主题：【原创】勾股定理（十三）---布尔巴基与数学结构 -- 我爱莫扎特
家园 【原创】勾股定理（十三）---布尔巴基与数学结构 几个星期没动笔，突然发现自己成了科技版的嘉宾，真是汗颜啊汗颜！之所以越写越慢，除了兄弟的电脑坏了之外，主要还是因为写作遇到了瓶颈。上一节写到了微分的勾股定理，作为19世纪数学最重要的数学思想之一，如何把它的意义讲明白，又不让读者陷入过深的技术细节，实在令我头疼。我决定稍微偏离一些原来的进程，在这一节讲几个比较初等的小例子，试着向大家介绍一下数学家们到底在想些什么，做些什么？
数学到底是什么？数学家又在做些什么？这个问题恐怕一千个人有一千个答案。便是数学家自己，兴趣和品位也相差颇大。某人看来很有意思的研究，在另一个人眼中可能毫无价值。爱因斯坦当年就感叹：物理学的核心问题非常明确，而数学的问题太多太杂，让人很难分辨出重要性，从而抓住核心问题。然而，毫无疑问的是，数学这样一个庞大的学科，在过去的一两百年中，无论广度还是深度都有很大的发展。爱因斯坦的批评针对的是广度，那么什么才是数学在深度上的发展呢？难道只要证明了“哥德巴赫猜想”就是数学巨人了么？对数学工作的评价有没有客观的标准？为啥高斯提出了微分几何第一基本公式就那么重要，仅仅是因为他是高斯么？
这些问题的回答涉及到数学本质的思考。大约在100年前，数学界乃至哲学界曾经就这些问题产生过非常激烈的争吵，并产生了不同的派别。其中的一个非常重要的派别是法国的布尔巴基（Bourbaki）学派。关于这个学派不是三言两语能讲清楚的。简单说来，就是20世纪初的一群年轻人聚在一起以他们自己的观点编写了一套数学教科书。
这群年轻人非常喜欢恶作剧，他们在很长的一段时间不肯以真面目示人，而以Nicolas Bourbaki这个假名发表所有著作。他们甚至于还给这位Bourbaki设计了完整的身份，住址，包括可以上溯到拿破仑时代的族谱。当然，并不是所有人都相信这位先生真的存在。50年代Bourbaki先生以个人名义申请加入美国数学会，被拒绝。而美国数学家Ralph Boas为大英百科全书写词条时，明确指出Bourbaki是一个团体的化名。这可惹恼了这位法国佬，他立即散布消息说Boas其实并不存在，只不过是一群美国数学会的数学评论的编者姓名首字母之缩写。这位Bourbaki老爷去世于1968年11月11日，他们为“他”发了一个只有数学家看得懂的讣告。
外链图片需谨慎，可能会被源头改《数学原理》的第一卷《集合论》，从名字可以看出，这套书与欧几里德的《几何原本》(《Element》）遥相呼应。作者们真是雄心勃勃啊！当然，使他们青史留名的并非他们的恶作剧，而是他们的写的教科书《数学原理》（Element de Mathematique）。说起来，写教科书这件事很容易被人看作没有技术含量。毕竟这是总结性的工作，看不到教育部倡导的素质教育中所重点突出的“创新精神”。不过大人物似乎总喜欢写教科书。萨缪尔森的《经济学》写了十几版，前言里就有一段老不客气的话，大致是说写这套经济学教材的目的就是为了“影响一代人的思想”。在我看来，他是大大的成功的，不仅影响了美国人，连中国的央行财政部也被他深深的“影响”着。而布尔巴基的这套教材，从出版以来，争议不断，但影响之大罕有匹敌。比如今天全世界数学教科书通用的数学符号，如Q表示有理数，R表示实数等等，都是从这本书开始，而结束了几个世纪以来各国数学界数学记号的混乱局面。光这点就和秦始皇统一度量衡可以相提并论。不过这只是副产品，最重要的是构建这套教科书的数学思想。
简单来说，他们认为数学是研究抽象结构的理论。所有的数学对象，不管是几何图形，数，函数，群，都具有一定的结构。研究数学就是研究这些结构，而用他们的方法，大部分数学对象都可以用这种结构的办法加以分类。打个不太恰当的比方，他们为数学建立起类似于生物学的“门纲目科”。他们的教科书完全构建于这一体系之上。
这套思想非常强大，但这样写出来的教科书实在令人头疼。比如大家最熟悉的实数，通常都是教材最初出现的概念。但在他们的书中，由于实数具有比较复杂而丰富的数学结构，如同自然界中的哺乳动物，虽然常见却并不简单，而被安排到了相当后面的章节才出现。可以想象，中学生拿着这套书作为课本将是多么恐怖的事情。当然，喜爱这套书的人对其赞不绝口，比如世界公认的天才数学家Deligne在12岁的时候曾经自学《数学原理》，读得津津有味，他后来能获得菲尔茨奖可能也与这套书的启蒙有关系。这套教材虽然没有被直接使用，但法国在60年代的数学教材改革仍然受到它的深刻影响，间接成就了法国数学在世界上的一流地位。
更进一步，布尔巴基学派相信只要找到正确的结构，数学问题的解答会自然出现。如果说一个定理是一座漂亮的楼房的话，他们关心的是它的钢结构，用什么建筑材料，用什么装修材料，这些搞清楚了房子也就造出来了。反之，巧妙的解题技巧是“不自然”的，被他们看不起。一个典型的例子是：布尔巴基思想的第二代传人，20世纪最伟大的数学家之一格洛腾迪克（Alexendre Grothendieck）曾经证明一个非常重要的定理，却因为证明过程中用了一个小技巧而被他自己所不齿，从而一直不肯发表，最终他的朋友实在看不下去帮他成文发表。毫无疑问，这套思想过于极端，受到无数人的反对，但它对现代数学思想的影响却也是同样巨大的。
如同物理学家一直试图找出世界的“本质”构成。从古代的金木水火土，到现代的分子原子，其实都是对物理世界内部结构的探求。同样的，受到布尔巴基思想的影响，现代数学家也一直追求着数学命题下面隐藏着的本质或者结构。从这个意义上说，一个训练有素的数学家并不难判断一项真正重要的数学工作的价值。下面我来举几个例子，让大家对于数学的结构，层次等有个感性的认识。
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本帖一共被 1 帖 引用 (帖内工具实现)家园 【文摘】结构主义 首先很抱歉，我的电脑还是没修好，只能暂时用别人的，所以尽管后面的文字已经打了腹稿，却很难在短期内完成。只好先贴一些别的东西。
布尔巴基学派的诞生其实有其历史的必然性，大家很容易发现，20世纪中各个领域都出现了结构主义的浪潮，比如艺术与哲学等。对此，著名心理学家皮亚杰（Jean Piaget）的名著《结构主义》有完整的论述。我下面贴一段引文，全文可以在如下链接看到：结构主义
6．母结构
但这还只是一个部分的胜利。在数学界可以称之为结构主义学派的，也就是布尔巴
基学派（les Bourbaki）的特征的乃是企图使全部数学服从于结构的观念。
传统的数学，是由各不相关的章节如代数、数论、数学分析、几何、概率论等等所
形成的一个整体，其中每一部分研究一个特定的领域，各自研究若干被内在性质所决定
的“存在”或对象。群结构可以应用于极不相同的成分，而不是仅仅适用于代数的运算。
这个事实促使布尔巴基学派按照类似的抽象原理来展开对种种结构的研究。如果我们能
把诸如数、位移、射影等（而我们已经看到，这里既有运算的结果，也有加在运算本身
上的运算）这些已被抽象化了的对象称为“成分”，群的特性却不是由这些成分的本性
来确定的。群以高一级的新的抽象超越这些成分；这新的抽象就是要抽绎出我们可以使
任何一种成分都能受其支配的某些共同的转换规则。同样，布尔巴塞学派的方法，就是
用组成同型性（isomorphismes)的办法，去抽绎出最普遍的结构，使各种不同门类的数
学成分，不问这些成分来自哪个领域，完全根本不管它们各自的特殊性质，都能服从于
这些最普遍的结构。
这样一件工作的出发点，是某种归纳法，因为我们所研究的各种基本结构的数目和
形式都并不是先验地推演出来的。这种归纳法，导致发现了三种“母结构”，即所有其
它结构的来源，而它们之间被认为是再不能互相合并了（三这个数目，是经逆退式分析
得到的结果，不是某种先验构造的结果）。首先是各种“代数结构”，代数结构的原型
就是群，但是还有群的派生物（“环“[anneaux英文为rings]、“体”[corps英文为fi
eld]，等等）。代数结构都是以存在着正运算和逆运算为其特点，即有从否定意义上体
现的可逆性（如T是正运算，T-1是它的逆运算，则T-1·T=0）。其次，我们可以看到有
研究关系的各种“次序结构”，它的原型是“网”（reseau或treillis，英文为lattic
e或network)，也就是一种普遍性可以和群相比拟的结构，这种结构最近才有人进行研究
（戴德金德（Dedekind〕、比尔霍夫（Birkhoff〕等人）。“网”用“后于”（succed
e）和“先于”（precede）的关系把它的各成分联系起来；因为每两个成分中总包含有
一个最小的“上界”（后来的诸成分中最近的那个成分，或“上限”[supremum]）和一
个最大的“下界”（前面成分中最高的那个成分，或“下限[infimum]）。网和群一样，
适用于相当大量的情况（例如，适用于一个集合中的“部分集合”或“单化复合体”[s
implexe]，或适用于一个群和它的那些子群，等等）。网的可逆性普遍形式不再是逆向
性关系了，而是相互性关系：如用加号（+）替换乘号（·）、用“先于”关系替换“后
于”关系，就使“A·B先于A＋B”这样一个命题转换成了“A＋B后于A·B”这样一个命
题了。最后，第三类母结构是拓扑学性质的，是建立在邻接性、连续性和界限概念上的
结构。
这些基本结构被区分出来并被阐明了特性之后，其它结构就通过两个过程接着产生：
或者通过组合的方式，把一些成分的整体，同时放到两个结构中（例子是代数拓扑学）；
或者通过分化的方式，也就是说，硬性规定某些确定子结构的限制性公设（例子是，用
引进直线守恒，接着是平行线守恒，接着是角的守恒，……等的办法，以连续一个接一
个嵌套的子群的形式，从同型拓扑群中派生出来的各种几何群。参见第五节）。人们同
样还可以从强结构到“比较弱的结构”进行分化，例如，一个结合律性质的“半群”，
既没有中性成分，也没有逆成分（自然数>0）。
为了把这些不同方面互相联系起来，为了帮助说明结构的普遍意义可能是什么情况，
值得先思考一下：“数学建筑学”（布尔巴基学派用语）的基础，是否具有“自然的”
性质，或者只能建立在公设化的形式基础上？这里我们已经可以在“自然数”指正整数
的意义上使用“自然（的）”这个术语了；正整数在数学上使用它们之前先已经构成，
是用从日常活动里所抽出来的运算构成的，这些运算，如早在原始社会里一对一的物物
交换中所使用的、或是儿童玩耍时使用的一一对应的关系，在坎托尔（Cantor）用来建
立第一个超穷基数以前，已经使用了几千年了。
人们可以惊奇地看到，儿童在发展过程中最初使用的一些运算，也就是从他加在客
体上的动作的普遍协调中直接取得的运算，正好可以分为三大范畴，划分的标准，根据：
运算的可逆性来自逆向性，象代数结构一样（在这个儿童的特殊情况下，是分类结构和
数的结构）；或运算的可逆性来自互反性，象次序结构一样（在这个特殊情况下，是序
列、序列对应关系、等等）；或者是运算组合系统不是以近似与差别为基础，而是来自
邻近性、连续性、和界限的规律，这就组成了一些初级的拓扑学结构（从心理发生学的
观点来看，这些结构先于矩阵结构和投影结构，与种种几何学的发展历史正好相反，但
却与理论推衍产生的顺序相符！）。
所以，这些事实似乎表明，早从智慧形成的相当原始阶段时起，布尔巴基学派研究
所得的那些母结构，在如果不说原始、自然还是非常初步的，并且从理论层次上说离开
这些母结构所能具有的普遍性和可能有的形式化程度还很远的形式下，就已经与智慧的
功能作用的必要协调，有相对应的关系了。其实，要证明刚才讨论的那些初始的运算在
事实上来自感知-运动（级）协调本身是不会很难的，在人类的婴儿身上和在黑猩猩身上
一样，这些协调的工具性动作肯定已经具有若干“结构”了。（可参见第四章）
但是，在阐明从逻辑观点看来上面这些见解意味着什么之前，我们先要看到，布尔
巴基学派的结构主义，在一个值得指出的潮流的影响之下，正在转化演变的过程之中。
因为这个潮流的确使人看到了发现——如果不说造成——新结构的方式。这就是要创立
“范畴”麦克莱恩[MacLane]、艾伦贝格[Eilenberg]等），也就是说要创立一个有若干
成分的类，其中包含这些成分所具有的各种函数，所以这个类带有多型性（morphismes)。
事实上，按照现在的词义，函数就是一个集合在另外一个集合上或在自身上的“应用”，
并导致建立各种形式的同型性或“多型性”。这差不多就等于说，在强调函数时，范畴
的重点不再是母结构，而是放在可以发现出结构来的、建立关系的那些程序本身上面。
这就又等于把新结构不是看成从先前的各种运算已达成的各种“存在”中引出来的，而
是从作为形成过程的这些运算本身里抽绎出来的。
因此，巴普特（S．Papert）在上面所说的范畴里看到的，更多地是为真正理解数学
家的运算而努力，而不是为了理解“一元化”数学的运算法的努力，这不是没有道理的。
这儿就是反映抽象的一个新的例子，说明这个反映抽象法的本质，不是来自客体，而是
来自加在这些客体上的那些动作（即使原先的客体已经是这样抽象得到的一个结果），
这些事实，对于结构构成的性质和方法而言，是很宝贵的。
本帖一共被 1 帖 引用 (帖内工具实现)- 复 【文摘】结构主义
家园 第一遍没看懂，还要再看一遍 数学是个很有趣的东西，只是时不时的会比较绕乎。
莫老大牛人也，再接再厉！！
另有几个问题想请教，
1）isomorphismes 是不是应该翻译成"同构"
2) “网”和“图论”是不是一回事？
3) 连续的拓扑能否转化为离散的网？数学上有没有相关的理论？
家园 试着回答两句 1）数学上通常译为“同构”，不过这里是不是其他意思我就不清楚了。
2）文中提到的网描述的是一个“次序关系”，具体的我也说不清楚，可能有其他河友比较了解。但和图论之类的不是一个意思。
3）我不是很确定你这个问题的意思。。。
试着瞎说两句。我以前写过欧拉公式，见
我爱莫扎特:【原创】欧拉公式的证明，拓扑学及数学的统一性（上）
其中第二个证明的关键是所谓的“三角剖分”，指把曲面剖分成三角形的网格，而曲面的拓扑性质（原文中的欧拉示性数）就由此可以计算。这是拓扑学的标准技巧，一般的教科书上都可以看到。
不知道是否回答了你所问的拓扑与图论的联系？
- 复 试着回答两句
家园 这篇文章中所谓的“网” 中文其实翻译成“格”。研究格的理论称为格论。按照维基百科的说法，格被定义为：考虑偏序集合(L，≤)。L 是一个格，如果对于 L 的所有元素 x 和 y，集合 {x, y} 有在 L 中的最小上界（并或上确界）和在 L 中的最大下界（交或下确界）二者。
翻译这文章的不是学数学的，所以“同构”（isomorphismes）和“态射”(morphismes)都翻译得很自作主张。
家园 谢谢 这是心理学著作，里面哲学数学啥的名词很多，确实挺难翻译。
- 复 试着回答两句
家园 好像明白了 实际上我想知道的是，如何将一个高维度曲面划分成离散网格。并且，在保持拓扑性质不变的条件下，网格应如何随曲面变化而改变。
你的回答，给了我一些启发，谢谢！
家园 Grothendieck的装神弄鬼 下面是Grothendieck的SGA（《代数几何讲座》）第四卷第一册的第185页：
外链图片需谨慎，可能会被源头改这是此书第一讲的一个附录，其中定义了“宇宙”的概念（跟我们平时说的宇宙没什么关系，是Grothendieck为了绕开集合论悖论而提出的一个概念）。
这页下面的注释写道：“征得N.布尔巴基的同意，我们在此收录他的一些秘密文章。本文中所有引用文献都来自他的皇皇巨著。”这“皇皇巨著”指的就是布尔巴基的《数学原理》。当然这所谓的秘密文章本来就是Grothendieck自己写的，如今这篇文章定义的“宇宙”也被叫作Grothendieck宇宙。
家园 这个料爆得好 老兄帮我看看翻译中有没有问题吧。好些词，尤其是代数几何方面的偶实在不太懂。还有一些双关的含义我没怎么看出来。
- 复 这个料爆得好
家园 老兄谦虚了，你已经翻译得很好了啊 好几个名词我不懂，象Adele，我通过你的帖子才知道是个奇特的缩写。我可以补充的只有一个半点，半个是“地点在随机函数公墓，靠近Markov和Godel地铁站”，Markov和随机函数的关系很明确，但是Godel和这方面的关系我就不知道了，不知为何拿他作地铁站名。另一个是"酒吧位于投射分解路口，也就是以前的Koszul广场"，Koszul是法国数学家，最有名的成果是Koszul复列，而"投射分解"则是比Koszul复列更一般的构造，常用在上同调计算中，这大概就是讣告中影射的把Koszul广场拆了弄成投射分解路口的意思吧。
家园 多谢 恭喜：你意外获得【通宝】一枚
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Koszul我是真的不了解，谢谢老兄解惑。
家园 这书有中文版吗 大学数学没学好，一直是遗憾，看看换个思路学是什么结果吧
家园 布尔吧唧学派好啊、 恭喜：你意外获得【通宝】一枚
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