主题：几何直观地介绍广义相对论的时空以及大爆炸模型 （0） -- changshou

几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （15）观察者的时间体验

15.1 世界线

一个观察者（点）在时空中运动的轨迹是一条类时世界线。 观察者可以自行选择自己附近时空区域上的坐标系。观察者最直接体验的时空长度是什么呢？应该是自身世界线的长度。世界线的长度有什么物理意义？

15.2 原时

在自身世界线上任何一点，观察者都有在那一点所做的时空分解。指的是那一点为原点的局部坐标系有时间和空间方向。这是因为我们可以把 “三正一负”中“一负”方向指为时间方向。但是我们仍可以有很多（无穷多）种选择局部坐标系的方法。

然而一个观察者总是乐意在选局部坐标系时 使得自己相对于局部坐标系 是静止的。注意 它在某点的速度方向 沿着自身世界线的方向（严格的说是切线方向）。因为世界线是类时世界线， 所以观察者可以用这个方向作为局部坐标系时间轴方向，这样一来 观察者自己相对于局部坐标系就是静止的（只沿时间方向运动）。这样一来 沿着自身世界线把长度（距离）加起来（作积分）作的实际上是时间的累积。换言之，观察者自身世界线长度 就是观察者 自己（通过钟）体验的时间。这叫 原时。

当然 这里说的体验的时间，是数学上沿时间方向的求和。 它和 通常说的时间， 即观察者随身携带的物理钟（比如原子钟）的走时有何关系呢？ 其实 建立时间坐标，就是用钟上的时刻来标记的。 于是数学上沿时间方向的求和 的确是 物理钟的计时结果（钟上的时刻的累积）。

这里有一个可能的混淆。你可能问 我怎么知道物理钟在世界线上不同的点走得一样快？不一样快 计时不就乱了吗？回答是 物理钟在不同的点完全可以走得不一样快（以后会详细讨论），但没有关系。因为这一点已经在计算的时候考虑到了。别忘了长度是很多小段 用变系数的“三正一负”的“勾股定理” 定义的距离 加起来的（积分）。这里的 “变” 就是 允许 物理钟在时空中不同的点 走的速率发生变化。一旦变化，系数就相应变化， 这样 用变系数定义的距离 算出的长度 已经自动计入了物理钟的速率变化。

15.3 原时与坐标时间

观察者的类时世界线既然是1维的，我们就可以用一个变化的参数 来标记他。这样的参数叫坐标时间。名称由来是因为 局部上选了时间轴沿着类时世界线的坐标系后， 可以用坐标系的时间坐标来做（局部的）坐标时间。 不过这里我们不假定坐标时间是局部的。 坐标时间当然有无穷多种选择（你有无穷多种 连续地标记类时世界线的点 的方法）。 最自然的方式， 就是用 类时世界线的长度（即原时）作为这个参数。这其实是 普通人 参数化 自身世界线的办法（自带一块表，用表的读数来标记自己的经历）。 然而 有时我们可能要用其它的坐标时间。于是我要强调，原时与坐标时间 不一定一致。

15.4 原时不是局部的

在（13）中我们讲过 局部上，闵可夫斯基时空 是一个时空的近似。 局部越小， 近似越好。在近似很好的情况下，一切时空体验问题 都可看成是 闵可夫斯基时空里的问题。如果范围大，就不能用闵可夫斯基时空近似。 原时 不是近似的闵可夫斯基时空里的计算。观察者的类时世界线 可以在时空里大范围的延伸。 以后我们会看到 比较不同观察者的原时，是探测弯曲时空的一个好办法。

待续

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几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （14）因果结构

提示：这篇不理解的话，可以跳过。

14.1 狭义相对论中的因果结构

狭义相对论中如果一个观察者超光速会怎样? 超光速意味着世界线落在光锥外， 即 世界线可以把 两个类空间隔的点联系起来。于是这两个点处发生的事情可以有物理联系。 比如 第二个点处发生的事（结果） 可以是由第一个点处发生的事（原因）引起的。可是用洛仑兹变换不难证明 存在惯性参照系 使得在这惯性参照系看来 第二个点处发生的事（结果）发生在前， 第一个点处发生的事（原因）发生在后。于是在这惯性参照系看来 因果关系被破坏了。如果不想因果关系被破坏， 我们就得禁止超光速运动。也就是说观察者的世界线应该是 类时世界线（亚光速运动）。

14.2 广义相对论中的观察者的世界线应该是 类时世界线

这是14.1 和13.3 的结合。

14.3 时间定向的洛仑兹流形

闵可夫斯基时空是有时间定向的。 我们可以分过去未来。这意味着我们需要 给每一条世界线定方向。取某个点A上的光锥。它由两个锥形分支尖对尖的组成（两个锥形分支的尖点都是点A）。 为啥是两个？ 因为光锥 是由 坐标平方 三正一负的加起来等于0 这个条件定义的。如果一个点在光锥上，把它的坐标全添上负号得到一个新的点。 新的点的坐标平方没变，三正一负的加起来仍等于0， 所以仍在光锥上。这个对称性说明光锥有两个形状相同的分支对称的放置在一起。一个分支里的时间坐标是负号，另一个是正号。所以一个对应光在过去（点A的过去）的轨迹，另一个对应光在未来（点A的未来）的轨迹。 这两个分支一个称为过去光锥 一个称为未来光锥。这两部分的内部各自对应 过去与未来的 与点A类时间隔的点。 所以 对一条类时世界线（观察者的世界线） 我们知道 它在某点的未来方向 是指向该点的未来光锥内部的。 由于光锥被洛仑兹变换保持， 不同惯性参考系对时间方向不会有不同看法。

我们要求洛仑兹流形也有类似的用光锥定义的时间定向。细节不重要。大致说来，有的洛仑兹流形可以，有的不可以。所以我们应该要求，时空是 可以时间定向的洛仑兹流形。 以后我要举的例子 都是这样的。但要注意的是 洛仑兹流形上用光锥场（见13.3）来定义时间方向只能是局部的。

14.4 广义相对论中的因果结构

乍看起来14.2 保证了广义相对论中 因果关系也不被破坏。但还有其他可以破坏因果关系的机制。比如 由于洛仑兹流形整体上 可以不是闵可夫斯基时空， 我们不能排除 某个观察者的世界线（类时世界线）首尾相接的可能。 这意味着 沿着这观察者的世界线走 在任何一点 都有良好的时间定向， 但整体上 他却回到了他时空之旅的起点（注意这意味着他回到了过去的某个时刻）。这里的破坏机制 是我们有局部的时间定向，但没有整体的 （因为有首尾相接的类时世界线）。这与闵可夫斯基时空中超光速破坏因果关系的机制 完全不同。更糟糕的是有些这类例子 满足爱因斯坦方程 属于“可能的时空”（见（16）篇）。

物理学家倾向于 以违反因果关系为由 排除这类时空。 为了解决 广义相对论中的可能的因果矛盾，一个一劳永逸的办法是规定 我们考虑的时空 作为一个流形 应该是由 一个3维的切片 沿着一条1维的不闭合的线运动而扫出来的。 这条1维的线 应该代表 某个观察者的世界线， 所以应该是类时曲线。3维的切片 对这个观察者而言， 就是时空的空间部分。

我们以后谈时空分解和演化时 还会再回来谈因果结构。

待续

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几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （13）时空是洛仑兹流形（续）

13.0 时空是洛仑兹流形 的观点不是从 时空是流形 及 狭义相对论 推出来的

时空是洛仑兹流形 是综合了这两个观点的一个推广。 但我们可以有更一般的推广。 在有的推广中 甚至度量结构都不是必需的。时空是洛仑兹流形 只是一个合理的假设。它被接受 是因为广义相对论的成功。

13.1 闵可夫斯基时空 是时空洛仑兹流形的 局部近似

由于一般的洛仑兹流形 有内在的弯曲， 即便在局部上它也不是 闵可夫斯基时空。 但这时闵可夫斯基时空 是洛仑兹流形的一个近似。 局部区域越小，近似就越好。局部区域趋于0（向一个点收缩），则误差也趋于0。这其实也就是12.1中 第四段话讲的事情。

数学上 我们说 闵可夫斯基时空 是洛仑兹流形的“切空间”。 切空间 是 曲线的切线，曲面的切平面 的推广。但是这里切空间没有嵌入另外一个空间，因为我们的流形不是嵌入的。这小段不理解没关系。

你只需知道， 对洛仑兹流形上每一点 我们都可以联系上一个称为切空间的闵可夫斯基时空。这个点可等同于该闵可夫斯基时空上的一个原点。 在该点附近的局部区域，洛仑兹流形 和该闵可夫斯基时空很接近。区域越小，近似越好。

13.2 狭义相对论是广义相对论的局部近似

一个观察者在时空中运动的轨迹是一条世界线。观察者有权利 用自己喜欢的方式 来标记时空中的点。 也就是说，他可以自行选择自己附近时空区域上的坐标系。这就是 观察者体验时空的最基本一步。由于内在弯曲是局部的， 并且是不依赖于坐标系选取的（8.7）。所以观察者有可能利用自己的局部坐标系 就判断出时空是弯曲的（比如发现勾股定理在现实中不成立）。

然而 13.1 告诉我们如果区域很小，闵可夫斯基时空是很好的近似。所以如果不仔细，观察者会误认为 时空是平直的闵可夫斯基时空。这其实就是人类在广义相对论以前的认识状态。

13.3 光锥场

根据13.1的讨论， 我们可以把闵可夫斯基时空的很多东西搬到洛仑兹流形。我们把光锥场搬上洛仑兹流形。 即对洛仑兹流形上每一点 我们都可以联系上 作为切空间的闵可夫斯基时空中的 位于原点的光锥。这样一来，洛仑兹流形上 在每点都可以定义光锥。

现在考虑 一条时空洛仑兹流形中的世界线， 这是一个观察者（或物质点）的运动轨迹。如果世界线 每一点的切线 都落在 那一点的光锥内部，我们说这条世界线是 类时世界线。如果 都落在光锥外部，我们说这条世界线是 类空世界线。如果都落在光锥上，我们说这条世界线是 类光世界线。

这些定义的物理意义是：由于在闵可夫斯基时空中 落在光锥内部意味着亚光速运动，类时世界线说明 该观察者在每一点都是亚光速。其余情况类推。

待续

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