时候能，有时候不能（可能有“不够减”和“不能整除”的情况）。因此，很自然的我们的先人把更多的心血放到了加法和乘法上面。然后呢？

当我们有一大堆相互关联的东西的时候，一个很自然的想法就是找出其中最基本的那些元素。当我们环顾四周的物理世界的时候，我们会问这个世界是由哪些基本元素构成的，当然我们今天知道答案是什么：一堆由希腊字母开头的古古怪怪的名词和更大的一堆动辄几亿元的账单。同样的，我们也可以瞪着无辜的大眼睛对着自然数问同一个问题――自然数是由哪些基本元素构成的？

在我们试图回答这个问题之前，一个很重要的问题是：这个问题究竟在说什么？

很重要的问题之一：这里的“构成”是什么意思？

上面提到，有两种方法从一堆自然数中间产生新的自然数。一种是加法，一种是乘法，所以“构成”应该是指通过加法或者乘法进行运算。因此我们的问题更精确的说法应该是：自然数是由哪些基本元素通过加法／乘法得到的？

很重要的问题之二：这里的“基本元素”又是什么意思呢？仔细琢磨一下，我们会意识到我们希望的“基本元素”是这样一些自然数：

条件１． 我们希望这些“基本元素”本身是最“原始”的，即不能再（通过加法／乘法）分解成其他的自然数。

条件２． 同时，我们希望这些“基本元素”是足够多的，即每一个自然数都可以由它们（通过加法／乘法）结合产生。

条件３． 最后，我们希望这些“基本元素”是刚刚好的，即一个都不能少，去掉任何一个元素都不能满足条件２。

对于加法，自然数的基本元素是很容易找出来的，就是１本身。１不能写成其他自然数的和，而所有的自然数都可以写成若干个１相加的形式。当然，这种情形too simple, too naïve，以至于大多数人都忘了想一想它。

对于乘法，问题就复杂得多。至少我们有一大堆“原始”的元素，诸如２，３，５，７，１１之类，不能写成其他自然数的乘积。既然有了一大堆，我们总该给他们一个特殊的称呼；既然它们是作为“原始”的元素被挑出来的，它们应该被称为“原始的”或者“朴素的”(primary)。于是，我们有了下面的定义。

一个自然数，如果不能表示成其他自然数（不包括它本身）的乘积的形式，那么它就被称为素数（prime number，也有翻译成质数）。例如：２，３，５，７，１１，１３，１７，１９……

反之，一个自然数，如果能够表示成其他自然数（不包括它本身）的乘积的形式，那么它就被称为合数（composite number）。例如：４，６，８，９，１０，１２……

注意：依照惯例，自然数１既不是素数，也不是合数。这是因为１虽然是“原始”的，关于乘法不可以再分解，但是不是必须的，因为任何数乘上１都是这个数本身。所以它不满足我们关于“基本元素”的第三个条件。

如果我们回头看看上面关于“基本元素”的定义的讨论，我们可以看到我们的素数的定义事实上就是把第一个条件重写了一遍。把１扔掉之后，素数显然也满足第三个条件。但是，这样得到的素数也满足第二个条件（每个自然数都是素数的乘积）吗？直观上这是显然的，因为每一个自然数，如果不是素数，总可以再分解成两个数的乘积，而对于每一个因子我们再作同样的讨论。因子会越来越小，所以这种分解必定在某一步就停止了，而这就说明此时所有的因子都是素数了。严格地说，我们有如下的算术基本定理。

算术基本定理：每一个自然数总可以写成若干个素数的乘积的形式，而且在不考虑这些素数因子的次序的情况下，这种乘积表示是唯一的。

例如，我们知道６有乘积表示６＝２Ｘ３＝３Ｘ２，而且如果不在乎２和３的次序的话这个表示是唯一的。

注意：在算术基本定理中，一个重要的结论就是乘积表示的唯一性。对于自然数这是显然的（虽然不是很容易证明的），但是如果我们走得稍微远一些它就未必成立了。我们将在本章的最后一节提到这个让人又爱又恨的现象。同时，我们可以看到不把１作为素数的好处，因为否则我们就绝不可能得到乘积表示的唯一性，例如６便会有无穷多个不同的表示６＝２Ｘ３＝１Ｘ２Ｘ３＝１Ｘ１Ｘ２Ｘ３＝……。

注意：有人可能会问，１怎么写成素数的乘积呢？在数学里，一个通用的约定是，一个空的和式（没有加数和被加数）等于零，一个空的乘积（没有乘数和被乘数）等于１。所以１可以唯一的写成零个素数乘积的形式。这个约定倒不是空穴来风，而是从最基本的数理逻辑中的定义推出来的。（下删3492字和16个公式）

小结一下，素数是作为乘法运算的“基本元素”被引进的。根据算术基本定理，每一个自然数总可以（唯一地）写成若干个素数的乘积的形式。如果和我们的物质世界作一个类比的话，我们刚才做的就是高能物理和粒子物理的研究――当然，要更加省钱……

一旦有了素数，我们自然会想去研究它们的基本性质，研究它们怎么构造出自然数来（就象我们熟知的物理、化学、材料科学之类，当然，要更加省钱……）。这里一些很自然的问题包括：素数有多少个？素数在自然数里面是怎样分布的？素数有哪些特殊的样子？素数能否用乘法以外的方式再构造出自然数来？对于这些问题的研究和解答从古希腊时期一直延续至今，成为数论乃至整个数学的一个重要的推动力量。

在接下来的几节里，我们将要一起简单讨论一下素数的这些基本性质。特别的，我们可以看到，虽然素数都是由乘法来定义的，这些问题的提出却都是或多或少的与加法相联系（例如，大小的概念归根到底就是由加法来定义的）。加法和乘法互相作用、互相干扰（fancy一点，自然数的环结构）是这些看起来简单的问题如此困难的主要原因之一。

那个正在睡觉的同学请醒一醒，你的同学们早就逃光了。下课！