主题：【讨论】趣味数学题 -- 任爱杰
家园 如果另一个孩子还没出生(也没做B超)，性别自然是独立事件 问题是现在孩子都已经生完了，那么这个两娃家庭，有两个男孩的概率应该是1/4
家园 每次看到这类问题 首先想到的是自己智力是不是不如小学生。
其次是增加信息，比如出生率和男女比率。
然后陷入深深思考，为什么连这都不知道。
家园 其实这类问题都可以归结为样本过少 不具备统计学意义的问题
家园 我觉得这更象是先验概率和后验概率的区别 只知道一个孩子性别的情况下，另一个孩子的性别不论男女其实仍然是二分之一这个是先验概率，也就是已知只有两个基本事件，而没有其他条件的时候，每个事件发生的概率可以“规定”为各50%。这个可以用最大似然估计来算，但本质上应该是“最大熵原理”，更基本的则是数学里的“对称性”。然而实际上是不是真的50%并不一定。比如假设一天里有“白天”和“黑夜”两种状态，但在某一天某个时间点属于“白天”或“黑夜"的概率并不是50%（除春分/秋分）。实际上人类生男孩和女孩的概率其实并不是严格的50%而只是接近于50%。
引文里推导的过程实际上描述的是一种后验过程，即并不预先假定人类生男孩和女孩的概率是，而是根据一系列的条件来推导出”邻居家的另一个孩子是男孩“的概率。
家园 这个问题是已知先验概率，求后验概率 事实上我们已经默认了生男生女是各50%，既先验概率已知，以此为前提，加上碰到一个是男孩的条件，求另外一个的男女概率。并不是用最大似然估计求先验概率。
完整的问题其实是：
已知1，生男生女各50%的概率
已知2，两个孩子中有一个男孩
问：另外一个男孩的概率是多少？
如果生男生女不是50%，则答案也不是三分之一了。
家园 两个条件并不是相关的 如果”已知1，生男生女各50%的概率“成立，则不论其中一个是不是男孩，另外一个是男孩的概率都是50%，也就是说已知2是不需要的。根本不需要推导。
反过来如果只有已知2，也可以推出已知1：
如果不考虑次序，则事件空间是由如下事件组成的：
1. 一男一女
2. 两男
3. 两女
所以已知其中一个是男孩的话另一个是女孩的概率是50%。这个实际上是条件概率。
如果考虑到次序，则需要按照原帖类似的方法去推导。
通宝推：任爱杰,家园 感觉任爱杰的理解是正确的 这个问题和三门问题不同。生男生女各50%概率这个假设是一个先验的知识，不能事后反推。局部孤立事件不会影响这个先验知识，所以第二个孩子是男孩的概率仍为50%。
和三门问题相比，第一个是男孩不是主持人刻意开门，因此不会影响后续动作的概率。
家园 确实有点烧脑 -- 有补充 我想说的是在已有一个男孩的情况下，生第二个孩子仍为男孩的概率为50%。现在的问题是已知有两个孩子，见到第一个孩子是男孩，问第二个孩子仍是男孩的概率为多少？这个已知有两个孩子的条件很重要。如果假设有无穷多孩子，那么见到第一个孩子是男孩，对第二个孩子是否为男孩的概率没有影响，问题回归到我开头说的情况。现在已知有且只有两个孩子，那么样本空间收缩到4种可能：男男，男女，女男，女女。假设这四种是等可能情况，假设见到第一个是男孩（这里不是说老大是男孩），那么见到的第二个孩子仍是男孩的概率为三分之一。如果说见到的老大是男孩，那么见到老二仍是男孩的概率为二分之一。二者的差别就在于是否限定见到的第一个孩子为老大。
作者 对本帖的 补充(1)家园 在限定孩子有且只有两个 -- 补充帖 见到第一个孩子是男孩，问第二个男孩的概率。我觉得diamond的答案是正确的，三分之一。
见前补充 4616723
家园 继续讨论 在使用条件概率时，一定要注意样本空间的基本事件是不是有重复的，要做到不重复才行。
比如你这里选择第一个孩子是男孩，而另一个孩子也是男孩，和选择第二个孩子是男孩，而另一个孩子也是男孩，这两个事件实际上是同一个基本事件，即 男男 这个基本事件。
这是类似问题的关键，很多利用条件概率公式又”符合直观“的错误结论都是都是这么来的
- 复 继续讨论
家园 问题是，选择权不在你的手里啊 比如你这里选择第一个孩子是男孩，而另一个孩子也是男孩，和选择第二个孩子是男孩，而另一个孩子也是男孩，这两个事件实际上是同一个基本事件，即 男男 这个基本事件你这里暗含的前提是第二个孩子的性别选择固定的，不会变化的。那么按照这个理论，第一个孩子是男的，第二个孩子是男的几率就下跌到三分之一，以此类推，岂不是男孩生得越多，下一胎男孩几率越小？同样的，你掷硬币九次，每次都是面朝上，难道第十次字朝上的几率就上升了？再例如，有人五十年如一日买六合彩，每次都输了，难道下一次他中大奖的机会就上升了（按你的算法，输了五十年六合彩，下一次中大奖的几率几乎是铁定了）？
表面上看，你这个问题类似楼下的“三门问题”。“三门问题”说A、B、C 三扇门。两扇门后有山羊，一扇门后有车。主持人必须打开一扇有山羊的门，然后让玩家选择是否换门。这里玩家在得到信息后，的确得奖几率上升。但要注意的是，“三门问题”中不会出现这样的情况，当玩家选择剩下的两扇门之一后，门后的物体会随机变换。
而不论是生孩子、掷硬币还是开六合彩，下一次出来的结果都是随机的，是观测者无法控制的。
所以我在正文中才说解题用什么公式，前提是最重要的。如果把上一次结果和下一次结果搞成“强相关”，那么自然可以用你的算法。但如果不是事实上的“强相关”，硬套这种公式的话，就会出现只要你买六合彩够久就能发大财的问题了。
通宝推：孟词宗,家园 这个我可以尝试解释一下 同样的，你掷硬币九次，每次都是面朝上，难道第十次字朝上的几率就上升了？扔10次硬币的组合，共有2^10那么多种组合，这些组合里面，前9次都是面朝上的，只有两个，即前9面朝上，第10面朝上，与前9面朝上，第10面朝下。
所以第10次面朝上的机会仍然是1/2