主题：【原创】上帝之书 -- 我爱莫扎特
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- 复 哈哈，微软的做派
家园 那我就写个严谨版的 对于顶点数V=4的三棱锥，E=6，F=4，有V-E+F=2成立。
设对于V=n时的凸多面体有V-E+F=2成立，那么对于V=n+1的多面体随机取一个顶点A，设通过A点的棱数为a。
设除去A点剩余点所构成的凸多面体其顶点数，棱数，面数分别为V1，E1，F1。
分两种情况。
1.如果A点处于其他n点组成的凸多面体外部，那么有
V-V1=1，
E-E1=a，（通过A点a条棱都是新增的）
F-F1=a-1.（A点新增了a个面，破坏了一个面）
由假设有V1-E1+F1=2，所以有V-E+F=2。
2.如果A点处于其他n点组成的凸多面体边界上，那么有
V-V1=1，
E-E1=a-1，（A点新增了a条棱，破坏了A点所在面上的一条棱）
F-F1=a-2，（A点新增了a个面，其中一个面和A点所在的面重合，又破坏了一个面）
由假设有V1-E1+F1=2，所以有V-E+F=2。
所以对于V=n+1的多面体V-E+F=2也成立。
由数学归纳法可知，对于任意N面体，有V-E+F=2成立。
家园 第一种情况 
外链图片需谨慎，可能会被源头改如图，从没P点到有P的过程中，破坏了两个面：EGF和EGH。事实上，可以类似构造出凸面体，增加一点后破坏了n个面。
家园 继续挑刺 那么对于V=n+1的多面体随机取一个顶点A，设通过A点的棱数为a。设除去A点剩余点所构成的凸多面体其顶点数，棱数，面数分别为V1，E1，F1。
去掉一个顶点后的多面体？
什么叫做去掉一个顶点？顶点连着的棱是否跟着被却掉？如果是的话，余下的那a个面变成什么样子？
我猜你的意思是说，把那些棱那一端的顶点再连起来，变成一个新的面。好吧，那为什么能“变成”一个新的面呢？别忘了，4个以上的点就不一定在同一个平面中哦。
家园 有关1 见我提的第二个问题
家园 花 大家接着挑错啊！
照我说，情况2是不必要的。你想想看对不？
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