主题：有趣的数学 -- 普鲁托
家园 有趣的数学 最近河里讨论概率的话题很热闹，俺也凑凑趣、跟跟风，写个主帖。
先出题：
学校有一个保送名额，有三位同学都合格，学校安排抽签决定谁保送。
方式：签筒里三个签，一个保送签，两个不保送签。三位同学按序抽签，每位同学抽完的签不再放回签筒。问：最后一位抽签的同学中签的概率比前两位如何？（答案在帖末）
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现在说说孟同学那个三门问题的“悖论”：
那么，这里的悖论是，新玩家在两扇门里二选一，而老玩家选择是否换门也是在两扇门里二选一。为什么他们的胜率会不一样？
玩家2一上台什么都不知道，就知道BC两门里有一羊或车，他选中车的概率是1/2
玩家1第一次选C门，在主持人打开A门后，也只面对BC两门，也知道BC两门有一羊或车，为什么这时两门的有车概率就不是各1/2?
这不符合直觉。
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首先，我们的直觉要接受一个观念，“有些行为会改变事件概率”。比如，当主持人打开A门后，对于玩家1来说A门里是羊2/3、是车1/3的概率就变成了：A门是羊的概率为1，是车的概率为0。同样，主持人打开A门后B、C门的概率也可能发生改变，这个情况不难理解。
“有些行为会改变事件概率”，这句话就是说有些条件变了，概率也会发生改变。这就产生了“条件概率”这个概念。
A表示事件，P（A）表示事件A发生的概率。P（A/B）表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，这就是条件概率。
一般人对条件概率会产生一个错觉，以为事件A在事件B发生的条件下的概率，与事件B在事件A发生的条件下的概率是一样的。
最有名的就是那个艾滋病检测的例子：艾滋病检测试剂准确率为99.9%，张三试剂检测阳性，那么张三得艾滋病的概率八九不离十。这是错误的，张三完全不必恐慌
。美国曾经有一个著名的案子，有律师用此来诡辩：在辛克利刺杀里根案中，辛克利的律师在法庭上指出：有相关医学资料显示，30%CT显示脑萎缩的人有精神病，而正常人只有2%。辛克利CT显示脑萎缩，所以辛克利很可能有精神病。当时控方律师没能接住，只是避开了这个诡辩。巧的是，辛克利最后确实被判有精神病。
事件A在事件B发生的条件下的概率，与事件B在事件A发生的条件下的概率是不一样【P（A/B）≠ P（B/A）】，但两者是有确定关系的，贝叶斯公式就是这个关系的数学陈述：P（B/A)= P（A/B）* P（B）/P（A）。
下面是我对三门问题的解答，只需要用到贝叶斯公式和全概率公式，不感兴趣的河友请略过：
1、设事件A、B、C分别表示三个门里有车，P（A）、P（B）、P（C）分别表示三个门里有车的概率，显然P（A）= P（B）= P（C）= 1/3。这是先念的。
2、设事件a、b、c分别表示三个门被打开，P（a）、P（b）、P（c）分别表示打开三个门的概率。打开某个门的概率是多少，暂不表。
现在，玩家1选中了C门，主持人打开了A门，此时求：B门、C门是车的概率各是多少？
利用贝叶斯公式，在A门被打开的条件下，B门里是车的概率为：
P（B/a）= P（a/B）* P（B）/P（a）
这里面，P（a/B）是什么？是玩家1选C门而B门是车时，主持人打开A门的概率。玩家选了C，而B门又是车，所以主持人只能打开A门，即P（a/B）= 1
有点麻烦的是P（a），即打开A门的概率是多少？
根据全概率公式：P（a）= P（a/A）P（A）+ P（a/B）P（B）+ P（a/C）P（C）。【它直观意义就是一个事件的概率可以把它看成是各个“小条件”下各概率的和，这些“小条件”刚好合起来成为事件完整的大条件】。
P（a/A）是玩家1选C门而A门是车时，主持人打开A门的概率。显然主持人不可能打开A门，因为里面是车。所以，P（a/A）= 0
P（a/C）是玩家1选C门而C门是车时，主持人打开A门的概率。显然主持人此时既可能打开A门，也可能打开B门，所以 P（a/C）= 1/2
那么
A门被打开的概率P（a）= P（a/A）P（A）+ P（a/B）P（B）+ P（a/C）P（C）= 0*(1/3)+1*(1/3)+(1/2)*(1/3) =1/2
现在，最终结果，B门是车的概率P（B/a）= P（a/B）* P（B）/P（a）= 1*（1/3)/(1/2)=2/3
同样，在A门被打开的条件下，C门里是车的概率为P（C/a）= P（a/C）* P（C）/P（a）= (1/2)*(1/3)/(1/2)= 1/3
需要注意的是，在主持人的一翻骚操作中，他是上帝视角。
最后说说那个保送抽签的问题，三位同学不论抽签先后顺序，中签的概率都是1/3。同学们都不用争先恐后地抢着去抽，完全不用担心前面的同学把保送名额抢先抽走了。
生活中有很多抽签的事件，买房、买车都要限购、抽签，排先排后抽，都没有关系。股票打新也是，9点半下单和下午两点下单，中签概率是一样的。
让人保持淡定，数学不但有趣，还能有这点好处
。通宝推：光头佬,陈王奋起,- 复 有趣的数学
家园 有趣的是还真有一堆专家研究 那几个时间段打新的中签率更高，估计这些专家是文科毕业的。
家园 这个理论上还是有可能的 现在计算机里主流上用的还是伪随机数，也就是第个数字都是算出来的确定值，但一串这样的数字符合统计规律。理论上知道了算法和种子，是可以把序列里的每一个数字算出来的。
但实际上既然这样的一串数字符合统计规律，想只靠观测的结果反推回去得到算法和种子也是很困难的。除非有内幕。
- 复 有趣的数学
家园 与常识相反的东东就是讨厌 如题
家园 常识是个奇怪东西 在科学问题上，要警惕常识会是一个陷阱。
在社会问题上，反常必见妖
- 复 有趣的数学
家园 这个要看前面的结果公布还是不公布 不公布的话都是一样的，公布的话就是不一样的。
这里我还是想提一下古典概型的“不充分理由原则”，这个原则实际上基于不完全归纳，本质上是错误的，然而确是概率上早期经常用的方法。这个原则通常只用在没有任何有用信息的基础上，对“试验”的结果赋予相等的概率。但如果有了一些有用的信息，就不应该用这个原则了。比如“三门问题”里，玩家开始用这个原则得出每个门都是1/3的概率，但当主持人开了一个羊门时，相当于有了额外信息，这时候已经不符合这个原则的适用条件，所以不能得出剩下两个门各1/2的结论，而需要通过开始的1/3加上主持人开门的事件来计算每个门的概率。这个抽签问题其实也类似，如果前面的人公布了结果，就应该根据这个事件去计算剩下的概率。
通宝推：普鲁托,家园 以公布的方式抽签，会怎样？ 会.........
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会..........................很刺激
第一个同学抽出签后立马打开，并公布抽中了保送签！
后面两位同学该捶胸顿足、嚎啕大哭吗：天啦，他把保送名额抢先抽走了，为什么不让我第一个抽啊，这不公平！*&……@#￥
其实大可不必如此。
即使抽一签公布一签，三人抽中保送签的机会还是一样的：1/3！
============三门问题则不同=====
因为有主持人捣鬼，如果玩家2知道了前面发生的一切，就会直接选B门。
家园 那如果有两个保送名额呢？ ......
家园 不是这样的 第一个同学抽出签后立马打开，并公布抽中了保送签！后面两位同学该捶胸顿足、嚎啕大哭吗：天啦，他把保送名额抢先抽走了，为什么不让我第一个抽啊，这不公平！*&……@#￥
其实大可不必如此。
即使抽一签公布一签，三人抽中保送签的机会还是一样的：1/3
如果三个人都抽了签，然后有人打开了手中的签，发现中奖，你可以说没开奖前大家的中奖几率都是1/3。
但是如果第一个人抽签即开，发现中奖，而后面两人还未抽签，则你不能说后面两人的中奖几率都是1/3。至少在这一轮，他们的中奖几率为0。
家园 公司年会抽奖不就是这样的吗？ 那些中了安慰奖的，就知道自己肯定中不了头奖了！
