主题：【原创】数学与战争 -- 晨枫
家园 【原创】数学与战争 军人讲究的是孔武之道，写写算算是文人的事情。在连队里，和数学最接近的大概就是司务长了，要把粮饷之事计算清楚。但数学和战争其实相距不远。
第一次世界大战前夕，多才多艺的英国人兰切斯特用数学开创了半经验的作战模拟方法，建立了经典的兰切斯特方程。兰切斯特用平方律定量地解释了特拉法尔加海战中纳尔逊各个击破的成功诀窍（人称Nelson Touch），恩格尔在1954年用线性律精确地复现了硫磺岛中美军伤亡情况。经典兰切斯特方程对士气、地形、机动、增援和撤退等没有考虑，但对战斗的一般规律仍有指导意义。
兰切斯特把战斗简化为两种基本情况：远距离交火杀伤和近距离集中火力杀伤。远距离交火时，一方损失率既和对方兵力成正比，也和己方兵力成正比。换句话说，敌人越多，自己损失越大；另一方面，自己人越多，目标越大，损失也越大。这个情况以微分方程表示即为
dy/dt=-axy
dx/dt=-bxy
其中x和y分别为红军和蓝军的战斗单位数量，a和b分别为红军和蓝军的平均单位战斗力，因此双方实力相等的条件为
ax=by
即任一方的实力和本身战斗单位的数量成线性关系，也称兰切斯特线性律。这就是说，如果蓝军平均单位战斗力（包括武器、训练等因素）是红军四倍的话，100名蓝军和400名红军的战斗力相同，100名蓝军和400名红军交战的结果是同归于尽。集中优势兵力只是拼消耗，并不占便宜。
但近距离集中火力杀伤时，一方损失率仅和对方战斗单位数量成正比，而和己方战斗单位数量无关。换句话说，敌人越多，自己损失依然越大；但短兵相接，自己方面已经无所谓目标大小的问题。于是微分方程变为：
dy/dt=-ax
dx/dt=-by
双方实力相等的条件变为
ax^2=by^2
即任一方实力和本身战斗单位数量的平方成正比，也称兰切斯特平方律。仍假定蓝军平均单位战斗力是红军的四倍，100名蓝军和400名红军近战后，当蓝军100人全军覆没时，红军仍有√(〖400〗^2-4×〖100〗^2 )=346人留下，即损失54人，实际损失比蓝军还小。这就是集中兵力打歼灭战和避免添油战术的数学依据。
考虑另一个情况：200名蓝军和400名红军近战，双方实力相等(√(〖400〗^2-4×〖200〗^2 )=0)。如果红军通过战术动作或计策使蓝军分成各为100人但互不支援的两半，则红军可以54人的代价先歼灭蓝军的第一个100人，再用剩余的力量以64人的代价歼灭蓝军的第二个100人，红军总代价为118人，总战果为200人。这就是“各个击破”原则的数学解释，也是兵败如山倒的数学解释，因为兵败的典型特征是各自为战，首尾不顾，即使不考虑战斗意志瓦解的问题，也在客观上强化了被各个击破的机会。
再考虑一个情况。仍然考虑蓝军100人，红军400人，双方战斗力差距为4：1的情况，但双方相距很远。如果红军付出一半的代价推进到近距离，按4:1的线性律，这时红军还剩200人，蓝军50人。但接下来红军就可以发挥近战优势，以27人的代价消灭蓝军的第二个50人。这就是勇猛突破、近战歼敌以克服敌人远射火力优势的数学解释。
兰切斯特平方律和线性律还可以有特殊情况，比如游击战中，游击的一方在暗处，容易主动集中兵力，近战歼敌；反游击的一方在明处，需要分兵把守，比较被动。这样游击一方服从平方律，反游击一方服从线性律，游击一方占便宜。空袭和反空袭也是类似的情况。
兰切斯特方程当然是把战场情况简单化、理想化了，后人在此基础上大大扩充，用于研究更现实的战场实际。但兰切斯特方程在本质上是确定性的，没有考虑随机的因素，比如说，规模相当的王牌军和乌合之众交战，王牌军的胜算较大，但不能排除偶然的因素，使得乌合之众获胜。这个胜算的大小就是概率和随机的范畴。
在兰切斯特之前，德国总参谋部就在世界上率先使用兵棋推演。兵棋推演不仅构造一个模仿战场的模型，还要在摆兵布阵时考虑部队机动能力、天气地形条件等因素，到最后交战的时候，丢骰子决定战斗的胜负。根据战斗力的差别，较强的一方可以多丢几次，较弱的一方少丢几次，但最后结果依然是随机的。这里面的科学道理就是概率和随机过程。老毛奇指挥下的德军依靠这一科学的指挥体系，在普法战争中像机器一样精确地作战，把曾经称霸欧洲大陆的法军打得一筹莫展。在第二次世界大战后期的阿登反击战中，德军丧失先机，遭到美军反击。莫德尔元帅命令A集团军参谋部和所有尚未投入战斗的一线部队主官在指挥部继续进行推演，当前的战况作为输入数据。后来的战事果然如作战模拟所示那样危急，第116装甲师师长瓦尔登堡将军在几分钟内就将作战模拟时的假想性命令作为实际作战命令下达，待命的第116师得以在短得不可思议的时间内有计划地投入战斗，虽然没能最终扭转战局，但还是显示了作战模拟的实战价值。
另一方面，忽视作战模拟所揭示的问题，有可能在战争中带来巨大损失。第一次世界大战坦能堡战役前，俄军总参谋部的作战模拟表明，为避免形成缺口和被各个击破，萨姆索诺夫的第二集团军必须先于莱能肯普夫的第一集团军三天行动，方能在因斯特堡形成钳击。但这一要求没有在作战计划中反映出来，也没有包括进后来的行动中。果然，德国名将鲁登道夫将军和兴登堡元帅（两人关系有点象解放战争中三野的粟裕和陈毅）及时抓住战机，先全歼萨姆索诺夫的第二集团军于坦能堡，再重创莱能肯普夫的第一集团军于马苏莱湖，扭转了德军在东普鲁士的危局，给沙俄这个已经危机重重的柴禾堆上添加了一大捧干柴，只等十月革命的最后一根火柴了。在中途岛海战前日本海军的作战模拟中，当假想的美军空袭时，南云的飞机在攻击中途岛，舰队受到惨重损失，裁判判定南云的航母受到9次命中，赤诚号和加贺号沉没。演习总指挥宇垣海军少将专断地否决裁决，将击中次数减少3次，航母沉没为1艘，于是被判沉没的1艘航母重新参加战斗，演习继续。实战结果比演习更具灾难性，4艘航母全被击沉。
描述作战过程的数学理论还有诺依曼的博奕论（也称对策论）、马尔科夫过程的微分-差分方程、杜普伊的战斗效能定量比较方法、蒙特卡洛方法等其他数学方法。计算机的出现使作战过程的数学模拟实用化，计算机化的作战模拟已经成为现代军队制订作战计划、研究战略战术、评估武器效能的有力工具。
除了作战模拟，数学还用于作战分析。在第二次世界大战前后，美英科学家用数学方法对雷达搜索、船队护航、反水雷和反潜搜索进行研究，推出一系列有效的战术，为盟军所采用，为反法西斯战争的胜利立下了功绩，成为人们所熟悉的佳话。
在今天，战争的焦点转向反恐，至少对美英来说如此。在伊拉克和阿富汗，最使盟军头疼的是防不胜防的土地雷，这种IED（Improvised Explosive Device的缩写，意为自制爆炸装置）不仅造成很大的伤亡，还给盟军官兵带来巨大的心理阴影。在所有巡逻路经上全时监视是不可能的，但时不时来一遍空中侦察是完全可以做到的，在巡逻队到达前空中侦察更是不在话下。但空中侦察如何探测地下的IED呢？空中侦察可以形成高分辨率图像，包括多光谱图像。有经验的老兵可以用目视观察，仔细对比以前同一地点的图片，发现蛛丝马迹，找到IED的迹象。但人工判别工作连太大，时间太长，数学再次出马，这就是图像识别和比较。
最简单化的图像比较就是把两张图放到一起比较。在数码光学时代，数码相机把一幅图像数字化，也就是说，一幅画面被分割成几百万甚至更多的细小方格，每一方格是一个象素，每一个象素的亮度范围用0-255的数值范围表示，0为全黑，255为全白。当然全黑到全白也可以用更大的数值范围表示，那样可以反映更细腻的细节。市面上通常的数码相机是8位通道，就是0-255的范围；更高级的数码单反有的已经采用16位通道，那就是0-65535了。单一通道只能表示亮度，图像就是黑白的，如果在单纯黑白通道上加红、蓝、绿滤色镜，就形成红、蓝、绿通道。用相邻的三个像素分别担任红、蓝、绿三个通道，分别记录亮度，然后再把三个通道的信息叠加起来，就可以还原彩色图像。这就是数码相机的基本原理。由于每一个象素的信息都是数字，计算机就可以对两幅数码图像作逐格比较。最简单的做法就是把图像A和图像B相减，相同部分数值相等，结果为零；不同部分数值有差值，结果数值取绝对值消除负数的问题，就可以在图像上还原出“问题区域”。进一步判别就可以有的放矢，容易找出IED；或者省点事，指令巡逻队直接绕过去了事。
当然，实际上图像比较没有那么简单，前后两幅图像不大可能在绝对相同的角度、光线、距离下拍摄，简单比较容易造成太多的误判。这就牵涉到图像识别。图像识别通过对数字化的图像的分析，像筛子淘沙一样，用分类算法把数据分类，抓出特征性的数据。在图像识别的基础上，前后图像只比较特征性的数据，这样就可以避免为琐碎因素所误导。除了对可见光图像比较，还可以用多光谱图像捕捉红外、紫外特征，区分土壤温度、植被变化，进一步增加探测的几率和精度。
由于巡逻路经很长，空中侦察下载的图像信息量巨大，图像处理本身需要很强的计算能力，再厉害的普通个人电脑也跟不上这样的数据处理要求。另一方面，图像数据处理需要的是大量的向量处理能力，也就是说，运算量是天文数字，但运算本身并不复杂，所以基于电脑图像卡技术的GPU反而比通用的CPU更加适合。美国陆军已经向阿富汗运送了大批具有特别加强数据处理能力的微型超级计算机，这些是具有向量处理插件的顶级普通个人电脑，专门用于图像数据处理，为巡逻队保驾护航。这样的技术在常规战争中也可以应用，用于判断战场态势、敌军动向等。
图像识别是模式识别的一个分支，另一个分支是语音识别，这在战场上也很有用。每一支巡逻队、野战分队作战回来，都有大量有用信息上报。但要疲惫的官兵再写详尽的书面报告不现实，口头报告加语音识别，可以迅速把前线信息数字化，以备后用。语音识别也用到大量的数学。
在反恐战争中，数学的应用还不止于此。反恐作战的难点不在于实际战斗，正规军的火力不是恐怖分子能比的，但要发现恐怖分子的活动规律，有目的、有准备地打，而不是被动应付，这才是难点。在常规战争中也有类似的问题，找到敌军的规律，对症下药，敌变我变，这比制定一厢情愿的战略战术要有效得多。发现对手活动规律分为两步：
1、定性确定因果关系
2、对因果关系定量化
在朝鲜战争中，刚愎自用的麦克阿瑟在仁川登陆得手后，轻敌冒进，被志愿军打了个鼻青脸肿。李奇微审时度势，准确地找到了志愿军“星期攻势”的规律，并制定反制战术，最终导致志愿军在第五次战役中的失利。志愿军“星期攻势”的规律看似不难找到，主要变量就是一个时间，李奇微找到了，麦克阿瑟没有，这不能完全怪罪于麦克阿瑟的无能。事后诸葛亮是容易做的，但在事前要找出因果关系并不容易，这里面的关键就是在浩如烟海的数据中，找到因与果之间的配对。在科研和工业实践里，这样的问题也很多，人们开发了很多数学方法，有些很直观，有些就需要一点写写算算。
最简单的做法是把结果和可能的原因的数据绘制成曲线，放在同一个框架下比较。如果是时间、温度、降雨量，或者敌人攻势的时机、长度、人数，这些本来就是数值化的数据，绘制曲线比较相对容易。如果是描述事件的离散数据，可以首先量化，比如敌军出现地点作为一个变量，张庄算作1，李庄算作2，王庄算作3；指挥官作为一个变量，胡传魁指挥算作1，刁德一指挥算作2；装备水平算作一个变量，只有步枪手榴弹算作1，带机枪算作2，带火炮算作3；诸如此类。量化之后，就可以和数值化的数据一样处理。
如果这些曲线同进共退，那他们之间就是有关联的。但这是简单的关联，复杂的关联光这样比较还不一定能够抓出来，表面上的步调不一致不一定就是没有关联，关联或许比较弱，或许需要通过几个变量的合成作用才能体现出来。这个问题在变量数量很大的时候尤其突出。由于事先无法确定到底哪些变量和结果有关联，在数据分析的时候容易“宁可错杀三千，不可放过一个”。但一般目视比较七、八条曲线还可以，几十、几百条曲线就不大容易了，需要有别的办法。
数理统计上有主元分析方法（principal component analysis，简称PCA），根据数据之间的相关程度把很多相关的变量归拢到少数“主元”，这样就容易研究问题了。比如说，要预报上海的天气，可以选取人民广场、徐家汇、曹家渡、五角场、陆家嘴、奉贤、松江、嘉定、崇明甚至启动、昆山、海盐、枫泾等地的温度、湿度、风向、风速、日照、云速等等数据。这些数据互相邻近，有所重叠是难免的，要是把这些数据统统拿进来一锅煮分析，容易把水搅浑。要是用平均温度、平均湿度等，问题就明晰化了。更有效的做法是根据远近给予不同测量点的数据不同的“发言权”，数学上叫加权，那就更加科学。这就是主元分析的简单化的描述。在主元之间再绘制曲线比较，就比较容易了。
这样基于计算的方法还是有不够直观的问题，但常用的直角坐标图形有坐标维数的问题，二维是平面，三维是立体，四维已经没法画出来，几十、上百维就更没辙了。然而采用平行坐标的话，这个问题迎刃而解。平行坐标把代表每一个变量的坐标轴并排排开，在直角坐标里的一个各轴投影汇聚的点，在平行坐标里就是连接各轴的一条折线。从这个意义上来说，两者是完全等价的，差别在于高维数的平行坐标可以画出来，可以看得到，而高维数的直角坐标就无法图示了。但直角坐标下的时间序列数据可以画图直接比较，平行坐标下的时间序列数据粗看就是一大坨，很难看出内在关联。然而，如果对关键数据进行分类和排序（sort），就可以看出端倪。如果把敌军出现地点、指挥官、装备、时间、天气、季节、赶集等数据标绘出来，或许可以看到，敌军在王庄出现时，指挥官总是胡传魁；装备不一定，什么都可能；时间总在晚上；天气不一定；季节不一定；总在赶集的时候；那可以推测一个规律，敌军对王庄的兴趣在于赶集后的休息人群，乘人不备抢劫，而且胡传魁亲自出马，很重视。发现了这样的规律，就可以有的放矢地制定种种反制战术，可以打埋伏，可以掏老窝，可以预先疏散群众，可干的事情就多了。
数据分析的时候还要考虑动态影响。从蒸锅里把烫碗拿出来，如果动作快，就不会烫手；但要是捧着烫碗几分钟，肯定就把手给烫熟了。这就是动态响应的概念，感觉到的温度不仅和碗的温度有关，还和接触时间有关。在战场上，部队出动到打响有一定的时间，行军要调头也需要一定的时间，这就是动态影响。更复杂的动态响应还可以有暂时的反向响应。煮饺子的时候，水开了，沸腾的水会迅速涨上来，这时候浇一瓢冷水下去，就会把水位压下去，但接着猛灌水，水位最终是会涨上来的。对丧心病狂之敌的火力压制可能有类似的反应，敌军先是更加嚣张，但最终还是要被压下去的。如果对这样的暂时反向响应没有准备，数据分析就会出偏差。
确定因果关系后，可以用各种曲线拟合方法建立定量的数学模型，但战场上确立定性的因果关系经常已经足够。数据挖掘（data mining）是数据分析的进一步，也就是在大量的数据里发掘有用的信息，就像在矿山里挖金一样。战场上人的因素使得数据挖掘高度复杂化，有经验的指挥官会避免被敌人找到规律，但人都是有思维和行为惯性的，即使是掩盖自己踪迹的做法，也是有一定规律可循的。只要有足够的时间，积累足够多的数据，就有可能找到规律。情报机构用数据分析和数据挖掘寻找人和事件的关联并得出有用结论已经有很长历史了，CIA在30年前就把情报库数据化了，五角大楼在20年前也开始了类似的工作，但应用到野战部队，这还是第二次海湾战争之后的事情。萨达姆被俘，基地组织二号人物扎卡维被击毙，上百名基地组织大小头目被俘或被击毙，这些都是根据数据挖掘发现的线索。在更低的战术层面上，美军通过对已知IED的分析，建立了一套预测IED时间、地点、强度的方法，用于指导巡逻队设伏或者绕过威胁，取得相当的成功。美军声称数据挖掘已经帮助击毙3000多正在埋设IED的恐怖分子，抓获几百个，并破除或避免了几千个IED。在前线缴获的敌军笔记本电脑或者文件直接输入数据挖掘系统，很快产生顺藤摸瓜的新线索，使成功的雪球继续滚动。
数学在战争中的应用还不止这些。数学对战争有用，这不等于军人都应该成为数学家。但了解其中的道理，破除神秘感，发掘新应用，这还是很重要的。或许在不久的将来，分队指挥官的军用手提电脑将不仅用作一般意义上的通信指挥终端和电子文件系统，还是情报分析和决策的工具。
本帖一共被 1 帖 引用 (帖内工具实现)家园 关于平方律和数据挖掘 受晨大启发，随便乱侃。
晨大提到了兰彻斯特方程，里面有异于直觉的平方律。事实上除了数量外，速度和战斗力也是平方关系，而且速度的优势往往还是战略上的。
PLA强调的运动战、优势兵力下的歼灭战、志愿军教课书般的穿插分割战术，都是现代战争中深谙平方律的典范。
扯远点，平方律不仅适用于解释战争，也适用于解释很多经济活动。成本主要由原材料决定就类似于两军远程对射倾泻弹药，线性律主导下对于战斗单位间的组织要求不高，例如某些落后国家的原材料出口产业；而凡是对于市场反馈时间、产品研发周期等等相关，平方律的重要性就体现出来了，团队精神在现代被如此强调，例如一个5人合作的团队，新来一员，如果特立独行不能融入团队，那么他的战斗力得顶11个人(6x6-5x5)才算合格，如果他是团队毒药，那得顶31个人（6x6-5x1)；产业链即组织效率的重要性更是一个国家、地区经济发展的决定性因素。
另外从国家、地区层面的经济活动看，统一比分裂对经济更有利，德国、越南的统一和苏联的解体，平方律去理解也相对容易，不过需要注意像GDP这类经济指标是平方后的（这是战果，而非战斗单位）；联系最近葡萄说的，中国目前地方带头大哥代理灰色地带的模式，会逐步被弱化甚至虚化，平方和走向和的平方，把中国的潜力发挥出来，此实乃大势所趋。将来看586这一届的能力，物流费用GDP占比或者是一个不错的指标。
说起数据挖掘的应用，军事领域不了解，IC制造领域略有所知。确如大熊甲指出的在实际应用中的限制和各种问题，80%的公司都遇到了，说他们花了冤枉钱也不冤枉。打个比方，数据挖掘就像NBA球场上的三分，看起来确实是个一大利器，不过很多公司在这方面似乎只是买来了雷阿伦或者雷吉米勒就以为万事大吉，压根没能融入整体战术体系。优秀的公司在已经把数据挖掘整合到运营体系中去，这和NBA总冠军队很像，战术丰富不依赖三分，但是遇到机会也能把握。
顺便前面文章中PCA出现频率很高，以个人观察所得，IC制造业可以说数据挖掘进入实用，领先的公司灵活运用多种数据挖掘方法，例如随机森林、贝叶斯信息准则下的逐步回归、偏最小二乘等，PCA像是NBA球队中的第六人。
家园 速度和机动的关系更大 和交战没有太直接的关系，或者说只能通过形成局部优势，变线性律为平方律，来形成优势。不过产业链和滚动发展优势或许可以用平方律解释？还没有想好怎么解释。
团队作用的计算漏掉了开平方，所以特立独行应该是他需要sqrt（6x6-5x5）=3.3人，团队毒药情况是sqrt（6x6-5x1）=5.6人。
数据挖掘需要理清因果关系，否则会掉进逻辑陷阱。
家园 速度和战斗力的平方关系 在克劳塞维茨的战争论中有过量化描述。
多谢晨大指出需要开平方。
速度在战略上的优势容易理解，战术上的（和战斗力直接相关）优势，除了形成局部战力优势外，破坏敌方阵型，抓住瞬间战机的能力，动态攻防调整等等都和速度相关。玩过魔兽争霸3的都知道，升级狂热之前和之后的小G，是两个兵种，微操的难度天上地下。
产业链的重要性，在于“团队配合”和“速度”两个方面提升单个企业的战斗力。商业战争，商机也是较随机的在二维平面（个人意见，这两个维度是上、下游的信息）上出现，类比战争也是在二维平面上进行，平方律的适用并不意外。
滚动发展优势很容易理解，就如同PLA在解放战争后期把竞争对手国军、地方军阀、大小土匪等等通通秋风扫落叶了，一旦有了核心优势（组织能力）并发展到一定规模，平方之后的实力差距将进一步扩大，对手将无法抵抗。
家园 军事与数学的关系可不只这些 比方说，对炮兵来说，射表是最基本的，可你知道炮兵射表的编制涉及了哪些数学大拿吗？
比方说拉普拉斯、比方说柯尔莫哥洛夫，等等，他们都对炮兵射表的编制作出了重要贡献。
顺便提一句，拉普拉斯在巴黎陆军学院教数学的时候，好象有个学炮兵的学生，叫拿破仑什么的。
还有就是破译密码，也许有的文科生认为，不需要数学就能破译对方的通讯密码吧？
这方面有一个很有名的人物，叫阿兰·图灵，好象是什么计算机科学之父和人工智能之父，英国著名的数学家和逻辑学家。
现在大家都知道“图灵机”和、“图灵测试”、以及“图灵奖”，不过对他帮助破译恩尼格密码机（Enigma machines）的事就知道的不多了。
德国的海陆空三军都用恩尼格密码，不过德国空军比较浪漫，也不怎么遵守保密条例，老喜欢用女友名字填空格，当然最早被破译。然后不列颠空战就失败了。
陆军的晚一点，德国陆军总部的命令，英国人和隆美尔基本同时收到，不过隆美尔这家伙喜欢违抗军令，所以拖了一些时候，到阿莱曼的时候，还是失败了。
德国海军最难缠，生性多疑的海军让恩尼格密码机厂商又加了个转轴，所以最后被破译，然后U艇们就悲剧了，大西洋之战就失败了。
英国人后来又使用了图灵的贝叶斯评分系统破解了德国人更强、更快的劳伦兹机（Lorenz machines）所生成的密码。
后来，在德国投降后的几天内，丘吉尔便下令销毁所有能够证明破解密码为赢得战争做出贡献的证据，显然是因为英国人不想让苏联知道他们可以破解密苏联的劳伦兹码。直到1973年，图灵的故事才被公布于世。
其它的就一般般拉，比方说艾尔弗雷德-德莱弗斯案件（Alfred Dreyfus）、星球大战计划、美国军队的目标自动识别（ATR）技术等等，这些名词的背后，都有一个精彩的数学故事，有兴趣的的可以发掘一下。
总结一下，数学对军事来说，不只是重要。
对军事来说，数学就是一切！
仅以此献给那些文科生们。
家园 【原创】现代战争，作战模拟的作用可能弱化 因为作战模拟无法预测意外事件，而导弹的大量使用，让意外事件发生的概率大大增加。二战时，没有足够的飞机是消灭不了大军舰的。而现在，理论上一颗导弹就能办到。运气差的话，上千发导弹也未必能成。陆战同样受这影响。以前好歹有个较安全的后方，现在战场则无限延伸，没什么地方是安全的。指挥部一开战就被端也不会让人吃惊。以前只要算对方兵力火力，现在还得算对方的导弹供应数量。一个一下子就能打出上万发各种对地导弹，并且能在短时间内生产同样多数量的国家，基本上是不会在常规战争中失败的（如果这些导弹瞄准的目标都在射程内），因为理智的人不会和他开战。
还有游击队的作用也增强了。以前正规军兵力雄厚的话，根本不用担心游击队。现在如果游击队有足够的单兵武器（包括反坦克导弹和防空导弹），理论上是可以消灭从总司令到重要军事目标在内的一切目标的（包括通过卫星或其他通讯手段给导弹指示目标和袭击要人直升机）。即使没有游击队，被击溃的对方散兵也可能会发挥同样的作用。
如何应付这些突发事件，加强部队的独立作战能力（在无指挥和后勤被切断或指望不上时），是各国军队必须考虑的问题。
家园 俺觉得正好相反 不错，传统的作战模拟可能确实不太适应了，可是不意味着没有新的模拟方法。
随着战场逐渐透明化，模拟会越来越重要，甚至会超过所谓“名将”的重要性。信息的汇集处理越来越重要，指挥官发挥的余地会越来越小，极端情况甚至只需在模拟所给出的几个选项里随便挑就行了。
当然，这不是说人的作用就不重要，而是说人机合作越来越重要。
家园 战争中永远存在不确定性 战争中永远存在不确定性,不能因为存在不确定性就否认数学方法的作用.实际上,很多数学工具可以帮助人们处理含有不确定性的问题,这跟古代还是现代战争无关。
家园 我没否认数学方法的作用 只是强调时代不同了，作战模拟的准确性会降低
家园 冷兵器时代和大陆军时代兵棋推演的效果是最好的 因为部队的杀伤力基本保持不变，可有了导弹，有了飞机，很多事就不能光纸上谈兵了。可以参考，但不必盲从。拿中途岛之战来说，要不是南云战时昏了头，甲板上堆满了炸弹和鱼雷，最后的胜负还真难说。毕竟当时日军兵力胜过美军。