主题：【讨论】【分享】动脑筋消遣 -- 侯登科
家园 数学或算术，我多少懂点儿，但 你这是高等数学，哈。不懂。
家园 再来一次，用幼儿园思路， 列出整个SAMPLE SAPCE，不对的话自动退学。
3个盒子版本，玩3次。
主持人刻意去掉一个空盒：显然，不改选只中1次，改选能中2次。
主持人随机开盒子：有1次开到金条，游戏无效。此外，改与不改各中1次。
这位同学可能是最清醒，自动表样1次，4个盒子版本由您亲自表演。
请教思路 盲人泪 2008-08-08 09:26:52当3个盒子的时候，如果主持人是随机的打开一个，发现是空盒子时，此时A有物的概率将改变。
那么为何在这里又不变呢？
我自己没想清楚，你能给以指点么？
家园 推广第一题 有4个盒子，1个有物3个空。
你初选一个，设为A，
然后主持人打开其他三个中的一个空盒子D，
然后再在剩余的两个盒子中随机打开一个C，发现是空的。
此时问，选A时有物的概率如何算？
- 复 推广第一题
家园 还是1/4 具体思路回头再港
其实这个问题老兄不应再有任何怀疑，因为如果你学过 conditional probability 的话，推一下就明白了。现在关键的问题是如何用通俗易懂的思路来说服自己。就好比鸡兔同笼的问题，初一学生都能用代数方法得到正确结果，但如果用小学四则运算弄出来就比较有挑战性了
- 复 推广第一题
家园 还是1/4? 花
- 复 还是1/4?
家园 请教思路 当3个盒子的时候，如果主持人是随机的打开一个，发现是空盒子时，此时A有物的概率将改变。
那么为何在这里又不变呢？
我自己没想清楚，你能给以指点么？
- 复 请教思路
家园 请看 http://www.ccthere.com/thread/1722538#C1724867
- 复 请教思路
家园 建议参考老马丁和煮酒正熟的贴子 http://www.ccthere.com/thread/1372905
早知有他们的贴我就上那玩去了。
下面解释一下我的理解。
（A）主持人是在知情的情况下按规定打开空盒，初选的概率不变，未被选的概率总和也没变，只是被压缩了，开1个盒压缩1次。
（B-1）随机开盒，开到空盒时相当于（A）情况，即其它盒子的概率数值与（A）相同，只是这时称呼改成“条件概率”。
（B-2）随机开盒，开到有东西的盒子，这时其它盒子概率，即条件概率为0，
稍微值得一提的是，玩者只处在（A）或（B-1）条件下。（B-2）是电视台该关心的事，不影响（B-1）条件下的概率状况。我早前自我迷糊了，郁闷啊。
家园 谢楼下各位捧场，在此一并回复 抱歉！题目陈述的不严谨不清楚，我原先也不知道有这么多道道，可是这样一来讨论更有趣不是。
我不是专业的，做不了主，下面是我所知的全部。
（1）如果有规定主持人必须打开石头盒，应该换，这样总体得金率2/3。不换的理由是相信初选是正确的，但初选错误的可能性，是初选正确的2倍。如果主持人也是随机盲目开盒（就是说总体有1/3可能开到金条，但眼前这一次独立事件的结果是石头），换不换总体得金率相同。以上两个情况用扑克牌模拟就可以大概验证。
主持人是否知情，有什么规定，这些因素对玩者来说可能带有确定性/随机性/欺骗性。更多分析请参考煮酒的贴子，谢老马丁的提醒。
（2）可以朝天开枪很可能是我自己瞎加进去的，真记不起来源，更不知道详细解答。“可以朝天开枪”令“最佳结局”的定义很有毛病，这样一来，电子赵括的推断也很合理而且成立。其它请参考衲子的分析和计算，谢谢衲子。
是的。我来只想着决斗目的是消灭敌人保存自己。为了抢美人问题就不一样了。
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改错：两种情况都是改选机会翻1倍。（可能越改越错
）（1）如果有规定主持人必须打开石头盒，应该换，这样总体得金率2/3。不换的理由是相信初选是正确的，但初选错误的可能性，是初选正确的2倍。如果主持人也是随机盲目开盒（就是说总体有1/3可能开到金条，但眼前这一次独立事件的结果是石头），换不换总体得金率相同。以上两个情况用扑克牌模拟就可以大概验证。家园 【推广第二题】N个枪手为抢一个美丽的公主而决斗，枪手的命中率 为Pi，i=1，……，N，以从低到高的排序。
开枪次序为：从1号开始，
当i号枪手射完，下一个有开枪权的是j号枪手：j是现在存活的、大于i的最小号数；如果大于i号的人都死光光了，那么就从1号开始往上找，直到找到一个活着的人为止。如果i号是唯一活着的人，那么游戏已经结束，i号抱得美人归。
问：1号枪手的最佳策略是什么？
家园 【原创】解题思路：1、对于三人问题，最佳策略不依赖于具体的命中率 假设三人命中率为P1,P2,P3, P1<P2<P3。
三人俱存时，若轮到3号开枪，那么他应射2号，因为希望剩下的是威胁较小的那个敌人。
于是，三人俱存时，若轮到2号开枪，那么他应射3号，因为3号是首要的敌人。
（一）如果1号不作为，那么结果就是2号和3号轮番对射，直到一人死亡为止。这时，1号与那个存活的枪手对决，但开枪权是在1号手里。
2、3对决，2号首发，2的胜率为 Pw23 = P2/(P3 + P2 - P3 P2)
1、2对决，1号首发，1的胜率为 Pw12 = P1/(P1 + P2 - P1 P2)
1、3对决，1号首发，1的胜率为 Pw13 = P1/(P1 + P3 - P1 P3)
【符号Pwij代表：i与j对决，在i首发的情况下，i的胜率。】
所以1的胜率为：Pa = Pw23 Pw12 + （1-Pw23）Pw13
（二A）如果1号射死了2号，那么剩下是1号与3号对决，3号有首发权。【最糟糕，不予考虑】
（二B）如果1号射死了3号，那么剩下是1号与2号对决，2号有首发权。
2号获胜概率为 Pw21 = P2/(P1 + P2 - P1 P2)。
所以1号获胜概率为 Pb = 1-Pw21。
可以证明，Pa > Pb.
所以，1号的最佳策略是：朝天开枪，直到2和3决出胜负为止。
家园 【原创】那个不等式的证明 要证明 Pa = Pw23 Pw12 + （1-Pw23）Pw13 > Pb = 1-Pw21 = 1-P2/(P1 + P2 - P1 P2)。
对于固定的P1和P2，我们研究P3的取值范围∈(P2,1]，看看P3的取值对于不等式的左边有什么影响？
首先注意到Pa是两项的加权平均——是Pw12与Pw13这两项的加权平均，权重因子分别为Pw23与（1-Pw23）。
当P3增大，Pw23就减小（直观而言，2对3的决斗胜率，随着3的准头的增加而减小），Pw13也减小。
若Pw23减小，那就是说在Pa中，Pw12所占的权重（Pw23）会减小；而Pw13所占的权重（1-Pw23）会增大。
由于P3>P2，所以Pw13<Pw12（直观而言，都是在1首发的情况下，1对3的决斗胜率，比1对2的决斗胜率小）。
所以最终的结果是：Pa在减小（因为两项的平均值中，小的那项变小，而且其所占的份额还变大，于是把总的均值愈加拉小了）。
所以左端的下限在P3=1时达到，为：
Pa1 = P2 Pw12 + （1-P2）P1。（当P3=1时，Pw23=P2；Pw13=P1。）
下面要证的是：Pa1 > Pb。
喝口水先……
家园 【原创】证完（辣快妈妈，太繁琐啦，不接茬玩了） 要证：Pa1 > Pb
即：P2 Pw12 + （1-P2）P1 > 1 - Pw21
即：P2 P1/(P1 + P2 - P1 P2) +（1-P2）P1 > 1 - P2/(P1 + P2 - P1 P2) = P1(1 - P2)/(P1 + P2 - P1 P2)
两边消去P1, 得：
P2/(P1 + P2 - P1 P2) + 1-P2 > (1-P2)/(P1 + P2 - P1 P2)
令 A = P1 + P2 - P1 P2，移项至左，提取(1-P2)的公因子：
P2/A + (1-P2)（1-1/A） > 0
因为 A > 0，不等式两边可同乘A：
P2 + (1-P2)(A-1) > 0
注意A的系数(1-P2)为正，于是当A取最小值时，不等式左端亦取最小值。
而 A = P1(1-P2) + P2, 其中，P1的系数是(1-P2)>0, 所以，当P1=0时，A取最小值，P2。
于是不等式变为：
P2 + (1-P2)(P2-1) > 0
即：
P2 - (1-P2)^2 > 0
此不等式不成立！譬如当P2=0.001时。
所以前面关于最佳策略的推导有误！
实际情况和具体概率值是有关系的，很复杂，很复杂！
家园 break even 点 是P2=(3-sqrt(5))/2 当 P2 < (3-sqrt(5))/2，则有 P2 - (1-P2)^2 < 0，于是1号枪手宁可希望跟2号对决（由2号先开枪），也不愿等2号和3号决出胜负后，再跟胜者决斗（由1号先发）。
因为当P2很烂很烂，与P1差不多地烂，这时，1号与2号的对决，不管谁先开枪，都是50%的赢面。
而因为P2很烂很烂，所以他肯定输给3号，接下来1号与3号对决，即使由1号先发，胜率也是渺茫。
所以，1号应该每枪都打向3号，希望3号先完蛋，然后再与2号对决。
家园 【原创】2、下面分析四人问题。还是先从最高手的角度来考虑 四人命中率为P1,P2,P3,P4, P1<P2<P3<P4.
4号射死一人后，就简化为三人问题，1号首发。在这个三人问题中，对最高手而言，剩下的二人的命中率越小，就越安全，因为我是先和2号对决，再与1号对决，循序而行。所以，他们各人的命中率越小，那么我的胜率就越大。
所以，4号应该射3号。
于是，若四人共存，轮到3号开枪，就应该射4号。
2号选手应该怎么办呢？
喝口水先……